2) Metodo delle linee di livello

MASSIMI E MINIMI VINCOLATI DI UNA FUNZIONE DI 2 VARIABILI Andrea Prevete, 2010

Sia data la funzione z = f (x, y) e supponiamo di volerne determinare MASSIMI e MINIMI non nell’intero dominio, ma nella regione del piano definita dall’equazione g(x,y) = 0; g(x,y)=0 è detta vincolo del problema.

Per esempio il vincolo y-x=0 significherebbe che la ricerca dei MASSIMI e MINIMI dovrebbe avvenire solo sulla retta bisettrice del primo e terzo quadrante (con più precisione sull’intersezione fra questa ed il dominio della funzione z = f (x, y)!)

I metodi per la determinazione dei MASSIMI e MINIMI vincolati sono essenzialmente tre:

1) Riduzione a una funzione di una variabile.

Se la funzione che esprime il vincolo g(x,y)=0 è esplicitabile in modo semplice rispetto a x o a y conviene esplicitarla e sostituire la variabile nella funzione f(x,y) riconducendosi così ad un problema di massimo o minimo in una sola variabile.

In pratica si esplicita il vincolo rispetto ad una variabile e si sostituisce nella funzione ottenendo, così, una funzione in una sola variabile.

Si procede quindi coi metodi dell'analisi eseguendo la derivata prima e studiandone il segno.

2) Metodo delle linee di livello. (solo accennato a lezione!)

Graficamente si osserva che i punti di massimo o di minimo vincolato si hanno in corrispondenza dei punti (x,y) in cui le linee di livello risultano tangenti alla curva che esprime il vincolo. Il metodo grafico per determinare i massimi e minimi vincolati consiste nell' analizzare l'andamento delle linee di livello ed in particolare se vi sono punti di tangenza tre le linee di livello e l'equazione del vincolo.

3) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Se la funzione g(x,y) non è esplicitabile in modo semplice occorre utilizzare il metodo della funzione Lagrangiana.

Primo passo.

Si considera la funzione Lagrangiana L= f(x,y) + g(x,y), funzione di tre variabili x, y e  (si legge lambda).

Quindi si imposta la condizione necessaria:

L'x=0 L'y=0 L' =0

Risolto tale sistema si saranno trovati i punti critici tra cui gli eventuali punti di minimo e massimo vincolati.

Secondo passo.

Si calcola l'hessiano orlato: (condizione sufficiente)

yy yx y

xy xx x

y x

L L g

L L g

g g H

"

"

'

"

"

'

' ' 0

 =

yx y

xx x y yy y

xy x x yy yx

xy xx

L g

L g g

L g

L g g

L L

L L

'' '

'' ' '

'' '

'' ' '

'' ''

''

0 ''    

Calcolato tale determinante e sostituito le coordinate dei punti critici trovati al passo 1 è sufficiente distinguere fra i seguenti casi:

- H(x₀,y₀,₀)>0 : il punto risulta di MASSIMO - H(x₀,y₀,₀)<0 : il punto risulta di MINIMO

- H(x₀,y₀,₀)=0 : caso ambiguo  occorre indagare con altri metodi