COMPITI DI MATEMATICA GENERALE AA. 2012/13

(1)

COMPITI DI MATEMATICA GENERALE AA. 2012/13

Prova Intermedia Anno 2012-Compito 1 1) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! # BÄ∞ $

"  #B "  B  B#

B à $  B  B

cos

sen   .

"B#

"B

2) Date le funzioni 0 B œlog "  B e 1 B œ # , determinare l'espressione della

"  B

      ^B"

funzione composta 0 1 B   e di questa determinare poi l'espressione dell'inversa.

3) Determinare il valore del parametro per il quale log .

5 "  5B  B œ $

B  5B

BÄ!lim

#

 

4) Date le tre generiche proposizioni , e , determinare i casi di verità e di falsità della  ‚ proposizione Ê 898 9 ‚Í 898 sotto l'ipotesi che la proposizione  Ê‚ è vera.

5) Determinare il campo d'esistenza della funzione 0 B œlog $  #  "  B e gli

$  B

   ^B  

eventuali suoi asintoti verticali.

Prova Intermedia Anno 2012-Compito 1 1) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! BÄ∞

#

"B



   

"  B  " "  B  B

"  B à "  B  #B sen

log .

2) Date le funzioni 0 B œlog B  # e 1 B œ $  ", determinare l'espressione della B  $

      ^B

3) Determinare il valore del parametro per il quale cos .

5 "  5B œ &

5B  5B

BÄ!lim # $

4) Date le tre generiche proposizioni , e , determinare i casi di verità e di falsità della  ‚ proposizione 898Ê‚ / 898Í‚ sotto l'ipotesi che la proposizione / 898  è falsa.

5) Determinare il campo d'esistenza della funzione 0 B œ log #  $  B e gli even- B  #

   ^B  

tuali suoi asintoti verticali.

Prova Intermedia Anno 2012-Compito 1‚ 1) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

B B #

BÄ∞ $

$  # "  B

B à "  B

tg sen

  .

"B#

B

2) Date le funzioni 0 B œlog B e 1 B œ $ , determinare l'espressione della

#B  "

      ^"B

(2)

3) Determinare il valore del parametro per il quale 5 "  5B  " œ %. B  5B

BÄ!lim

#

 

4) Date le tre generiche proposizioni , e , determinare i casi di verità e di falsità della  ‚ proposizione 898 / Ê‚9 898 sotto l'ipotesi che la proposizione Í‚ è falsa.

5) Determinare il campo d'esistenza della funzione 0 B œ B  " logB e gli eventuali

$  /

   _B

suoi asintoti verticali.

Prova Intermedia Anno 2012-Compito 1ƒ 1) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

# #

# BÄ∞ #

log

sen  .

   

"  B  B "  B  $B

B  B à #  B  #B

"B#

"B

2) Date le funzioni 0 B œlog #B  " e 1 B œ "  # , determinare l'espressione della B  #

      ^B

3) Determinare il valore del parametro per il quale 5 $  / œ !. B  5B

BÄ!lim

5B B

#

4) Date le tre generiche proposizioni , e , determinare i casi di verità e di falsità della  ‚ proposizione Ê‚ / 8989 898 sotto l'ipotesi che la proposizione Í‚ è vera.

5) Determinare il campo d'esistenza della funzione 0 B œ /  #log "  B e gli B  #

   ^B  

eventuali suoi asintoti verticali.

lim lim

BÄ!

#

# BÄ∞

#B"

tg

sen  .

$B  B  #  $B

#B  $B à $  $B

2) Date le due funzioni 0 B  e 1 B , sapendo che 0 B œ #  ^B" e che 0 1 B  œ #^B$^& , determinare la funzione 1 B  e l'espressione dell'inversa di 0 1 B  .

3) Data la funzione 0 B œ /  ^$B" 5 si considerino il punto in cui essa taglia l'asse delle ascisse, l'origine degli assi ed il punto  !ß " . Per quale valore del parametro il triangolo5 avente questi tre punti come vertici ha area uguale a ?&

4) Determinare il campo d'esistenza nonchè il valore del limite nei suoi punti di frontiera per la funzione 0 B œ  log_#B  #B  #  "^#  .

