Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 04 Novembre 2019 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Si considerino i seguenti sottospazi di R4:
V = h(1, 1, 0, 0), (−1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1)i, U = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x + 2t = y + z = 0}.
Determinare la dimensione ed una base dei sottospazi U, V, U ∩ V, U + V . 2 Data l’applicazione F : (x, y, z) ∈ R3 7−→ (x, y − z, x + z) ∈ R3,
(a) verificare che F `e lineare;
(b) determinare la matrice associata a F rispetto alla base canonica di R3; (c) trovare la dimensione ed una base per i sottospazi Ker(F ) e Im(F );
(d) trovare autovalori ed autovettori di F e dire se `e diagonalizzabile.
3 Discutere il seguente sistema lineare a coefficienti reali al variare del parametro k ∈ R:
x1 + x2− kx3 = k x1+ x2+ x3 = 2 + 3k
2x1− kx2+ x3 = 2 .
4 Nello spazio euclideo, fissato un riferimento cartesiano, si considerino le rette
r :
x = −3 + 4t y = −2 + 2t
z = −t
, t ∈ R, s : x + 4z − 4 = 0 y + 2z − 5 = 0 .
(a) Dopo aver verificato che le rette r, s sono parallele, si determini l’equazione parametrica e cartesiana del piano che le contiene;
(b) si calcoli la distanza tra le rette r, s;
(c) si determini il piano passante per il punto P = (1, 0, −2), parallelo ad r e perpendicolare al piano y − z + 1 = 0.
5 Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e sia F : V −→ V un endomorfismo. Dimostrare che l’insieme degli autovettori relativi ad un autovalore di F munito del vettore nullo forma uno spazio vettoriale di V .
6 Siano V, W spazi vettoriali sul campo K e sia F : V −→ W un’applicazione lineare. Mostrare che F `e iniettiva se e solo se Ker(F ) = {0}.
Traccia I — 1
