Formulario del corso di Statistica I Ingegneria Gestionale

(1)

Formulario del corso di Statistica I Ingegneria Gestionale

a.a. 2009/10 x = ^x

¹

^+:::+x _n

ⁿ

, S ² = _{n 1} ¹ P n

i=1 (x i x) ² , d Cov = _{n 1} ¹ P n

i=1 (x i x) (y i y), r = _S ^Cov ^d

x{X

S

Y

=

P

n

i=1

(x

i

x)(y

i

y)

p P

_n

i=1

(x

i

x)

²

P

_n

i=1

(y

i

y)

²

. P n

i=1 (x i x) ² = P n i=1 x ² _i nx ² , P n

i=1 (x i x) (y i y) = ( P n

i=1 x i y i ) nxy.

n! = n (n 1) 2 1, 0! = 1. ⁿ _k = _{k!(n k)!} ^n! = ^{n (n 1)} _k! ^{(n k+1)} . P (AjB) = ^{P (A} P (B) ^\B) , P (A \ B) = P (AjB) P (B). A; B indipendenti:

P (A \ B) = P (A) P (B), P (AjB) = P (A), P (BjA) = P (B). P (A) = P

k P (AjB ^k ) P (B k ). P (BjA) = ^{P (A} P (A) ^{jB)P (B)} .

X discreta, valori a _j , P (X = a _j ) = p _j , allora E [X] = P

j a _j p _j , E [g (X)] = P

j g (a j ) p j , E X ² = P

j a ² _j p j . P (X 2 A) = P

i:a

i

2A P (X = a i ) = P

i:a

i

2A p i . X 2 N, P (X n) = P n

i=0 p i , P (X n) = P ₁

i=n p i . X continua, densità f (x), allora E [X] = R ₁

1 xf (x) dx, E [g (X)] = R ₁

1 g (x) f (x) dx, in particolare E X ² = R ₁

1 x ² f (x) dx. P (X 2 A) = R

A f (x) dx.

V ar [X] = ² _X := E h

(X _X ) ² i

dove _X = E [X]. V ar [X] = E X ²

2 X . Cov (X; Y ) = E [(X _X ) (Y _Y )], Cov (X; Y ) = E [XY ] _X _Y . (X; Y ) = ^{Cov(X;Y )}

X Y

. 1 (X; Y ) 1.

E [aX + bY + c] = aE [X]+bE [Y ]+c. V ar [X + Y ] = V ar [X]+V ar [Y ]+

2Cov (X; Y ). V ar [aX] = a ² V ar [X]. Standardizzazione di X: ^X

^X

X

. X; Y indipendenti: P (X 2 A; Y 2 B) = P (X 2 A) P (Y 2 B). Implica E [XY ] = E [X] E [Y ], Cov (X; Y ) = 0, (X; Y ) = 0, V ar [X + Y ] = V ar [X] + V ar [Y ].

F (x) = P (X x). F (t) = R t

1 f (x) dx. F ⁰ (t) = f (t). F (q ) = . ' (t) = E e ^tX , ' ⁰ (0) = E [X], ' ⁰⁰ (0) = E X ² ; ' _aX (t) = E e ^taX = ' _X (at). X; Y indipendenti implica ' _X+Y (t) = ' _X (t) ' _Y (t).

X B (n; p): P (X = k) = ⁿ _k p ^k (1 p) ^{n k} , E [X] = np, V ar [X] = np (1 p), = p

np (1 p), ' (t) = (q + pe ^t ) ⁿ dove q = 1 p. X 1 ; :::; X n

B (1; p) indipendenti implica S = X 1 + ::: + X n B (n; p).

X P ( ): P (X = k) = e k!

^k

, E [X] = , V ar [X] = , = p , ' (t) = e ( ^e

^t

¹ ). Se np n = allora lim n !1 n

k p ^k _n (1 p n ) ^{n k} = e _k!

^k

.

1

(2)

X N ; ² : f (x) = p ¹

2

²

exp ^(x ₂

2

⁾

²

. E [X] = , V ar [X] =

2 , ' (t) = e ^t e

^t2²²

. X; Y gaussiane indipendenti, a; b; c 2 R implica aX + bY + c gaussiana. X N ; ² si può scrivere come X = Z + , con Z N (0; 1). F _;

²

(x) = ^x . ( x) = 1 (x). q = q ₁ . Soglie q .

X Exp ( ): f (x) = e ^x per x 0, zero per x < 0. E [X] = ¹ , V ar [X] = ¹

2

, = ¹ , ' (t) = _t per t < . F (x) = 1 e ^x per x 0, zero per x < 0.

