1
25. Operazioni con i limiti.
21 Definizione di Limiti
23 Limiti funzioni elementari
22 Funzioni continue (quindi limiti solo agli estremi)
25. Operazioni con i limiti + forme indeterminate Esercizi limiti funzioni composte
26 Limiti polinomi (risoluzione di alcune forme indeterminate)
27 Asintoti
24 Teoremi sui limiti
28 Teoremi funzioni continue 29 Discontinuità
25. Operazioni con i limiti.
25. Operazioni con i limiti
25. Operazioni con i limiti.
- Operazioni con i limiti somma/differenza - Operazioni con i limiti prodotto
- Operazioni con i limiti quoziente
- Tabella riassuntiva (forme indeterminate) - Calcolo limiti funzioni composte
Indice
Il calcolo dei limiti, almeno per gli esercizi che gli studenti di questo corso dovranno svolgere, si basano su:
- Continuità delle funzioni elementari - Limiti delle funzioni composte
- Limiti delle funzioni elementari agli estremi del loro dominio
- Operazioni con i limiti
- Trattamento di alcune forme indeterminate
Non verrà utilizzata la definizione di limite, che, ricordiamolo, comunque consente di verificare, non di determinare un limite.
Calcolo dei limiti
3
25. Operazioni con i limiti.
25. Operazioni con i limiti.
Siano f (x) e g (x) due funzioni definite in uno stesso intervallo I (limitato o non limitato) fatta eccezione al
più per un punto x0 I (con x0 punto al finito o all’infinito).
f x g x
l mm x g e l x f se
x x
x x x
x
) ( ) (
) ( )
(
lim
lim lim
0
0 0
• Operazioni con i limiti finiti
Operazioni con i limiti finiti
25. Operazioni con i limiti.
) ( )
(
lim
lim
0 0
x g e l x f se
x x x
x
) ( )
lim
(0
x g x f
x x
(limite della funzione infinita)
Operazioni con i limiti infiniti
) ( )
(
lim
lim
0 0
x g x
f
x x x
x
e
se
) ( )
lim
(0
x g x f
x x
00000
5
25. Operazioni con i limiti.
0
25. Operazioni con i limiti.
25. Operazioni con i limiti.
1
7
25. Operazioni con i limiti.
25. Operazioni con i limiti.
25. Operazioni con i limiti.
Operazioni con i limiti finiti
f x g x l m
m x g l
x f
x x
x x x
x
) ( ) (
) ( )
(
lim
lim lim
0
0 0
e
se
Attenzione!
Non vale il viceversa:
cioè, può esistere il limite del prodotto di due funzioni, ma può non esistere il limite di ciascuna
funzione a fattore
kf x
kl R k l x fx x x x
) ( ) (
lim lim
0 0
e
se
) ( )
(
lim
lim
0 0
x g e l x f se
x x x
x
l se
l x se
g x f
x
x
, 0
0 ) ,
( )
lim (
0
Operazioni con i limiti infiniti
0 )
lim
(0
k R
k x
f
x x
con , e
se
se
se
, 0
0 ) ,
lim (
0
k
x k kf
x
x
9
25. Operazioni con i limiti.
) ( )
( lim
lim
0 0
x g x
f
x x x
x
e
se
) ( )
lim (
0
x g x f
x x
Operazioni con i limiti infiniti
25. Operazioni con i limiti.
25. Operazioni con i limiti.
-1
1
11
25. Operazioni con i limiti.
25. Operazioni con i limiti.
25. Operazioni con i limiti.
0
∙ 0
13
25. Operazioni con i limiti.
25. Operazioni con i limiti.
m x m g
x g
se
x x x
x
1 ) ( 0 1
)
( lim
lim
0 0
Operazioni con i limiti finiti
0 )
lim (
0
x f
se
x x
( )
lim 1
0
f x
x x
0 )
lim (
0
x f
x x
se
( )
lim 1
0
f x
x x
25. Operazioni con i limiti.
)
lim
(0
x g se
x x
) 0 (
lim
10
x g x
x
finito
e
se f x g x l
x x x
x
) ( )
(
lim
lim
0 0
, 0
0 ,
) (
)
lim (
0
l
l x
g x f
x
x
se
se
Operazioni con i limiti infiniti
)
lim
(0
x f
x x
se 0
) (
lim
10
x f x
x
) ( )
(
lim
lim
0 0
x g l
x f
x x x
x
e finito
se
) 0 (
)
lim (
0
g x x f
x x
Operazioni con i limiti infiniti
15
25. Operazioni con i limiti.
m l x g
x f
m x g l
x f
x x
x x x
x
) (
) (
0 )
( )
(
lim
lim lim
0
0 0
e
se
Operazioni con i limiti finiti
25. Operazioni con i limiti.
Esercizio. Verificare se esiste il limite
1
lim 1
1
x
x
Dobbiamo fare limite a 1+ e 1-
1
lim 1
1
x
x
1 1
1
1
lim 1
1
x
x
1 1
1
0
1
0
1
Operazioni con i limiti finiti
25. Operazioni con i limiti.
1
-1
17
25. Operazioni con i limiti.
-1
25. Operazioni con i limiti.
25. Operazioni con i limiti.
Se esistono finiti i limiti di f e g in un punto x
0(al finito o all’infinito) allora esiste finito
anche il limite della loro funzione:
somma, differenza, prodotto e quoziente
se f e g sono funzioni continue in un punto x
0al finito, allora anche la loro funzione somma, differenza, prodotto e quoziente
è una funzione continua in x
0Operazioni con i limiti finiti
Relativamente alle regole enunciate per le operazioni con i limiti, esistono situazioni in
cui non è possibile stabilire se la somma, il prodotto, la differenza o il quoziente tra due (o
più) funzioni ammetta o non ammetta limite
Osservazioni
19
25. Operazioni con i limiti.
In definitiva, quindi:
le regole enunciate relativamente alle operazioni con i limiti perdono significato quando i limiti
considerati si presentano nelle forme
0
0 0
che vengono dette
forme di indecisione o forme indeterminate Forme indeterminate
25. Operazioni con i limiti.
Operazioni con i limiti: finale
)
limf(x
xa
)
limg(x
xa
) ( )
( lim
limf x g x
a x a
x
limf(x) g(x)
a x
( )
limg1x
xa ( )
)
limgf(xx
xa
l m
l
m
0
0
25. Operazioni con i limiti.
Operazioni con i limiti: finale
)
limf(x
xa
)
limg(x
xa
) ( )
( lim
limf x g x
a x a
x
limf(x) g(x)
a x
( )
limg1x
xa ( )
)
limgf(xx
xa
l m l+m lm
m 1
m l
l 0 0
m m1
0 ind 0 0
0 ind
0 ind
0 ind
ind 0 ind
In definitiva, l’ingrediente fondamentale per il calcolo dei limiti è la conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari! La funzione di cui si calcola il limite deve essere scissa nelle sue funzioni componenti, e il limite viene calcolato mediante una sequenza di limiti di funzioni elementari
Calcolo dei limiti
x y x
x y
y y x
x
ln 1 lim
ln lim
3 lim 3
lim
3 0 2 1 1 1
+∞
0
21
25. Operazioni con i limiti.
In definitiva, l’ingrediente fondamentale per il calcolo dei limiti è la conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari! La funzione di cui si calcola il limite deve essere scissa nelle sue funzioni componenti, e il limite viene calcolato mediante una sequenza di limiti di funzioni elementari
Calcolo dei limiti
x y x
x y
y y x
x
ln 1 lim
ln lim
3 lim 3
lim
3 0 2 1 1 1
+∞
0
