Calcolo delle Probabilità 2011/12 – Foglio di esercizi 4
†Variabili aleatorie discrete (I).
Esercizio 1. 120 studenti sono suddivisi in 3 gruppi di 16, 40 e 44 studenti rispettivamente.
(a) Scelgo un gruppo a caso e indico con Y il numero di studenti nel gruppo scelto.
Determinare distribuzione e valore atteso di Y .
(b) Scelgo uno studente a caso e indico con X il numero di studenti nello stesso gruppo dello studente scelto. Determinare distribuzione e valore atteso di X.
Esercizio 2. Si considerino 3 urne identiche, ognuna contenente una pallina rossa e quattro palline verdi. Ogni urna viene assegnata ad uno di tre giocatori, e ogni giocatore estrae una pallina dalla propria urna. Un montepremi di 300 Euro viene diviso tra i giocatori che estraggono la pallina rossa.
(a) Sia X il numero di Euro vinti da ogni giocatore vincente (X = 0 se nessun giocatore estrae la pallina rossa). Determinare la densità e la media di X.
(b) Si supponga di considerare uno dei tre giocatori, chiamiamolo Tizio, e sia Y il numero di Euro vinti da Tizio. Si determinino la densità e la media di Y .
Esercizio 3. Un’urna contiene n ≥ 1 palline bianche e 2 palline rosse. Si eseguono estrazioni ripetute senza reimmissione. Introduciamo la variabile casuale
X = numero di palline bianche estratte prima di estrarre una pallina rossa, la cui densità discreta verrà indicata con pX(k) = P (X = k).
(a) Mostrare che, per k = 0, 1, . . . , n, pX(k) = 2
(n + 2)(n + 1)(n − k + 1).
(b) Calcolare E(X). [Sugg.: ricordare chePn
k=1k = n(n+1)2 ePn
k=1k2 = n(n+1)(2n+1)
6 .]
Esercizio 4. Si sceglie a caso un campione di 3 oggetti da un lotto di 100, di cui 10 sono difettosi. Si determinino la distribuzione e il valor medio del numero di oggetti difettosi X contenuti nel campione.
Esercizio 5. Un gioco a premi ha un montepremi di 512 euro. Vengono poste ad un concorrente 10 domande. Ad ogni risposta errata il montepremi viene dimezzato. Alla prima risposta esatta il concorrente vince il montepremi rimasto. Se non si dà alcuna risposta esatta non si vince nulla. Un certo concorrente risponde esattamente ad una domanda con probabilità p ∈ (0, 1), indipendentemente dalle risposte alle altre domande. Indicando con X la vincita di questo concorrente, si determini la distribuzione di X e se ne calcoli il valor medio E(X).
†Ultima modifica: 2 novembre 2011.
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Esercizio 6. Si consideri la seguente classica strategia per il gioco della roulette. Punto sempre sul rosso (la probabilità che esca il rosso in una giocata vale 1837; se si vince si riceve il doppio della posta). Alla prima giocata punto un euro: se vinco, mi ritiro con l’euro guadagnato e il gioco finisce; se perdo, raddoppio la posta alla seconda puntata; e così via.
Il mio capitale iniziale è pari a 1023 euro, quindi se perdo 10 volte di seguito devo smettere.
Sia X la differenza tra il mio capitale alla fine del gioco e all’inizio. Si calcolino la distribuzione e il valore atteso di X. [Sugg.: quali valori può assumere X?]
Esercizio 7. Siano X e Y due variabili casuali a valori in N0 aventi la seguente densità congiunta:
pX,Y(k, n) = ( n
kpk(1 − p)n−ke−λ λn!n se 0 ≤ k ≤ n
0 altrimenti,
dove p ∈ (0, 1) e λ > 0 sono parametri fissati. Si determinino le densità marginali di X e Y e si calcoli Cov(X, Y ).
Esercizio 8. Sia Xn una variabile casuale con distribuzione uniforme in {n1,n2, . . . ,n−1n , 1}, dove n ∈ N. Data f : [0, 1] → R continua, si calcoli il limite di E(f (Xn)) per n → ∞.
Esercizio 9. (*) Sia X una variabile casuale a valori in N0. Si mostri che E(X) =
∞
X
n=1
P (X ≥ n) .
Esercizio 10. Siano X, Y variabili aleatorie discrete reali, definite sullo stesso spazio di probabilità (Ω, A, P), e sia S := X + Y . Si mostri che la densità discreta della variabile aleatoria discreta S è data da
pS(z) = X
x∈R
pX,Y(x, z − x) , ∀z ∈ R .
