2) Dopo aver calcolato lim si verifichi il risultato trovato mediante l'opportuna BÄ∞ &#34

(1)

COMPITI DI MATEMATICA GENERALE AA. 2005/06

Prova Intermedia Dicembre 05-Compito  1) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ∞

#

# B

B

Œ"  $B BÄ! È"  B  "

B  " ; .$  "

2) Dopo aver calcolato lim si verifichi il risultato trovato mediante l'opportuna

BÄ∞

"  $B

definizione di limite.

3) Date le funzioni 0 B œ "  B^#, 1 B œ $^B e 2 B œlog_#B si determini l'espressione della funzione composta 0 1 2 B e si determinino poi le possibili espressioni dell'inversa.

4) Data la funzione log , se ne determini il campo d'esistenza non-

log log

0 B œ B  "

B  $ B  #

#

chè la specie dei suoi punti di discontinuità.

5) Disegnare, mediante un opportuno diagramma di Eulero-Venn, tre insiemi , e non  ‚ vuoti sapendo che  ‚∩ Ïœ g Þ

6) Sia e sia data la relazione così definita

œ "ß ß ß ß ß" " " " "3 4 e À Ä À

# & ' œ

B C B − Þ

e se C  Determinare le coppie che costituiscono tale relazione e le proprietà a cui essa soddisfa.

7) Scrivere la tavola di verità della proposizione: Ê  ‚9 Í Ê  ‚/ . Prova Intermedia Dicembre 05-Compito 

1) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ∞

#

B

ŒB  #B  $ BÄ! $B

$B  % ; .sen"  B log

2) Dopo aver calcolato lim log si verifichi il risultato trovato mediante

BÄ∞ "  _#B l'opportuna definizione di limite.

3) Date le funzioni 0 B œ B  " 1 B œ #^# , ^B e 2 B œlog_$B si determini l'espressione della funzione composta 0 1 2 B e si determinino poi le possibili espressioni dell'inversa.

4) Data la funzione , se ne determini il campo d'esistenza nonchè

log log

0 B œ #  %

# B  % B

B B

la specie dei suoi punti di discontinuità.

5) Disegnare, mediante un opportuno diagramma di Eulero-Venn tre insiemi , e non  ‚ vuoti sapendo che ∪ Ï ∩‚ œ g.

6) Sia œ " " " # &ß ß ß ß ß " e sia data la relazione e À Ä così definitaÀ ' $ # $ '

œ

B Ce se B  C − Þ Determinare le coppie che costituiscono tale relazione e le proprietà a cui essa soddisfa.

7) Scrivere la tavola di verità della proposizione:  ‚9 Í Ê  ‚/ Í . Gennaio 06

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B /^"B /^B.

(2)

2) Determinare il valore dei limiti: lim ; lim .

BÄ!

B  B

BÄ∞

/  / "

B #  B

sen sen

Œ

#B

"$B

3) Date 0 B œ B  " e 1 B œ B  "^# , determinare per quali valori risulta 0 B œ 9 1 B per .B Ä B ß B −_! _! ‘∪  ∞ß  ∞e f

4) Data 0 B œ /^"#^B, se ne determini l'espressione del Polinomio di Mac Laurin di II grado.

5) Date le matrici œ " " , œ # " e ‚œ # " , si determini il valore del pa-

! " ! " % 5

¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

rametro per il quale risulta 5 † †  † † œ "' & .

"# )

  ‚ ‚   ¾ ¾

6) Calcolare ( " cos d ."

B_# † B B

7) Data la funzione 0 B œ / ÐB  #B  5Ñ^B ^# , s ne determini, al variare di , la natura dei/ 5 suoi eventuali punti stazionari

8) Data 0 Bß C œ #B  $B  'C  $BC^# ^# ^#, se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.

9) Scrivere la tavola di verità della proposizione Ê Ê Ê .

10) Date le funzioni 0 B œ B  B  #^# e 1 B œ "  B, si determini l'espressione delle funzioni composte 0 1 B e 1 0 B , dove risultano invertibili nonchè l'espressione delle lo- ro inverse.

Febbraio 1-06

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /^#B #/^B.

2) Calcolare il valore dei limiti: ; log .

lim lim sen

BÄ!

"' "$

BÄ∞

B $

$

"  B  "  B /  $B  "  B

B #B  B  B

3) Sia 0 B œ B  #B^# . Se dB œ !ß " calcolare d0 ! ; se d0 # œ !ß $ calcolare d .B 4) Determinare se esiste ( d .