5) Date le proposizioni e , e data la proposizione   ÀÊ 898 / Ê, determinare una proposizione in modo tale che   9 risulti una tautologia.

lim lim

BÄ! BÄ∞

log sen $B

tg .

 

 

"  #B &  #B

$B à #  #B

(3)

2) Date le due funzioni 0 B e 1 B , sapendo che 0 B œ $B  $ e che 0 1 B œ $ ,

B $  "

         _B^B"

determinare la funzione 1 B  e l'espressione dell'inversa di 0 1 B  .

3) Data la funzione 0 B œ  log#B  "  5 si considerino il punto in cui essa taglia l'asse delle ascisse, l'origine degli assi ed il punto  !ß " . Per quale valore del parametro il triango-5 lo avente questi tre punti come vertici ha area uguale a ?$

4) Determinare il campo d'esistenza nonchè il valore del limite nei suoi punti di frontiera per la funzione 0 B œ  " log$B  B  $# .

5) Date le proposizioni e , e data la proposizione   À 898 Ê / Ê, determinare una proposizione in modo tale che   9 risulti una tautologia.

lim lim

BÄ!

$

BÄ∞

  #B$

   

"  $B  " B  $

"  #B à B  %

log .

2) Date le due funzioni 0 B    e 1 B , sapendo che 0 B œ $  ^B" e che 0 1 B  œ $^#B"^B" , determinare la funzione 1 B  e l'espressione dell'inversa di 0 1 B  .

3) Data la funzione 0 B œ /  ^"#B 5 si considerino il punto in cui essa taglia l'asse delle ascisse, l'origine degli assi ed il punto  !ß " . Per quale valore del parametro il triangolo5 avente questi tre punti come vertici ha area uguale a ?#

4) Determinare il campo d'esistenza nonchè il valore del limite nei suoi punti di frontiera per la funzione 0 B œ  logB  B  *  $^# .

5) Date le proposizioni e , e data la proposizione   ÀÊ / 898Ê, determinare una proposizione in modo tale che   9 risulti una tautologia.

lim lim

BÄ!

B

BB BÄ∞

$B"

"  $ $B  #

#  "à

%  $B

sen

#   .

2) Date le due funzioni 0 B e 1 B , sapendo che 0 B œ B e che 0 1 B œ "  # , B  #

         ^"B

determinare la funzione 1 B  e l'espressione dell'inversa di 0 1 B  .

3) Data la funzione 0 B œ  log*  #B  5 si considerino il punto in cui essa taglia l'asse delle ascisse, l'origine degli assi ed il punto  !ß " . Per quale valore del parametro il triango-5 lo avente questi tre punti come vertici ha area uguale a ?#

4) Determinare il campo d'esistenza nonchè il valore del limite nei suoi punti di frontiera per la funzione 0 B œ  log# B  $B  %^# .

5) Date le proposizioni e , e data la proposizione   À 898 Ê 898 / Ê 898, determinare una proposizione in modo tale che   9 risulti una tautologia.

(4)

lim lim

BÄ!

#

# BÄ∞

"  B  B "  B B

"  B à #  $B cos

log   .

   

2) Date le due funzioni 0 B œ B  $B  #  ^# e 1 B œ B  "  , determinare se e dove risulta 0 B œ 9 1 B     e se e dove risulta 1 B œ 9 0 B    .

3) Date le funzioni 0 B œ $B  " 1 B œ #  ", e 2 B œ " , determinare l'espressione

    ^B   B

delle funzioni composte 0 1 2 B    e 2 1 0 B    e di queste ultime determinare poi l'e- spressione dell'inversa.

4) Date le proposizioni e , dopo aver costruito le tavole di verità della proposizione 

 À / 898 e della proposizione  À Ê, determinare un connettivo logico‡in modo che  ‡ risulti una tautologia.

5) Data la funzione 0 B œlog "  #B , determinarne il campo d'esistenza nonchè l'in-

  ^# $B 

sieme dei punti per i quali 0 B   0 .

lim lim

BÄ!

#

BÄ∞

"B

 

   

"  B  "  B

"  B à  B

sen 2 3

log tg 1 .

