RISULTATOSVOLGIMENTO Sidicainquantipuntilarettatangentealgraficodi f in( − 1 , 2)intersecailgraficodi f . f ( x )= x − 3 x. 3 Siconsiderilafunzione Universit`adiTrieste–Facolt`ad’Ingegneria.Pordenone,6giugno20071EsamediAnalisimatematicaI:eserciziDr.FrancoOb

Universit`a di Trieste – Facolt`a d’Ingegneria. Pordenone, 6 giugno 2007 1 Esame di Analisi matematica I : esercizi

Dr. Franco Obersnel

A.a. 2006-2007, sessione estiva, I appello

COGNOME e NOME N. Matricola

Anno di Corso Laurea in Ingegneria

ESERCIZIO N. 1. Si consideri la funzione

f(x) = x³− 3x.

Si dica in quanti punti la retta tangente al grafico di f in (−1, 2) interseca il grafico di f.

RISULTATO

SVOLGIMENTO

2 Universit`a di Trieste – Facolt`a d’Ingegneria. Pordenone, 6 giugno 2007 ESERCIZIO N. 2. Si consideri la funzione

f(x) = x

√3

x − 1. (i) Si determinino:

• il dominio di f :

• i segni di f :

• lim

x→−∞f(x) = • lim

x→1⁻f(x) = • lim

x→1⁻f(x) = • lim

x→+∞f(x) =

• f^′(x) =

• i segni di f^′:

• la crescenza, la decrescenza, gli estremi relativi e assoluti di f :

(ii) Si dimostri che la funzione g = f_{| ]−∞,1[} `e invertibile.

Universit`a di Trieste – Facolt`a d’Ingegneria. Pordenone, 6 giugno 2007 3

COGNOME e NOME N. Matricola

ESERCIZIO N. 3. Si calcoli Z π

0 p1 − cos²(sin x) ·p

1 − sin²x dx.

RISULTATO

SVOLGIMENTO

4 Universit`a di Trieste – Facolt`a d’Ingegneria. Pordenone, 6 giugno 2007 ESERCIZIO N. 4. Si consideri la funzione

f(x) = Z 2x

x

Z 2t t

1 1 + s⁴ds

 dt.

Si determinino:

• f^′(x) =

• f^′′(x) =

• il polinomio di Taylor di ordine 2 di f di punto iniziale x⁰= 0:

• ord⁰f =