!

∞/B /#B B

5) Determinare la natura dei punti stazionari della funzione 0 B œ B  " /^{% "B}.

6) Dati la matrice œ ed il vettore —œ "ß  "ß # , determinare il valore del

" ! 5

! 5 "

5 " !

â â

parametro per il quale risulta 5 —  —† † ^Tœ #.

7) Data la funzione 0 B œsenB sen#B sen$B, se ne determini l'espressione del polinomio di MacLaurin di terzo grado.

8) Data 0 Bß C œ B^#logC  Blog#C, se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.

9) Data 0 B œ B  $B  #^$ ^# , sempre per B Ä !, si determini una funzione 1 B tale che 0 B œ 9 1 B , una funzione 2 B tale che 2 B œ 9 0 B ed una funzione 5 B tale che .0 B µ 5 B

10) Dati tre insiemi , e verificare se   ‚ ∩‚ Ï § Ï ∪‚ . Febbraio 2-06

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œlogˆB  B  "^# ‰. 2) Calcolare il valore dei limiti: sen log ;

lim lim log

BÄ! # BÄ∞

#B  "  #B " B

B Œ"  B Þ

(3)

3) Date 0 B œ /_B e 1 B œ log , determinare se esistono B B −µ

! ‘ œ‘∪  ∞ß  ∞e f per i quali risulti 0 B œ 9 1 B oppure 1 B œ 9 0 B per B Ä B Þ_!

4) Data 0 B œlog e date tre rette di coefficiente angolare rispettivamente B & (ß e & ,

$ "# "#

determinare quale di queste tre rette è tangente al grafico della 0 B in un punto dell'inter-B_! vallo .”" •

#ß "

5) Data 0 B œ B^#log⁸B, con 8 −, si determini per quali valori di il punto 8 B œ " è un punto di minimo relativo e si determini per quale valore di il punto di minimo relativo è in8

B œ /^^$^#. Si distinguano i casi pari e dispari.8 8 6) Determinare se esiste ( d

"

∞ #

$

"  B  B

B B Þ

7) Data , se ne determini il gradiente nel punto .

0 Bß C œ C /cos "ß !

B C

B C^# ^#

8) Data la funzione 0 B œ /^#B B sen , se ne determini l'espressione del polinomio diB MacLaurin di terzo grado.

9) Data la matrice œ e il vettore —œ "ß 5ß  " , si determini per quali va-

& $ $

#  # #

!  * #

â â

lori del parametro risulta 5 —  —† † ^T œ % Þ

10) Data la proposizione Ênon Ênon , si sostituisca a l'opportuno connet- tivo logico affinchè la proposizione data risulti una tautologia.

Aprile 06

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /^{B $B#}^# . 2) Calcolare il valore dei limiti: log ; log

lim sen lim

BÄ! BÄ∞ B

"  #B B  "  B

$B B  / Þ

3) Può una retta tangente al grafico di 0 B œ B^# avere coefficiente angolare 7 œ  $ e passare per il punto Œ" ?

%ß  %

4) Dati gli infiniti, per B Ä  ∞ 0 B œ 5B  7B, ^# e 1 B œ 7B  5B^# , determinare per quali valori di e sono infiniti dello stesso ordine, per quali asintoticamente equivalenti, e7 5 quando di ordine l'uno superiore all'altro.

5) Determinare gli eventuali punti di massimo e/o di minimo relativo per la funzione 0 B œ /^$B $/^#B #/^B, stabilendo anche se si tratti di estremi relativi o assoluti.

6) Stabilire se ( d è positivo o negativo.

!

"

# #B

B  / B

7) Data 0 Bß C œ B C  $BC  C^$ ^#, se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.

8) Data la funzione 0 B œ B log +2" B , se ne determini l'espressione del polinomio di MacLaurin di terzo grado.

9) Dati i due insiemi Ï  ‚Ï e  Ï Ï‚, si stabilisca se sono uguali o se uno è sottoin- sieme dell'altro.

10) Data œ " 5 , stabilire se esistono valori di per cui risulti 5  † œÞ 5 "

ºº ºº

(4)

Giugno 1-06

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ / Þ B

"#B

2) Calcolare il valore dei limiti: ; .

lim sen lim

BÄ! BÄ∞

B # B

B B

È"  #B  " B /  B /

$B /  /

#

3) Studiare i punti di discontinuità della funzione 0 B œ B  B Þ B  B

$ #

% #

4) Determinare i punti in cui la tangente al grafico della 0 B œ B  B^$ ^# è parallela alla retta C œ &B  $ Þ

5) Data la funzione 0 B œlog "  B sen se ne determini l'espressione del polinomioB di Mac Laurin di terzo grado.