2) Date le due funzioni 0 B œ B  #  e 1 B œ B  B  #  ^# , determinare se e dove risulta 0 B œ 9 1 B     e se e dove risulta 1 B œ 9 0 B    .

3) Date le funzioni 0 B œ $  # 1 B œ, " e 2 B œ #B, determinare l'espressione B  "

  ^B    

delle funzioni composte 0 1 2 B    e 2 1 0 B    e di queste ultime determinare poi l'e- spressione dell'inversa.

  À / e della proposizione À 898Ê, determinare un connettivo logico‡in modo che  ‡ risulti una tautologia.

5) Data la funzione 0 B œ log #B , determinarne il campo d'esistenza nonchè l'insie-

$  B

  ^$ 

me dei punti per i quali 0 B   0 .

lim lim

BÄ! BÄ∞

sen sen #B

tg tg  .

 #B "  #B

$B à #  B

2) Date le due funzioni 0 B œ B  B  #  ^# e 1 B œ B  "  , determinare se e dove risulta 0 B œ 9 1 B     e se e dove risulta 1 B œ 9 0 B    .

3) Date le funzioni 0 B œ "  B 1 B œ, " e 2 B œ #  #, determinare l'espressio- B  "

      ^B

ne delle funzioni composte 0 1 2 B    e 2 1 0 B    e di queste ultime determinare poi l'e- spressione dell'inversa.

À 898 / e della proposizione  À Ê, determinare un connettivo logico‡in modo che  ‡ risulti una tautologia.

(5)

5) Data la funzione 0 B œlog #B  " , determinarne il campo d'esistenza nonchè l'in-

"  B

  ^# 

sieme dei punti per i quali 0 B   0 .

lim lim

BÄ!

B B

BÄ∞

1  $ "  B B#

B à "  #B

arctg   .

2) Date le due funzioni 0 B œ B  #  e 1 B œ B  B  #  ^# , determinare se e dove risulta 0 B œ 9 1 B     e se e dove risulta 1 B œ 9 0 B    .

3) Date le funzioni 0 B œ "  $ , 1 B œ #B  " e 2 B œ  ", determinare l'espressio-

  ^B     B

ne delle funzioni composte 0 1 2 B    e 2 1 0 B    e di queste ultime determinare poi l'e- spressione dell'inversa.

À 898 / e della proposizione  À Ê, determinare un connettivo logico‡in modo che  ‡ risulti una tautologia.

5) Data la funzione 0 B œ log #  B , determinarne il campo d'esistenza nonchè l'insie-

  ^$ $B 

me dei punti per i quali 0 B   0 .

I Appello Sessione Invernale 2013 - Compito 

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ #B  $ /    ^B". 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! BÄ∞

B "

# B

    B  

"  "  B à "  B  $ 

#  B

log .log

sen

"

B

3) Date 0 B œ / e 1 B œ B  # , siano 0 B e 1 B le espressioni cartesiane

#B  "

  ^"#B   ^"  ^" 

delle loro funzioni inverse. Determinare l'espressione delle funzioni composte 0^"1^" B  e 1^"0^"  .B 

4) Calcolare  d .

 

!

"

$ $B

B  $ #  / B

B  "

$

5) Data 0 Bß C œ #B  $B  $C  $BC  ^# ^# ^#, si determinino i suoi eventuali punti di massimo e minimo relativo.

6) Data 0 B œ  logB  #, la retta tangente al suo grafico in un punto P è parallela alla"

retta di equazione C œ "B  " mentre la retta tangente in un altro punto P è perpendicolare

# ^#

alla retta di equazione C œ #  $B. Si determini l'equazione della retta passante per i punti P_"

e P ._#

7) Data 0 B œ B  $B  "  ^# , si esprima tale funzione nel punto B œ "! mediante la formula di approssimazione di I grado (o Polinomio di Taylor). Se B œ ",2 , determinare il valore del termine .9 B  B !

(6)

8) Date le matrici œ "  " # e œ determinare il vettore

# ! "

 " "

# "

# !

 

 

—œ B   —† †  "ß "

 C  in modo tale che il vettore sia perpendicolare al vettore   ed abbia modulo pari a #.

