Fisica Generale I Gianluca Ferrari Dinamica del corpo rigido
Tema d’Esame del 28 giugno 2018
Esercizio 2
𝑀 = 1 𝑘𝑔; 𝑅 = 0,50 𝑚; 𝜃 = 30°; 𝑚 = 0,15 𝑘𝑔; 𝑘 = 50 𝑁/𝑚;
i. 𝑇 = ?; Δ𝑙 = ?;
ii. 𝑎𝐶𝑀 = ?;
In primo luogo, è possibile notare che la tensione della fune – da determinare – risulta essere applicata nel centro di massa del cilindro; di conseguenza essa non compie momento rispetto al CM: sarà la forza di attrito statico la forza responsabile della rotazione del corpo rigido. Impostiamo il sistema di equazioni che esprimano le due equazioni cardinali della dinamica dei sistemi (con l’applicazione opportuna delle leggi della dinamica), che richiamiamo qui:
{
𝐹⃗⃗⃗⃗ =𝑒 𝑑𝑝
𝑑𝑡 = 𝑀𝑎⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝑀 𝑀𝐶𝑀𝑒
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝐿⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝑀
𝑑𝑡 =𝑑(𝐼𝐶𝑀𝜔⃗⃗ )
𝑑𝑡 = 𝐼𝐶𝑀𝛼 Applicando la dinamica, giungiamo al seguente sistema:
{
𝑀𝑔 sen 𝜃 − 𝑇 − 𝑓𝑎 = 𝑀𝑎𝐶𝑀 𝑁 − 𝑀𝑔 cos 𝜃 = 0 𝑇 − 𝑘Δ𝑙 = 0 𝑘Δ𝑙 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎′ 𝑓𝑎𝑅 = 1
2𝑀𝑅2𝛼
Analizzando il caso fisico in esame, è possibile notare che l’accelerazione lineare del filo coincide con quella del centro di massa del disco, nonché, siccome siamo in
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presenza di un moto di puro rotolamento, 𝑎⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼 × 𝑅⃗ . Il sistema precedente, può 𝐶𝑀 essere quindi scritto come di seguito:
{
𝑀𝑔 sen 𝜃 − 𝑇 − 𝑓𝑎 = 𝑀𝑎𝐶𝑀 𝑁 − 𝑀𝑔 cos 𝜃 = 0 𝑇 − 𝑘Δ𝑙 = 0 𝑘Δ𝑙 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎𝐶𝑀 𝑓𝑎𝑅 = 1
2𝑀𝑅2𝑎𝐶𝑀
𝑅
⟹ {
𝑀𝑔 sen 𝜃 − 𝑇 −1
2𝑀𝑎𝐶𝑀 = 𝑀𝑎𝐶𝑀 𝑇 = 𝑘Δ𝑙 = 𝑚(𝑔 + 𝑎𝐶𝑀) 𝑓𝑎 =1
2𝑀𝑎𝐶𝑀
{𝑀𝑔 sen 𝜃 − 𝑚(𝑔 + 𝑎𝐶𝑀) = 3
2𝑀𝑎𝐶𝑀
𝑇 = 𝑘Δ𝑙 = 𝑚(𝑔 + 𝑎𝐶𝑀) ⟹ (𝑀 sen 𝜃 − 𝑚)𝑔 = (3
2𝑀 + 𝑚) 𝑎𝐶𝑀 L’accelerazione del centro di massa sarà data da
𝑎𝐶𝑀 =𝑀 sen 𝜃 − 𝑚
3𝑀/2 + 𝑚 𝑔 = 7
33𝑔 ≈ 2,08 𝑚/𝑠2 da cui
𝑇 = 𝑚(𝑔 + 𝑎𝐶𝑀) ≈ 1,78 𝑁 Δ𝑙 = 𝑇
𝑘 = 𝑚
𝑘 (𝑔 + 𝑎𝐶𝑀) ≈ 3,6 𝑐𝑚 iii. 𝑣𝐶𝑀 = ? t.c. Δℎ = 5 𝑚;
Siccome abbiamo una variazione di quota del corpo di massa 𝑚 pari a Δℎ e la fune è inestensibile, allora avremo che il corpo rigido percorrerà un tratto di piano anch’esso pari a Δℎ. Di conseguenza avremo una variazione di quota per il corpo rigido pari a
Δ𝐻 = Δℎ sen 𝜃
Per determinare la velocità finale del centro di massa è opportuno utilizzare il principio di conservazione dell’energia meccanica, ricordando che la forza di attrito statico non compie lavoro e quindi non c’è dissipazione di energia. Dunque si avrà che
𝑀𝑔Δℎ sen 𝜃 =1
2𝑀𝑣𝐶𝑀2 +1
2𝐼𝐶𝑀𝜔2 𝑀𝑔Δℎ sen 𝜃 = 1
2𝑀𝑣𝐶𝑀2 +1
4𝑀𝑅2𝜔2 𝑔Δℎ sen 𝜃 = 1
2𝑣𝐶𝑀2 +1
4𝑣𝐶𝑀2 = 3
4𝑣𝐶𝑀2 ⟹ 𝑣𝐶𝑀 = √4
3𝑔Δℎ sen 𝜃 ≈ 5,72 𝑚/𝑠
