Probablità, Statistica e Processi Stocastici

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Probablità, Statistica e Processi Stocastici

Franco Flandoli, Università di Pisa

Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria

Franco Flandoli, Università di Pisa ()Probablità, Statistica e Processi Stocastici

Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria 1 / 23

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Esempio di serie storica

Esportazioni italiane di pezzi di accessori auto (trend accentuato, poca

stagionalità)

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Esempio di serie storica

Esportazioni italiane di motocicli (trend debole variabile, molta stagionalità)

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Analisi visive (richiamo lezione precedente)

funzione di autocorrelazione

- quando c’è un forte trend, è tutta alta

- altrimenti i picchi indicano le periodicità

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Analisi visive (richiamo lezione precedente)

decomposizione in trend, stagionalità e residui

- si può fare in modo semplice ed uniforme con decompose - oppure in modo "locale" parametrizzato, con stl.

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Metodo di smorzamento esponenziale (SE) (richiamo)

Data la serie storica x

₁

, x

₂

, ...., x

_n

, ... si introduce una serie storica ausiliaria p

₁

, p

₂

, ...., p

_n

, ... che ha il seguente signi…cato: p

_n₊₁

è la previsione,

relativa al valore del tempo n + 1, e¤ettuata al tempo n . Si impone la formula iterativa

p

n+1

= αx

n

+ ( 1 α ) p

n

con inizializzazione p

1

= x

1

.

Componente innovativa αx

n

, componente conservativa ( 1 α ) p

_n

. Si

vedano le prestazioni negli esempi col software.

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Metodo di smorzamento esponenziale

Scelta automatica dei parametri (minimi quadrati)

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Metodo di smorzamento esponenziale

Scelta manuale dei parametri (α 0 e α 1)

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Metodo di smorzamento esponenziale

Scelta manuale dei parametri (α 0 e α 1)

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Metodo di smorzamento esponenziale con trend (SET)

Per catturare meglio il trend vengono introdotte due ulteriori serie ausiliarie s

₁

, s

₂

, ...., s

_n

, ... e m

₁

, m

₂

, ...., m

_n

, ... e si impone il modello di previsione

p

_n₊_k

= s

_n

+ m

_n

k, k = 1, 2, ...

quindi dando a s

_n

il signi…cato di "intercetta relativa al tempo n", e ad m

_n

il signi…cato di "pendenza relativa al tempo n".

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Metodo di smorzamento esponenziale con trend

Le grandezze s

n

ed m

n

vengono "aggiustate" ricorsivamente tramite le relazioni

s

_n

= αx

n

+ ( 1 α ) ( s

_{n 1}

+ m

_{n 1}

) m

n

= β ( s

n

s

n 1

) + ( 1 β ) m

n 1

inizializzate di solito con s

₁

= x

₁

, m

₁

= 0 (pendenza neutrale).

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SET

Cattura la pendenza in fase di previsione (forse troppo sensibile)

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SET

Può confondere la stagionalità con cambi di trend

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SET

Per catturare e prolungare meglio il trend, conviene applicarlo con parametri conservativi

(α = 0.1, β = 0.1)

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SET su stl

Oppure si può applicare SET al trend trovato da stl (si osservi la coincidenza sulla parte nota)

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SE ed SET

Confronto tra SE ed SET su una serie sintentica

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Metodo di Holt-Winters (trend + stagionalità)

Per catturare anche l’eventuale stagionalità si introduce un’ulteriore grandezza ausiliaria f ( n ) , la stagionalità. Il periodo P deve essere speci…cato a priori.

Il modello di previsione è

p

_n₊_k

= s

_n

+ m

_n

k + f ( n + k ) , k = 1, 2, ...

dove s

n

+ m

n

k è la componente di trend e f ( n + k ) è la componente di stagionalità.

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Metodo di Holt-Winters

Le grandezze s

_n

, m

_n

ed f ( n ) vengono "aggiustate" ricorsivamente tramite le relazioni

s

_n

= α ( x

_n

f ( n P )) + ( 1 α ) ( s

_{n 1}

+ m

_{n 1}

) m

_n

= β ( s

_n

s

_{n 1}

) + ( 1 β ) m

_{n 1}

f ( n ) = γ ( x

n

s

n

) + ( 1 γ ) f ( n P )

inizializzate sprecando un intero periodo iniziale, dove viene prima trovato un trend medio tramite regressione, poi trovata la stagionalità per

di¤erenza (tra serie e trend). L’iterazione comincia dal passo P ! ^P + 1.

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Metodo di Holt-Winters

La logica delle equazioni precedenti è la seguente.

Si presuppone un modello del tipo x

_n

= t

_n

+ f ( n ) + errore (t

_n

è il trend).

Si applica a t

n

il metodo SET; quindi s

n

ed m

n

vanno pensati relativamente a t

_n

. Per questo

s

n

= α ( x

n

f ( n P )) + ( 1 α ) ( s

n 1

+ m

n 1

) m

_n

= β ( s

_n

s

_{n 1}

) + ( 1 β ) m

_{n 1}

in quanto x

_n

f ( n P ) è un modo di stimare t

_n

, tramite quantità note.

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Metodo di Holt-Winters

La formula

f ( n ) = γ ( x

_n

s

_n

) + ( 1 γ ) f ( n P )

deriva dal fatto che l’innovazione di f dovrebbe essere x

_n

t

_n

, quindi si prende x

_n

s

_n

.

Per serie storiche un po’ricche di trend e stagionalità, questo metodo ha

spesso prestazioni straordinarie.

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HW

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HW

Confronto tra il pro…lo predetto da HW e la componente stagionale di slt

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