9) Determinare massimi e minimi relativi per la funzione 0 B œ /  " /  # /  $   ^B  ^B  ^B . 10) Determinare il valore del parametro in modo che sia 5 B  5 B  $ œ  #.

B  %B  $

BÄ"lim #

  

I Appello Sessione Invernale 2013 - Compito 

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ $B  " /    ^"#B. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! BÄ∞

$ B

# B

"  B à B  B  $ B  %

tg ^"B .cos

3) Date 0 B œ #  $B e 1 B œlog "  #B , siano 0 B e 1 B le espressioni car- B  "

      ^"  ^" 

tesiane delle loro funzioni inverse. Determinare l'espressione delle funzioni composte 0^"1^" B  e 1^"0^" B .

4) Calcolare  _!^" # ^# ^"#Bd . B  "  $B  / B

%

5) Data 0 Bß C œ #C  $C  $B  $B C  ^# ^# ^# , si determinino i suoi eventuali punti di massimo e minimo relativo.

6) Data 0 B œ  log#B  ", la retta tangente al suo grafico in un punto P è parallela alla"

retta di equazione C œ #B  " mentre la retta tangente in un altro punto P è perpendicolare_# alla retta di equazione C œ &  $B. Si determini l'equazione della retta passante per i punti

# P e P ._" _#

7) Data 0 B œ B  #B  %  ^# , si esprima tale funzione nel punto B œ "! mediante la formula di approssimazione di I grado (o Polinomio di Taylor). Se B œ " $, , determinare il valore del termine .9 B  B !

8) Date le matrici œ  " # # e œ determinare il vettore

" " !

# "

!  "

" #

 

 

—œ B   —† † "ß  "

 C  in modo tale che il vettore sia perpendicolare al vettore   ed abbia modulo pari a ).

9) Determinare massimi e minimi relativi per la funzione 0 B œ /  " /  # /  $   ^B  ^B  ^B . 10) Determinare il valore del parametro in modo che sia 5 B  " B  5 œ ".

B  B  # $

BÄ#lim #

  

I Appello Sessione Invernale 2013 - Compito ‚

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ "  #B /    ^$B". 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! BÄ∞

"  B à "  B  #  B  $ B

$B  B

sen .cos log

cos

"

B

(7)

3) Date 0 B œ #B  " e 1 B œ / , siano 0 B e 1 B le espressioni cartesiane

"  B

    ^#B" ^"  ^" 

delle loro funzioni inverse. Determinare l'espressione delle funzioni composte 0^"1^" B  e 1^"0^"  .B 

4) Calcolare  ! d .

"

$ #B$

#

B  #  &B  / B

&

5) Data 0 Bß C œ #B  $B  $C  $BC  ^# ^# ^#, si determinino i suoi eventuali punti di massimo e minimo relativo.

6) Data 0 B œ  logB  $, la retta tangente al suo grafico in un punto P è parallela alla"

retta di equazione C œ " B  " mentre la retta tangente in un altro punto P è perpendicolare

% ^#

alla retta di equazione C œ #  #B. Si determini l'equazione della retta passante per i punti P_"

e P ._#

7) Data 0 B œ B  $B  #  ^# , si esprima tale funzione nel punto B œ "! mediante la formula di approssimazione di I grado (o Polinomio di Taylor). Se B œ " ", , determinare il valore del termine .9 B  B !

8) Date le matrici œ # ! " e œ determinare il vettore

"  " #

"  "

" #

! #

 

 

—œ B   —† † "ß "

 C  in modo tale che il vettore sia perpendicolare al vettore   ed abbia modulo pari a .%

9) Determinare massimi e minimi relativi per la funzione 0 B œ /  " #  /   ^B  ^B/  $^B . 10) Determinare il valore del parametro in modo che sia 5 B  5 B  # œ $ .

B  #B  $ %

BÄ"lim #

  

I Appello Sessione Invernale 2013 - Compito ƒ

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ #  $B /    ^"B. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! BÄ∞

B B B

"  B à B  #  $

%  B  #

arctg .2

sen

"

B

3) Date 0 B œ log #B  $ e 1 B œ "  B , siano 0 B e 1 B le espressioni carte-

$  B

      ^"  ^" 

siane delle loro funzioni inverse. Determinare l'espressione delle funzioni composte 0^"1^" B  e 1^"0^" B .

