EQUAZIONI DI SECONDO GRADO. Gaetano Tarcisio Spartà

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EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Gaetano Tarcisio Spartà

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Indice

1. PROPRIETÀ GENERALI ... 3 2. ESEMPI ... 5 3. UN PROBLEMA DI SECONDO GRADO ... 8

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1. P

ROPRIETÀ GENERALI

Siano a, b, c numeri reali, con a diverso da zero. L’espressione 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

è detta “equazione di secondo grado in forma normale”. La x presente nell’espressione si dice “incognita” dell’equazione. L’equazione si dice di secondo grado perché la potenza più alta a cui x è elevata è 2.

Ci poniamo il problema di conoscere quei valori di x (come numero reale) che rendono vera l’uguaglianza, cioè le (eventuali) soluzioni dell’equazione.

Definiamo “discriminante” dell’equazione il numero

∆= 𝑏²− 4𝑎𝑐 .

Il simbolo ∆ (che rappresenta, appunto, il discriminante) si legge

“delta” e corrisponde a una lettera dell’alfabeto greco (la delta maiuscola).

Il discriminante ci permette di determinare se l’equazione ammette soluzioni, e (eventualmente) quali sono. Infatti, si dimostra che:

1) Se

∆> 𝟎 ,

allora l’equazione ammette due soluzioni (come numeri reali). In particolare, se indichiamo le soluzioni con 𝑥₁ , 𝑥₂ , esse risultano

𝑥₁ =−𝑏 − √∆

2𝑎 e

𝑥₂ = −𝑏 + √∆

2𝑎 . 2) Se

∆= 𝟎 ,

allora l’equazione ammette un’unica soluzione (si usa anche dire che ammette due soluzioni reali “coincidenti”). In particolare, se indichiamo la soluzione con 𝑥₁ , essa risulta

𝑥₁ =−𝑏 2𝑎 .

(4)

3) Se

∆< 𝟎 ,

allora l’equazione non ammette soluzioni (cioè, non esiste alcun numero reale che rende vera l’uguaglianza).

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2. E

SEMPI

Vediamo degli esempi (con coefficienti numerici) di equazioni di secondo grado.

Esempio 1

Consideriamo l’equazione

𝑥² + 𝑥 = 0 .

Osserviamo che essa è equivalente (per la proprietà distributiva) a 𝑥(𝑥 + 1) = 0 .

Il prodotto

𝑥(𝑥 + 1) si annulla nei due casi

𝑥 = 0 e

𝑥 + 1 = 0 . Dunque l’equazione ha soluzioni 0, -1.

Esempio 2

𝑥² − 9 = 0 . Osserviamo che essa è equivalente a

𝑥² = 9 ,

e quest’ultima uguaglianza è verificata per 𝑥 = 3

e per

𝑥 = −3 . Dunque l’equazione ha soluzioni 3, -3.

Esempio 3

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2𝑥²+ 5𝑥 + 2 = 0 .

Essa corrisponde alla forma normale vista nel paragrafo precedente, con

𝑎 = 2 , 𝑏 = 5 , 𝑐 = 2 . Il discriminante di questa equazione è

∆= 𝑏²− 4𝑎𝑐

= 5²− 4 ∙ 2 ∙ 2

= 25 − 16 = 9 . Osserviamo che

∆> 0 ,

dunque l’equazione ha due soluzioni, che indichiamo con 𝑥₁ , 𝑥₂ , dove 𝑥₁ =−5 − √∆

2 ∙ 2

=−5 − 3 4

= −8

4 = −2 e

𝑥₂ =−5 + √∆

2 ∙ 2

=−5 + 3 4

=−2

4 = −1 2 .

Esempio 4

𝑥²+ 𝑥 + 1 = 0 .

Essa corrisponde alla forma normale vista nel paragrafo precedente, con

𝑎 = 1 , 𝑏 = 1 , 𝑐 = 1 . Il discriminante di questa equazione è

∆= 𝑏²− 4𝑎𝑐

(7)

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= 1 − 4 ∙ 1 ∙ 1

= 1 − 4 = −3 . Osserviamo che

∆< 0 ,

dunque l’equazione ha non ha soluzioni (come numeri reali).

(8)

3. U

N PROBLEMA DI SECONDO GRADO

Vediamo adesso un esempio di problema che può essere risolto riconducendosi a un’equazione di secondo grado.

Problema 1

Consideriamo il triangolo rettangolo di vertici A,B,C. Sapendo che l’ipotenusa BC misura 5 cm e che la differenza tra le lunghezze dei cateti è 1 cm, determinare il perimetro del triangolo.

Se indichiamo con x la lunghezza (in centimetri) del cateto minore, i dati del problema ci dicono che il cateto maggiore misura x+1 (centimetri).

Inoltre, ricordiamo che, per il teorema di Pitagora, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti. Cioè, in termini algebrici si ha

𝑥²+ (𝑥 + 1)² = 5² .

Sviluppando l’equazione, essa risulta equivalente a 𝑥²+ 𝑥²+ 1 + 2𝑥 = 25 ,

cioè

2𝑥²+ 2𝑥 − 24 = 0 ,

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equivalente (dividendo per 2 entrambi i membri) a 𝑥²+ 𝑥 − 12 = 0 .

Il discriminante di questa equazione è

∆= 1²− 4 ∙ 1 ∙ (−12)

= 1 + 48 = 49 . Osserviamo che

∆> 0 ,

dunque l’equazione ha due soluzioni, che indichiamo con 𝑥₁ , 𝑥₂ , dove 𝑥₁ =−1 − √∆

2

=−1 − 7 2

= −8

2 = −4 e

𝑥₂ =−1 + √∆

2

=−1 + 7 2

=6 2= 3 .

Scartando la soluzione di segno negativo, otteniamo che il cateto minore ha lunghezza 3cm. Allora il cateto maggiore misura 3cm+1cm=4cm, e il perimetro (cioè, la somma delle lunghezze dei lati) è

𝑃 = 3𝑐𝑚 + 4𝑐𝑚 + 5𝑐𝑚 = 12𝑐𝑚 .