Esercizi di Metodi Statistici per la Biologia Francesco Caravenna
Foglio 3. (14–18 maggio 2007)
Esercizio 1. Vengono lanciati due dadi regolari a 6 facce. Si indichi con Z la somma dei risultati ottenuti nei due lanci.
a) Si scriva esplicitamente uno spazio campionario S per questa situazione, mo- strando che Z `e una variabile casuale discreta.
b) Si determini la densit`a discreta di Z e si calcoli E(Z) e Var(Z). [E(Z) = 3.5 + 3.5 = 7, Var(Z) = 3512 +3512 = 356 ≈ 2.92]
Esercizio 2. Sia Y una variabile casuale con distribuzione di Bernoulli di parametri n ∈ N e p ∈ (0, 1), cio`e Y ∼ B(n, p). Si mostri che
E(Y ) = np Var(Y ) = np(1 − p), . Suggerimento: si scriva Y = Pn
i=1Xi con (Xi)i variabili casuali indipendenti di Bernoulli di parametro p.
Esercizio 3. Acquistiamo una confezione di 20 DVD registrabili. Se ciascun DVD ha la probabilit`a dell’1% di essere guasto, indipendentemente dagli altri, qual `e la probabilit`a che nella confezione ci siano almeno 2 DVD guasti? [1− 200(1001 )0(10099)20−
20
1(1001 )1(10099)19 ≈ 0.017]
Esercizio 4. Una coppia ha 6 figli. Si sa che il primogenito ha gli occhi azzurri, men- tre entrambi i genitori hanno gli occhi castani. Qual `e la probabilit`a che, dei restanti 5 figli, esattamente 2 abbiano gli occhi azzurri? [P (B(5, 1/4) = 2) = 52(14)2(34)3 ≈ 0.26]
Suggerimento: si assuma per semplicit`a che il colore degli occhi sia determinato da una coppia di geni, e che il fenotipo “occhi castani” sia dominante rispetto al fenotipo “occhi azzurri”.
Esercizio 5. In ogni estrazione del Lotto sulla ruota di Venezia vengono scelti 5 numeri a caso tra 1 e 90.
a) Qual `e la probabilit`a che nella prossima estrazione della ruota di Venezia esca il numero 79? [ 894/ 905 = 5/90 = 1/18]
b) Qual `e la probabilit`a che nelle prossime 27 estrazioni della ruota di Venezia non esca mai il numero 79? [P (B(27, 1/18) = 0) = (1718)27 ≈ 0.21 – si noti che P (Po(1.5) = 0) = e−1.5 ≈ 0.22]
c) Si indichi con T il numero di estrazioni che occorre attendere prima che esca il numero 79 sulla ruota di Venezia. Come `e distribuita la variabile casuale T ? Si ritrovi la risposta alla domanda precedente in termini di T . [T ∼ Ge(1/18);
P (T > 27) = (1 − 1/18)27 = (1718)27 ≈ 0.21]
1
2
Esercizio 6. In una fabbrica di circuiti stampati vengono prodotti 10000 pezzi al giorno. Si sa che ciascun pezzo ha probabilit`a 1/2500 di essere guasto.
a) Qual `e la probabilit`a che domani vengano prodotti al pi`u 2 pezzi difettosi?
[P (B(10000, 1/2500) ∈ {0, 1, 2}) ≈ 0.2380]
b) Come cambierebbe la risposta al punto precedente, se l’unica informazione sulla fabbrica fosse stata che ogni giorno vengono prodotti in media 4 pezzi guasti? [P (Po(4) ∈ {0, 1, 2}) ≈ 0.2381]
Esercizio 7. Si sa che i libri prodotti da una certa casa editrice contengono in media 5 refusi. Qual `e la probabilit`a che, scelto un libro a caso, questo sia esente da refusi?
[P (Po(5) = 0) = e−5 ≈ 0.0067]
Esercizio 8. Sia Z una variabile normale standard. Quanto valgono P (Z ≤ 1.55), P (Z < −0.87), P (−0.3 ≤ Z ≤ 1.27)? [0.93942; 0.19215; 0.51587]