 

!

"

$

#B #

$

$  B

 /  $B B

5) Data 0 Bß C œ #C  $C  $B  $B C  ^# ^# ^# , si determinino i suoi eventuali punti di massimo e minimo relativo.

6) Data 0 B œ  log$B  ", la retta tangente al suo grafico in un punto P è parallela alla"

retta di equazione C œ $B  " mentre la retta tangente in un altro punto P è perpendicolare

% ^#

alla retta di equazione C œ "  ( . Si determini l'equazione della retta passante per i puntiB

$ P e P ._" _#

(8)

7) Data 0 B œ B  $B  $  ^# , si esprima tale funzione nel punto B œ "! mediante la formula di approssimazione di I grado (o Polinomio di Taylor). Se B œ " %, , determinare il valore del termine .9 B  B !

8) Date le matrici œ " " ! e œ determinare il vettore

 " # #

" #

 " !

# "

 

 

—œ B   —† † "ß  "

 C  in modo tale che il vettore sia perpendicolare al vettore   ed abbia modulo pari a .#

9) Determinare massimi e minimi relativi per la funzione 0 B œ "  /   ^B/  # /  $^B  ^B . 10) Determinare il valore del parametro in modo che sia 5 B  " B  5 œ $.

B  $B  #

BÄ#lim #

  

II Appello Sessione Invernale 2013 - Compito  1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /  ^#B $ /^B. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

# #

$ # BÄ∞ #

log B

  .

 

"  #B "  B  #B

B  $B à B  $B

3) Date tre generiche proposizioni , e , si verifichi se la proposizione:  ‚

Ê 898 9 898‚Ê risulta o meno una tautologia.

4) Data la funzione 0 B œ /  5 , determinare per quali valori del parametro la5 /  #

  ^#B_B

funzione risulta strettamente monotòna a B − ‘ .

5) Disegnare un possibile grafico per una funzione 0 B  tale che:

a) ha per asintoto obliquo sulla sinistra la retta di equazione C œ $  #B; b) ha per asintoto obliquo sulla destra la retta di equazione C œ #B  $;

c) soddisfa la seguente definizione di limite: a b& $ &  À !  B   $ &  Ê 0 B   &.

6) Data la matrice  œ " #  " trovare la relazione che deve intercorrere tra e B C

# # "

 

affinchè il vettore  † † B risulti parallelo al vettore "ß # .  indica la trasposta C

X X

     

!

"

B #

$B / ^#  B B

8) Data la funzione 0 Bß Cß D œ B  D  ^C senC  #BD, calcolare f0 "ß !ß " .

9) Date le funzioni 0 B œ $B  "  e 1 B œ /  ^B", determinare l'espressione della funzione composta 0 1 0 B    e di quest'ultima determinare poi l'espressione della funzione inversa e della funzione derivata.

10) Determinare il valore della variabile che rende massimo il risultato del prodotto scalareB dei due vettori —œ Bß  Bß "  e ˜œ #ß $Bß B ^$.

II Appello Sessione Invernale 2013 - Compito  1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /  ^$B # /^B. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

# #

$ # BÄ∞ #

log B

  .

 

"  B #  $B  B

B  #B à #B  $

(9)

898Ê 9 ‚Ê 898 risulta o meno una tautologia.

4) Data la funzione 0 B œ /  5 , determinare per quali valori del parametro la funzio-5

#/  "

  ^#B_B

ne risulta strettamente monotòna a B − ‘ .

a) ha per asintoto obliquo sulla sinistra la retta di equazione C œ $B  #; b) ha per asintoto obliquo sulla destra la retta di equazione C œ #  $B;

c) soddisfa la seguente definizione di limite: a b& $ &  À !  B   $ &  Ê 0 B   &.

6) Data la matrice  œ #  " # trovare la relazione che deve intercorrere tra e B C

" "  "

 

affinchè il vettore  † † B risulti parallelo al vettore #ß " .  indica la trasposta C

X X

     

!

"

#

B

"  B  B  " B

8) Data la funzione 0 Bß Cß D œ B  cosC  D  $BD^C , calcolare f0 "ß !ß " .

