Cilindro che rotola senza scivolare su piano inclinato

Cilindro che rotola senza scivolare su piano inclinato

Figure 1:

Determinare l’accelerazione del centro di massa di un cilindro di raggio r e massa m che rotola senza scivolare su un piano inclinato di un angolo β.

perpendicolare z non aggiunge nessuna infomazione. I gradi di libert`a, pertanto, si riducono a 3: la posizione (x, y) di un punto del corpo, ad esempio il centro di massa, che coincide con centro C dells sezione circolare, ed un angolo θ che rappresenta la rotazione intorno a C sul piano (x, y).

Come gi`a fatto nel caso di massa puntiforme, prendiamo gli asse in modo che l’asse y sia perpendicolare e l’asse x parallelo al piano inclinato. In questo caso la prima equazione cardinale fornisce due equazioni, le proiezioni sugli assi x e y, mentre la seconda fornisce la terza equazione: la proiezione lungo z del momento.

La prima equazione cardinale si scrive semplicemente:

 m¨x = mg sin β − Fs

0 = R − mg cos β (1)

Per quanto riguarda la seconda `e possibile fare diverse scelte: utilizzare il polo fisso in O, il polo mobile coincidente con il centro di massa C o il polo mobile concidente con il punto di contatto P . Vediamo le diverse opzioni.

1

0.1 1. Polo O

Sia x_p la coordinata del punto P ; scriviamo le proiezioni lungo z dei mo- menti:

 M_O= x_pR − x_pmg cos β − rmg sin β

dLO

dt = _dt^d(−rmvC+ ICω) = −rmaC+ ICα (2) dove abbiamo usato il teorema di Koenig per esprimere il momento angolare del corpo come il momento della quantit`a di moto totale applicata al centro di massa, pi`u il momento angolare rispetto al centro di massa. Notare che la forza di attrito `e collineare al polo O, per cui non compare nel momento delle forze. Notare anche che per scrivere il momento della forza peso conviene scrivere separatamente i momenti delle due componenti Px e Py. Il braccio di queste due forze `e ben definito: la coordinata x_p per P_y ed il raggio r per Px.

Il vincolo di rotolamento puro `e a_C = −αr, dove il segno deriva dal verso orario del rotolamento: α < 0.

Sostituendo il valore di R dalla seconda equazione di 1, risulta:

x_pmg cos β − x_pmg cos β − rmg sin β = −rma_c− I_Ca_c/r (3) da cui:

a_c= 1 1 + IC

mr²

g sin β (4)

Nel caso di un cilindro pieno risulta Ic= mr²/2 per cui:

a_C = 2

3g sin β (5)

Il risultato non dipende dal raggio r del cilindro l’accelerazione acquistata

`e minore rispetto a quella di un corpo che scivola senza attrito sullo stesso piano.

Se invece del cilindro pieno consideriamo un corpo avente un momento di inerzia I_C = cmr², l’accelerazione risultante `e:

a_C = 1

1 + cg sin β (6)

L’accelerazione del centro di massa `e massima per c minimo. Ad esempio, per una sfera c = 2/5, per un cilindro pieno c = 1/2, per un cilindro cavo c = 1. Per un cilindro nel quale tutta la massa `e concentrata sull’asse (mozzo della ruota), c = 0 e l’accelerazione `e massima; in particolare `e la stessa di un corpo che scivola senza attrito.

2

0.2 2. Polo mobile: C e P

Possiamo ripetere l’esercizio precedente utilizzando i poli mobili C e P per scrivere la seconda equazione cardinale.

In generale, per un polo mobile O⁰ la seconda equazione cardinale si scrive:

M~_O⁰ = ~v_O⁰× ~Q_G+ d

dtL~_O⁰ (7)

Tuttavia se il polo mobile coincide con il centro di massa, come `e il caso del polo C, oppure la sua velocit`a `e parallela a quella del centro di massa, come

`e il caso del punto di contatto P , il primo termine a secondo membro della 7 si annulla, ed il secondo membro diventa semplicemente:

d dt

L~_O⁰ = I_O⁰αˆe_z (8)

Scegliendo il centro di massa C come polo:

MC = −rFS= ICα (9)

Dalla prima equazione cardinale F_s = mg/sin/beta − ma_c, per cui:

−mrg sin β + mra_c= −I_ca_c/r → a_c= 1

1 + I_c/mr²g sin β (10) Quindi il calcolo si semplifica rispetto al caso precedente.

Rispetto al polo P , per`o, il calcolo `e ancora pi`u semplice in quanto il momento sia di F_s che di R sono nulli, e dalla seconda equazione cardinale troviamo direttamente la risposta:

M_P = −rmg sin β = I_Pα → a_c= 1

I_P/mr²g sin α (11) con

I_P = I_C+ mr² per il teorema di Huygens-Steiner.

Vediamo, quindi, che una scelta opportuna del polo rispetto al quale calcolare i momenti pu`o portare ad una semplificazione dei calcoli.

3