TLC: P ^X

¹

^+:::+X p n

ⁿ

ⁿ 2 A P (Z 2 A), con Z N (0; 1).

X = ^X

¹

^+:::+X _n

ⁿ

N ; _n

²

. E S ² = ² . ^S

2²

(n 1) ² _{n 1} .

= X ^q p

¹ ²

n ; = X ^{S t}

(n 1) 1 2

p n .

x

₀

p

n > q 1

₂

. ^x _S

⁰

p

n > t ^{(n 1)} ₁

2

. P jZj > ^x S

⁰

p n , P X 2 h

0 q p

1 2

n ; ₀ + ^q p

¹ ²

n

i .

S

²

2

(n 1) > ² _{;n 1} . T = n P k

i=1 (b p

i

p

i

)

²

p

i

= P k

i=1

( ^X ^b

i

np

i

)

²

np

i

> ² _;k ₁ . y = A + Bx, B = ^Cov ^d _S

2

X

= r ^S _S

^Y

X

Formulario del corso di Statistica I Ingegneria Gestionale

Formulario del corso di Statistica I Ingegneria Gestionale

a.a. 2009/10 x = x

+:::+x n

, S 2 = n 1 1 P n

i=1 (x i x) 2 , d Cov = n 1 1 P n

i=1 (x i x) (y i y), r = S Cov d

S

=

P

(x

x)(y

y)

p P

(x

x)

P

(y

y)

. P n

i=1 (x i x) 2 = P n i=1 x 2 i nx 2 , P n

i=1 (x i x) (y i y) = ( P n

i=1 x i y i ) nxy.

n! = n (n 1) 2 1, 0! = 1. n k = k!(n k)! n! = n (n 1) k! (n k+1) . P (AjB) = P (A P (B) \B) , P (A \ B) = P (AjB) P (B). A; B indipendenti:

P (A \ B) = P (A) P (B), P (AjB) = P (A), P (BjA) = P (B). P (A) = P

k P (AjB k ) P (B k ). P (BjA) = P (A P (A) jB)P (B) .

X discreta, valori a j , P (X = a j ) = p j , allora E [X] = P

j a j p j , E [g (X)] = P

j g (a j ) p j , E X 2 = P

j a 2 j p j . P (X 2 A) = P

i:a

2A P (X = a i ) = P

i:a

2A p i . X 2 N, P (X n) = P n

i=0 p i , P (X n) = P 1

i=n p i . X continua, densità f (x), allora E [X] = R 1

1 xf (x) dx, E [g (X)] = R 1

1 g (x) f (x) dx, in particolare E X 2 = R 1

1 x 2 f (x) dx. P (X 2 A) = R

A f (x) dx.

V ar [X] = 2 X := E h

(X X ) 2 i

dove X = E [X]. V ar [X] = E X 2

2

X . Cov (X; Y ) = E [(X X ) (Y Y )], Cov (X; Y ) = E [XY ] X Y . (X; Y ) = Cov(X;Y )

. 1 (X; Y ) 1.

E [aX + bY + c] = aE [X]+bE [Y ]+c. V ar [X + Y ] = V ar [X]+V ar [Y ]+

2Cov (X; Y ). V ar [aX] = a 2 V ar [X]. Standardizzazione di X: X

. X; Y indipendenti: P (X 2 A; Y 2 B) = P (X 2 A) P (Y 2 B). Implica E [XY ] = E [X] E [Y ], Cov (X; Y ) = 0, (X; Y ) = 0, V ar [X + Y ] = V ar [X] + V ar [Y ].

F (x) = P (X x). F (t) = R t

1 f (x) dx. F 0 (t) = f (t). F (q ) = . ' (t) = E e tX , ' 0 (0) = E [X], ' 00 (0) = E X 2 ; ' aX (t) = E e taX = ' X (at). X; Y indipendenti implica ' X+Y (t) = ' X (t) ' Y (t).

X B (n; p): P (X = k) = n k p k (1 p) n k , E [X] = np, V ar [X] = np (1 p), = p

np (1 p), ' (t) = (q + pe t ) n dove q = 1 p. X 1 ; :::; X n

B (1; p) indipendenti implica S = X 1 + ::: + X n B (n; p).

X P ( ): P (X = k) = e k!

, E [X] = , V ar [X] = , = p , ' (t) = e ( e

1 ). Se np n = allora lim n !1 n

k p k n (1 p n ) n k = e k!

.