9) Date le funzioni 0 B œ #B  "  e 1 B œ /  ^B#, determinare l'espressione della funzione composta 0 1 0 B    e di quest'ultima determinare poi l'espressione della funzione inversa e della funzione derivata.

10) Determinare il valore della variabile che rende massimo il risultato del prodotto scalareB dei due vettori —œ B ß  #Bß B ^$  e ˜œ "ß Bß " .

II Appello Sessione Invernale 2013 - Compito ‚ 1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ $/  ^#B /^B. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

# #

# $ BÄ∞ #

log B

  .

 

"  $B &  B  B

B  #B à B  #B

Ê 898 9 898Ê‚ risulta o meno una tautologia.

4) Data la funzione 0 B œ /  5 , determinare per quali valori del parametro la5 /  $

  ^#B_B

funzione risulta strettamente monotòna a B − ‘ .

a) ha per asintoto obliquo sulla sinistra la retta di equazione C œ B  $; b) ha per asintoto obliquo sulla destra la retta di equazione C œ $  #B;

c) soddisfa la seguente definizione di limite: a b& $ &  À !  B  "   $ &  Ê 0 B   &. 6) Data la matrice  œ " " # trovare la relazione che deve intercorrere tra e B C

#  " "

 

affinchè il vettore  † † B risulti parallelo al vettore #ß # .  indica la trasposta C

X      X 

7) Calcolare   d .

!

"

# $

B "  B  B  " B

8) Data la funzione 0 Bß Cß D œ C  $B C  B  ^D ^# cos , calcolare D f0 "ß "ß ! .

9) Date le funzioni 0 B œ /  ^"B e 1 B œ $B  #  , determinare l'espressione della funzione composta 1 0 1 B    e di quest'ultima determinare poi l'espressione della funzione inversa e della funzione derivata.

(10)

10) Determinare il valore della variabile che rende massimo il risultato del prodotto scalareB dei due vettori —œ $Bß Bß "  e ˜œ  Bß #ß B ^$.

II Appello Sessione Invernale 2013 - Compito ƒ 1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ #/  ^$B /^B. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

# #

# $ BÄ∞ #

log B

  .

 

"  %B $  B  #B

$B  #B à "  B  B

898Ê 9 Ê 898‚ risulta o meno una tautologia.

4) Data la funzione 0 B œ /  5 , determinare per quali valori del parametro la funzio-5

$/  "

  ^#B_B

ne risulta strettamente monotòna a B − ‘ .

a) ha per asintoto obliquo sulla sinistra la retta di equazione C œ $  B; b) ha per asintoto obliquo sulla destra la retta di equazione C œ #B  $;

c) soddisfa la seguente definizione di limite: a b& $ &  À !  B  "   $ &  Ê 0 B   &. 6) Data la matrice  œ # "  " trovare la relazione che deve intercorrere tra e B C

"  # #

 

affinchè il vettore  † † B risulti parallelo al vettore "ß  " .  indica la trasposta C

X X

     

7) Calcolare    d .

!

"

# &

B "  B  #B  $ B

8) Data la funzione 0 Bß Cß D œ #BC  D  D  ^# ^B sen , calcolare C f0 "ß !ß " .

9) Date le funzioni 0 B œ /  ^#B e 1 B œ #B  $  , determinare l'espressione della funzione composta 1 0 1 B    e di quest'ultima determinare poi l'espressione della funzione inversa e della funzione derivata.

10) Determinare il valore della variabile che rende massimo il risultato del prodotto scalareB dei due vettori —œ Bß "ß B  e ˜œ "ß B ß  #B ^$ .

Appello Sessione Straordinaria I 2013 1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B  " .

  B_# 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

# B B

# BÄ∞ B B

"  B  B / † B  B † $

B à $  %

cos sen log

.

3) Dati due generici insiemi e , determinare l'eventuale relazione insiemistica che inter-  corre tra l'insieme ∩V   e l'insieme V V   Ï. ( indica il complementare)V

4) Data 0 B œ B † /  ^"5B^# determinare, al variare del parametro , quando la funzione ha un5 punto di massimo in B œ $.

!

"

B B

B † /  / B

6) Data 0 Bß C œ B C  B  C  ^{# #} ^# ^#, si determinino i suoi eventuali punti di massimo e minimo relativo.

