Tema d’Esame del 5 giugno 2017 – Secondo parziale Esercizio 2

Fisica Generale I Gianluca Ferrari Dinamica del corpo rigido

Tema d’Esame del 5 giugno 2017 – Secondo parziale

Esercizio 2

Alcune osservazioni preliminari:

Siccome il proiettile rimane conficcato nell’anello in seguito all’urto con il corpo rigido, si tratta di un urto anelastico. Inoltre, per la presenza di un vincolo in 𝐴, è necessario avvalersi della conservazione del momento angolare del sistema calcolato rispetto al vincolo.

Infatti il momento delle forze esterne rispetto al polo 𝐴 è nullo e, dalla seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi, si ha

𝑀_𝐴^𝑒

⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝐿⃗⃗⃗⃗ _𝐴 𝑑𝑡 = 0 Da cui Δ𝐿⃗⃗⃗⃗ = 0. _𝐴

𝑚 = 0,05 𝑘𝑔; 𝑣₀ = 40 𝑚/𝑠; 𝑀 = 2 𝑘𝑔; 𝑅₁ = 0,20 𝑚; 𝑅₂ = 0,35 𝑚;

i. 𝜔 = ?; 𝑣_𝐶𝑀 = ?;

Inizialmente l’anello è in quiete. Imponiamo che il momento angolare iniziale dell’anello sia uguale a quello finale del sistema.

𝑚𝑣₀(𝑅₁+ 𝑅₂) = 𝐼_𝐴𝜔

𝐼_𝐴 rappresenta il momento d’inerzia rispetto al punto 𝐴 del sistema in seguito all’urto che sarà dato dal momento d’inerzia dell’anello in 𝐴 più quello del proiettile sempre rispetto al punto 𝐴.

Fisica Generale I Gianluca Ferrari Dinamica del corpo rigido

Sapendo che il momento d’inerzia di un anello con spessore rispetto al suo centro di massa è dato da ¹

2𝑀(𝑅₁²+ 𝑅₂²) è necessario avvalersi del Teorema di Huygens-Steiner poiché il vincolo è decentrato rispetto al centro di massa.

𝐼_𝐴 = 1

2𝑀(𝑅₁²+ 𝑅₂²) + 𝑀𝑅₁²+ 𝑚(𝑅₁+ 𝑅₂)² ≈ 0,258 𝑘𝑔 𝑚² Così facendo è possibile determinare 𝜔.

𝜔 = 𝑚𝑣₀(𝑅₁+ 𝑅₂)

𝐼_𝐴 ≈ 4,27 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Ora, per calcolare la velocità del centro di massa è necessario determinarne la posizione. Fissiamo un sistema di riferimento 𝑥-𝑦 nel punto 𝐴 e calcoliamo la posizione 𝑦_𝐶𝑀 nel seguente modo:

𝑦_𝐶𝑀 = 𝑀𝑅₁+ 𝑚(𝑅₁+ 𝑅₂)

𝑀 + 𝑚 ≈ 0,209 𝑚

Ora determiniamo la velocità del centro di massa semplicemente moltiplicando 𝜔 per 𝑦_𝐶𝑀.

𝑣_𝐶𝑀 = 𝜔𝑦_𝐶𝑀 ≈ 0,89 𝑚/𝑠 ii. Δ𝐾 = ?;

La variazione di energia cinetica sarà data semplicemente dall’energia cinetica finale del sistema meno quella iniziale del proiettile. L’energia cinetica del sistema può essere calcolata semplicemente guardando il moto del sistema come pura rotazione attorno al vincolo in 𝐴.

Δ𝐾 = 𝐾_𝑓− 𝐾₀ =1

2𝐼_𝐴𝜔²−1

2𝑚𝑣₀² ≈ −37,7 𝐽

Si noti che è ragionevole una variazione di energia cinetica negativa, a causa della dissipazione di energia durante l’urto.

iii. 𝜃 = ?;

Per calcolare l’angolo 𝜃 con cui ruota il sistema in seguito all’urto, è opportuno considerare il teorema di conservazione dell’energia meccanica, imponendo che l’energia potenziale finale del sistema (rispetto al CM) sia uguale all’energia cinetica appena dopo l’urto.

Fisica Generale I Gianluca Ferrari Dinamica del corpo rigido

(𝑀 + 𝑚)𝑔𝑦_𝐶𝑀(1 − cos 𝜃) = 1 2𝐼_𝐴𝜔² 1 − cos 𝜃 = 𝐼_𝐴𝜔²

2(𝑀 + 𝑚)𝑔𝑦_𝐶𝑀 𝜃 = arccos (1 − 𝐼_𝐴𝜔²

2(𝑀 + 𝑚)𝑔𝑦_𝐶𝑀) ≈ 63,9°