6) Calcolare ( d .

!

"

#

$B "

B  "  B  " B

7) Dati œ , —œ  "ß #ß " e ˜œ "ß "ß " , si determini per quale valore 5 " #

# 5 "

" " 5

â â

del parametro risulta che il vettore 5  —† è perpendicolare al vettore .˜

8) Data 0 Bß C œ B  5 C  #C^# ^# , determinare per quali valori di la funzione ammette un5 punto di minimo.

9) Mediante le tavole di appartenenza, dati tre generici insiemi , e , stabilire se esiste  ‚ una relazione insiemistica tra l'insieme Ï ∩V ‚ e l'insieme Ï V  ∩‚ Þ

( rappresenta il complementare)V

10) Date 0 B œ /^B e 1 B œ B^#, stabilire se e dove risulta 0 B œ 9 1 B e se e dove risulta .1 B œ 9 0 B

Giugno 2-06

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œlogB log "  B .

2) Calcolare il valore dei limiti: log sen ; .

lim lim

BÄ! B BÄ∞ #B #

$ B & B

"  B B /  B /

#  " /  B

3) Determinare dove risulta invertibile la funzione 0 B œ /  /^B ^#B nonchè le conseguenti espressioni dell'inversa.

4) Data la funzione 0 B œ /^#B /  /^B ^B, se ne determini l'espressione del polinomio di Mac Laurin di terzo grado

5) Data la funzione 0 B œ B^#, si determinino le equazioni delle tangenti al suo grafico passanti per il punto #ß " .

6) Calcolare ( d .

!

"

B #B

B /  / B

7) Si applichi alla funzione 0 B œ B  $B  "^# il Teorema di Lagrange (o del Valore Medio) nell'intervallo c!ß 5d. Si determini il valore del parametro sapendo che il punto5 risultante dal Teorema è B œ ".

! #

8) Dati la matrice œ ed il vettore —œ "ß 5ß  "ß 5 , si determini

" ! " !

"  " "  "

! " ! "

â â

il valore del parametro in modo che il vettore 5  —† abbia modulo pari a .%

9) Stabilire se la proposizione c Ê / Ê‚ dÊ  ‚9 risulta una tautologia.

(5)

10) Data 0 Bß C œ B  $B C  C^# ^# ^#, se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativoÞ

Luglio 06

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B /^"B^#Þ

2) Calcolare il valore dei limiti: ; .

log sen log

lim lim log

BÄ!

B #

BÄ∞ $

/  " B  B

"  B B  B

sen

3) Data 0 B œ /^B si determini se esistono valori del parametro per i quali risulta tangente5 al suo grafico la retta C œ #B  5.

4) Calcolare log d . ("

/"  B

B B

5) Date le matrici œ " ! " , œ ed il vettore —œ B , si de-

"  " !  B

# "

"  "

# "

ºº ºº ºº ºº

â â

termini il valore di per il quale il vettore B   —† † ha modulo pari a .&

6) Data la funzione 0 B œ B B  " ^# B  " ^$ se ne determinino i punti di massimo e di minimo relativo.

7) Disegnare un possibile grafico della funzione 0 B sapendo che:

.) ha un punto di discontinuità di I specie in B œ !;

..) ha un asintoto orizzontale sulla destra e un asintoto obliquo sulla sinistra;

...) è decrescente per B  ! e per B  !; ....) cambia di convessità una sola volta.

8) Data 0 B œ /^#B se ne calcoli il differenziale in B œ ! per un incremento dB œ !ß #. 9) Data 0 Bß C œ B C  C  B^{# #} ^# , si determini la natura dei suoi punti stazionariÞ

10) Si considerino le seguenti proposizioni:

 À $  # œ !à

risulta lim B

BÄ!

B B

 À 0 B œ B 0 B œ " à

# B "  B

se arctgÈ allora

w È

#

‚ À il Teorema di Rolle fornisce una condizione sufficiente per l'esistenza di punti stazionari.

Dopo aver verificato verità o falsità di ciascuna proposizione, si stabilisca se risulta vera la proposizione: .c Ê Ê‚dÊc ‚Ê Êd

Settembre 1-06

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œlogˆB  B  "^# ‰.