7) Data 0 B œ B  ^#, si determini il valore di in maniera tale che il punto che soddisfa al+ Teorema di Lagrange per 0 B  nell'intervallo !ß + sia B œ #! .

(11)

8) Date le matrici œ "  " ! e œ determinare i valori di e5

# " "

"  5 7 7  # "

" 5  "

 

 

7 † œ " !

! "

affinchè risulti    .

9) Disegnare un possibile grafico per una funzione che sia continua dappertutto eccetto che in B œ  " , dove presenta una discontinuità di I specie, e che abbia come asintoto orizzontale sulla sinistra la retta di equazione C œ  " e come asintoto obliquo sulla destra la retta di equazione .C œ " B  $

#

10) Data la funzione 0 B œ #B  "  si determini l'espressione della funzione 1 B œ +B  ,  sapendo che 0 1 0 B   œ "#B  $.

I Appello Sessione Estiva 2013

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione log . 0 B œ "  B

  B 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

# B

# BÄ∞ B B

sen sen log

B  B B B  / .

B  B à #  /

3) E' data una funzione 0 B  tale che lim0 B œ  ∞  e lim 0 B œ  ∞  . Dopo aver

BÄ" BÄ∞

enunciato, in forma metrica, la definizione per ciascuno dei due limiti, si disegni un possibile grafico di funzione che li soddisfi entrambi.

4) Data 0 B œ B † /  ^5B# determinare il valore del parametro per il quale la funzione ha un5 punto di flesso in B œ  ".

5) Calcolare  log d .

"

/

B † B  " B B

6) Data 0 Bß C œ B C  #B  C  ^{# #} ^# ^#, si determinino i suoi eventuali punti di massimo e minimo relativo.

7) Date le matrici œ " # , œ " 5 e ‚œ ! " , determinare il valore del

# " 5 " " !

     

parametro per il quale risulta 5 † † œ "  " .

 " "

  ‚  

Ê / ‚ÊÍ risulta una tautologia.

9) Determinare l'espressione del polinomio di MacLaurin di III grado per la funzione 0 B œ /  #/  ^B ^#B /^$B.

10) Data la funzione 0 B œ $B  "  si determini l'espressione della funzione 1 B  sapendo che 0 1 B œ B  ", dopodichè si determini l'espressione dell'inversa della funzione 1 B .

B  #

    

II Appello Sessione Estiva 2013

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ / .

"  /

  ^B _B

2) Studiare dove la funzione 0 B œ / risulta invertibile, determinando anche dominio,

"  /

  ^B _B

codominio ed espressione della sua inversa.

3) Determinare il valore dei seguenti limiti:

(12)

lim lim

BÄ!

B B B B

# BÄ∞ B B

/  $ B † #  $

#B  B à $  / .

4) Data 0 B œ B  5B  *B  (  ^$ ^# determinare il valore del parametro per il quale la fun-5 zione ha un punto di massimo in B œ ", studiando poi anche la natura degli eventuali altri suoi punti stazionari.

5) Determinare il valore del parametro per il quale 5  /  5B B œ #/d .

!

"

B

6) Dato il vettore — œ "ß 5ß  #  determinare:

a) il valore del parametro per il quale il vettore è perpendicolare a 5 ˜œ #ß "ß  % ; b) il valore del parametro per il quale il vettore è parallelo a 5 ˜œ #ß "ß  % ; c) i valori del parametro per i quali il vettore ha modulo uguale a .5 $

7) Data 0 B œ $B  %B  ^% ^$, si determinino i suoi eventuali punti di massimo e minimo relativo ed i suoi punti di flesso.

8) Si disegni un possibile grafico per una funzione 0 B  che soddisfa alle seguenti condizioni:

lim lim

BÄ∞0 B œ  ∞  , BÄ∞0 B œ  "  ed avente un punto di discontinuità di I specie in B œ " .

9) Data 0 Bß Cß D œ B  ^#senBC  C /  #D^D , calcolare f0 "ß  "ß ! .

