Analisi Matematica I Gianluca Ferrari Integrali Impropri
Tema d’Esame del 5 giugno 2018 – Unità 2
Esercizio 2
Come prima cosa, determiniamo il dominio della funzione integranda
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1
(𝑥2 − 1)[4 + log2(𝑥 + 1)]
ponendo il denominatore diverso da zero e l’argomento del logaritmo strettamente maggiore di zero.
{𝑥2 − 1 ≠ 0 → 𝑥 ≠ ±1
𝑥 + 1 > 0 → 𝑥 > −1 ⟹ 𝑥 > −1 ∧ 𝑥 ≠ 1 dom 𝑓 = ]−1; 1[ ∪ ]1; +∞[
Si tratta dunque di un integrale improprio nel punto 𝑥 = 1; tuttavia possiamo riscrivere l’integrale come
∫ 𝑥 − 1
(𝑥2− 1)[4 + log2(𝑥 + 1)]
1 0
𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥
(𝑥 + 1)[4 + log2(𝑥 + 1)]
1
0
Avvalendoci del teorema di sostituzione, poniamo log(𝑥 + 1) = 𝑡, da cui 𝑥+11 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡.
Possiamo infine risolvere l’integrale.
∫ 𝑑𝑥
(𝑥 + 1)[4 + log2(𝑥 + 1)]
1 0
= ∫ 𝑑𝑡
4 + 𝑡2
log 2 0
=1 2∫
12 𝑑𝑡 1 + (𝑡 2)
2 log 2
0
=1
2[arctg𝑡 2]
0 log 2
= 1
2(arctglog 2
2 − arctg 0) = 1
2arctg log √2