2) Calcolare il valore dei limiti: cos ; .

lim lim

BÄ! BÄ∞

È B

B  "  B Œ"  $B

B "  %B

3) Data 0 B œ B /^B", se ne determini l'espressione del polinomio di Taylor di III grado nel punto .B œ "

4) Data la funzione 0 B œ B B  "^$ ^% se ne determinino sia i punti di massimo e minimo relativo che i punti di flesso.

5) Date le funzioni 0 B œsen e B 1 B œ log , stabilire se e dove risulta B 0 B œ 9 1 B e se e dove risulta 1 B œ 9 0 B .

6) Trovare tutte le primitive della funzione 0 B œ "  B .

"  B^#

(6)

7) Dopo aver determinato il Campo d'esistenza della funzione 0 B œÈ" log , se ne cal-B coli il limite nei punti di frontiera di questo.

8) Dati i due vettori di ‘^%: —œ B  Cß #ß !ß #  C e ˜œ B  Cß B  #Cß Cß  #C , si determini per quali valori di e il prodotto scalare B C — ˜† œ 0 Bß C assume valore minimo.

9) Mediante le tavole di appartenenza, dati tre generici insiemi , e , stabilire se esiste  ‚ una relazione insiemistica tra l'insieme V ∩ ∪‚ e l'insieme V ∩ ∪V ∩‚ Þ ( rappresenta il complementare)V

10) Data la matrice œ #  " ed il vettore —œ senBßcosB si verifichi che il pro-

" #

ºº ºº

dotto —  —† † ^T assume valore costante.

Settembre 2-06

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /B %B"^# . 2) Calcolare il valore dei limiti: cos sen ; .

lim lim

BÄ! # BÄ∞ B

B #B

"  B /  /

B "  /

3) Data la parabola C œ B  "^# , si determinino le equazioni delle due rette tangenti ad essa passanti per il punto P_! œ "ß ! .

4) Data la funzione 0 B œlog "  /^B , se ne determini l'espressione del polinomio di Mac Laurin di III grado.

5) Data la funzione 0 B œlogB " logB se ne determinino sia i punti di massimo e minimo relativo che i punti di flesso.

6) Data la matrice sen cos ed il vettore sen cos si calcoli il pro-

cos sen

œ B B —œ Bß B

B  B

ºº ºº

dotto .—   —† † † ^T 7) Calcolare ( log

!

"

"  B .B Þ

8) Data la funzione 0 Bß C œ B  C  B C  B^% ^# ^# se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o di minimo relativo.

9) Data la funzione 0 B œ "  B si determini il suo campo d'esistenza, dove essa risulta

"  B

$

invertibile nonchè l'espressione della sua funzione inversa.

10) Usando le tavole di appartenenza, dati tre generici insiemi , e , stabilire se esiste una  ‚ relazione insiemistica tra l'insieme V ∩ ∪‚ e l'insieme V  ∪cV ∩ ∩V ‚ dÞ ( rappresenta il complementare)V

Dicembre 06

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B . B  "^#

2) Calcolare il valore dei limiti: sen cos ; .

lim lim

BÄ! $ % & BÄ∞

B  B B "  $B BB

B  #B  B Œ"  #B

log

3) Data la funzione 0 B œ /^log^#^B, se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo, stabilendo anche se si tratta di estremi assoluti o relativi.

4) Date le funzioni 0 B œ /^B e 1 B œsen , si determini l'espressione della funzione deri-B vata della funzione J B œ 0 1 B  1 0 B .

B

(7)

5) Date le funzioni 0 B œlog e B 1 B œ /^B5 si determini se esiste almeno un valore di 5 per il quale le rette tangenti ai grafici delle due funzioni nel punto B œ " risultano parallele.

6) Date le matrici œ " # e œ 5 " si determini se esistono valori dei para-

# " " 7

ºº ºº ºº ºº

metri e per i quali risulti 5 7  † œ  † . 7) Calcolare (

!

"

B B

B /  B / .B Þ

8) Data la funzione 0 Bß C œ B  $B  C  #BC  $B  #C^$ ^# ^# se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o di minimo relativo.

9) Determinare almeno una funzione 0 B per la quale risulta che 0 B œ 9 B per B Ä ! mentre risulta B œ 9 0 B per B Ä  ∞.

10) Dati tre generici insiemi , e , si stabilisca sotto quali condizioni un generico  ‚ elemento appartiene all'insieme c ∪ Ï‚d c∩ ∪‚ ÏdÞ