Area di un dominio D ⊂ R 2 : A(D) = RR

Analisi Matematica II, Ing. Aerospaziale (Canale A-K)

Silvia Marconi - 26 Marzo 2012 -

 Integrali doppi

Area di un dominio D ⊂ R ² : A(D) = RR

D dxdy.

Propriet` a di simmetria (si veda la lezione del 22 Marzo).

 Cambio di coordinate negli integrali doppi

• Z Z

D

x dxdy D = {(x, y) ∈ R ² : 0 ≤ y−x ² ≤ 2; 2 ≤ y+x ² ≤ 3; x > 0}

[Risp.: RR

D x dxdy = ¹ ₂ ].

 Coordinate polari

Elemento di area in coordinate polari.

• Z Z

D

|x − y| dxdy D = {(x, y) ∈ R ² : 1 ≤ x ² + y ² ≤ 4; y ≥ 0}

[Risp.: RR

D |x − y| dxdy = ¹⁴ ₃ √ 2].

 Coordinate ellittiche

Coordinate ellittiche. Matrice Jacobiana della trasformazione in coordinate ellittiche.

• Z Z

D

y dxdy D = {(x, y) ∈ R ² : 18 ≤ 4x ² + 9y ² ≤ 36; y ≥ 0}

[Risp.: RR

D y dxdy = 8 − 2 √ 2].

• Area dell’ellisse E di centro (x ₀ , y ₀ ) e semiassi a e b.

[Risp.: RR

E dxdy = abπ].

 Lunghezza di curve e integrali curvilinei di prima specie

• Lunghezza della circonferenza:

γ ₁ (ϑ) = (x ₀ + R cos ϑ, y ₀ + R sin ϑ), ϑ ∈ [0, 2π]

γ ₂ (ϑ) = (x ₀ + R cos ϑ, y ₀ + R sin ϑ), ϑ ∈ [0, 3π]

• Lunghezza dell’elica cilindrica:

γ(ϑ) = (R cos ϑ, R sin ϑ, ϑ), ϑ ∈ [0, 2π]

• Integrale curvilineo:

Z

γ

√ z ds γ(t) = (cos t, sin t, t ² ), y ∈ [0, π]

[Risp.: R

γ

√ z ds = ₁₂ ¹ h

(1 + 4π ² )

− 1 i

].