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Tema d’Esame del 19 giugno 2018 – Unità 2 Esercizio 2

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Analisi Matematica I Gianluca Ferrari Calcolo Integrale

Tema d’Esame del 19 giugno 2018 – Unità 2

Esercizio 2

Per determinare la famiglia di primitive di 𝑎(𝑥), calcoliamo l’integrale indefinito mediante la formula d’integrazione per parti, ponendo 𝐹(𝑥) = 𝑥 e 𝑔(𝑥) = cos12𝑥.

∫ 𝑥

cos2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 tg 𝑥 − ∫ tg 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 tg 𝑥 + ∫−sen 𝑥

cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 tg 𝑥 + log|cos 𝑥| + 𝑐 Siccome dom 𝐴 = ]−𝜋2;𝜋2[, il coseno è positivo, dunque possiamo scrivere la generica primitiva di 𝑎(𝑥) come 𝑥 tg 𝑥 + log cos 𝑥 + 𝑐, togliendo il modulo.

Determiniamo la primitiva 𝐴(𝑥), ponendo 𝐵′(𝑥) = 0 con 𝐵(𝑥) = 𝑥𝐴(𝑥).

Avremo dunque

𝐵′(𝑥) = 𝐴(𝑥) + 𝑥𝐴′(𝑥) = 𝐴(𝑥) + 𝑥𝑎(𝑥) = 𝑥 tg 𝑥 + log|cos 𝑥| + 𝑐 + 𝑥2 cos2𝑥 da cui

𝐵′(0) = 0 tg 0 + log cos 0 + 𝑐 + 0 = 1 ⟹ 𝑐 = 1 La primitiva ricercata avrà espressione analitica data da

𝐴(𝑥) = 𝑥 tg 𝑥 + log cos 𝑥 + 1

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E E ∫ ∫ ! 1 ( rR E E = r ! ! !"#$%& ) ( 2 r = ) ⋅ ⋅ E + d R d " + S S ! E ! 2 = = ( r E E ) ( r + ) = E ⋅ = ⋅ " 2 2 2 E ( rh rh r r ) = = = ( r ) 1 2 h rR !"#$%& ⇒ Rh E ! ⇒ + 2 ( E r ! ) = r ˆ ( r 2 ) = Rr r r ˆ r ˆ

i) Il campo elettrico prodotto, sia internamente che esternamente alla sfera, è radiale per la simmetria sferica del problema.. Quale sarà il valore di b affinché la forza