1

X N ; 2 : f (x) = p 1

2

exp (x 2

)

. E [X] = , V ar [X] =

2 , ' (t) = e t e

. X; Y gaussiane indipendenti, a; b; c 2 R implica aX + bY + c gaussiana. X N ; 2 si può scrivere come X = Z + , con Z N (0; 1). F ;

(x) = x . ( x) = 1 (x). q = q 1 . Soglie q .

X Exp ( ): f (x) = e x per x 0, zero per x < 0. E [X] = 1 , V ar [X] = 1

, = 1 , ' (t) = t per t < . F (x) = 1 e x per x 0, zero per x < 0.

TLC: P X

+:::+X p n

n 2 A P (Z 2 A), con Z N (0; 1).

X = X

+:::+X n

N ; n

. E S 2 = 2 . S

(n 1) 2 n 1 .

= X q p

n ; = X S t

a.a. 2009/10 x = ^x

^+:::+x _n

, S ² = _{n 1} ¹ P n

i=1 (x i x) ² , d Cov = _{n 1} ¹ P n

i=1 (x i x) (y i y), r = _S ^Cov ^d

i=1 (x i x) ² = P n i=1 x ² _i nx ² , P n

n! = n (n 1) 2 1, 0! = 1. ⁿ _k = _{k!(n k)!} ^n! = ^{n (n 1)} _k! ^{(n k+1)} . P (AjB) = ^{P (A} P (B) ^\B) , P (A \ B) = P (AjB) P (B). A; B indipendenti:

k P (AjB ^k ) P (B k ). P (BjA) = ^{P (A} P (A) ^{jB)P (B)} .

X discreta, valori a _j , P (X = a _j ) = p _j , allora E [X] = P

j a _j p _j , E [g (X)] = P

j g (a j ) p j , E X ² = P

j a ² _j p j . P (X 2 A) = P

i=0 p i , P (X n) = P ₁

i=n p i . X continua, densità f (x), allora E [X] = R ₁

1 xf (x) dx, E [g (X)] = R ₁

1 g (x) f (x) dx, in particolare E X ² = R ₁

1 x ² f (x) dx. P (X 2 A) = R

V ar [X] = ² _X := E h

(X _X ) ² i

dove _X = E [X]. V ar [X] = E X ²

X . Cov (X; Y ) = E [(X _X ) (Y _Y )], Cov (X; Y ) = E [XY ] _X _Y . (X; Y ) = ^{Cov(X;Y )}

2Cov (X; Y ). V ar [aX] = a ² V ar [X]. Standardizzazione di X: ^X

1 f (x) dx. F ⁰ (t) = f (t). F (q ) = . ' (t) = E e ^tX , ' ⁰ (0) = E [X], ' ⁰⁰ (0) = E X ² ; ' _aX (t) = E e ^taX = ' _X (at). X; Y indipendenti implica ' _X+Y (t) = ' _X (t) ' _Y (t).

X B (n; p): P (X = k) = ⁿ _k p ^k (1 p) ^{n k} , E [X] = np, V ar [X] = np (1 p), = p

np (1 p), ' (t) = (q + pe ^t ) ⁿ dove q = 1 p. X 1 ; :::; X n

, E [X] = , V ar [X] = , = p , ' (t) = e ( ^e

¹ ). Se np n = allora lim n !1 n

k p ^k _n (1 p n ) ^{n k} = e _k!

X N ; ² : f (x) = p ¹

exp ^(x ₂

⁾

2 , ' (t) = e ^t e

. X; Y gaussiane indipendenti, a; b; c 2 R implica aX + bY + c gaussiana. X N ; ² si può scrivere come X = Z + , con Z N (0; 1). F _;

(x) = ^x . ( x) = 1 (x). q = q ₁ . Soglie q .

X Exp ( ): f (x) = e ^x per x 0, zero per x < 0. E [X] = ¹ , V ar [X] = ¹

, = ¹ , ' (t) = _t per t < . F (x) = 1 e ^x per x 0, zero per x < 0.

TLC: P ^X

^+:::+X p n

ⁿ 2 A P (Z 2 A), con Z N (0; 1).

X = ^X

^+:::+X _n

N ; _n

. E S ² = ² . ^S

(n 1) ² _{n 1} .

= X ^q p

n ; = X ^{S t}

. ^x _S

n > t ^{(n 1)} ₁

. P jZj > ^x S

n ; ₀ + ^q p

(n 1) > ² _{;n 1} . T = n P k

( ^X ^b

> ² _;k ₁ . y = A + Bx, B = ^Cov ^d _S

= r ^S _S