10) Se l'espressione del polinomio di MacLaurin per la funzione sen risulta ugua-

0 B œ $B

  $ le a T B œ B  5B  )"B , quanto vale il parametro ?5

  ^$ %! ^&

I Appello Sessione Autunnale 2013

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ / "  /  ^B ^B. 2) Determinare se esiste   d .

∞

! / "  /B B B 3) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

# $ #

# $ BÄ∞

sen sen sen log log

B  B  B "  B  "  B .

B  B  B à  B  

4) Date œ e œ , ed il vettore —œ

" " ! 5 "  " "

! " " " 5  " "

" ! " "  " 5

     

     "

determinare i valori del parametro per i quali il vettore 5   —† † ha modulo uguale a $.

5) Data 0 Bß Cß D œ B C  CD  $D  ^# ^#, determinare tutti i punti B ß C ß D! ! ! nei quali risulta f0 B ß C ß D ! ! ! œ !ß "ß '.

6) Nel punto B_! la retta tangente al grafico della funzione 0 B œ $B  &B  #  ^# risulta parallela alla retta di equazione C œ "  (B. Determinare il punto B! e l'equazione della retta tangente.

7) Data 0 B œ log B , si determinino i suoi punti di discontinuità nonchè i suoi

"  B

   ^# #

asintoti.

Ê 898 9 Ê 898‚ risulta una tautologia

9) Data 0 B œ  senB  #B^# , si determini l'espressione del suo polinomio di MacLaurin di II grado e si dia una spiegazione del risultato trovato.

10) Si applichi il Teorema di Lagrange (o del Valor medio) alla funzione 0 B œ /  ^"#B nel- l'intervallo  #ß " e si determini il punto B_!nel quale il Teorema è soddisfatto.

(13)

II Appello Sessione Autunnale 2013

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B †  log^#B. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

$

$B BÄ∞ B B

"  B  " B # B  B /sen " à #  /log sen

.

3) Determinare il valore di per il quale 5  5 /  / dB œ !.

!

"

B B

4) Date le tre proposizioni , e , se una delle tre fosse sempre vera, allora la proposizione  ‚

Ê / ‚Ê risulta una tautologia. Quale tra , e deve essere sempre vera ?  ‚ 5) Data 0 Bß C œ B  C  $B  #C  ^$ ^# , determinare la natura dei suoi punti stazionari.

6) Il vettore —œ 7ß "ß 5  è parallelo al vettore ˜ œ  "ß #ß $ . A quanto è uguale il modulo di ?—

7) Determinare il campo d'esistenza della funzione log log nonchè il valore

0 B œ B

"  /

   B

del limite nei punti di frontiera di esso.

8) Si applica il Teorema di Lagrange (o del Valor medio) alla funzione 0 B œ B  $B  "  ^# nell'intervallo  !ß , ed il Teorema è soddisfatto nel punto B œ #! . Quale è il valore di ?, 9) Data 0 B œ 5 /  ^#B 5 /^B, come deve essere il parametro affinchè la funzione sia conca-5 va in log%ß  ∞.

10) Si determini l'espressione del polinomio di Taylor di III grado di 0 B œ  logB nel punto B œ " .

Appello Sessione Straordinaria II 2013

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ $/  ^&B &/^$B. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! # BÄ∞

sen sen $B

$B  #B " .

B  B à "  #B

3) Si determini l'espressione del polinomio di MacLaurin di III grado di 0 B œ /  ^$Bsen#B.

4) Verificare se e dove risulta che senB œ 9 / ^B . 5) Calcolare  log d .

"

/

B  B B

6) Dato il vettore — œ " # † 5 ! † #  " † " , determinare i valori di

 # " ! 5 " # "

            5 per i quali risulta   — œ &.

7) Data 0 Bß Cß D œ B † /  ^# ^CD  D †log BC , calcolare f0 "ß "ß " .

8) Date le proposizioni , e , determinare se   ‚  / Ê 898‚Í ‚9  risulta una tautologia.

9) Determinare il campo d'esistenza della funzione log .

0 B œ B  $

#  $

   ^# _B

10) Date le funzioni 0 B œ "  $B  e 1 B œ /  ^#B ", determinare l'espressione della funzione composta 0 1 B   e di quest'ultima determinare poi l'espressione della sua funzione inversa e della sua funzione derivata.