Tutorato di Geometria 3 del 24-10-2012 (P. Salvatore)
(1) Dato uno spazio topologico X si consideri la relazione di equivalenza tale che x ∼ y se x = y oppure x, y ∈ A. Sia X/A il quoziente e [A] ∈ X/A la classe degli elementi di A. Si dimostri che se A ` e chiuso o aperto allora X − A ` e omeomorfo al sottospazio X/A − [A] ⊂ X/A.
(2) Si dica se vale il risultato precedente nel caso X = R e A = Q con la topologia euclidea.
(3) Si consideri il caso X = [0, 1] e A = (0, 1]. Si caratterizzi la topologia quoziente su X/A e si dimostri che non ` e di Hausdorff.
(4) Si dimostri che l’applicazione ψ : x → (x − 1)
2/4 ` e una contrazione da Q ∩ [0, 1] in s` e e si determini se esiste il limite della successione tale che x
0= 0, x
n+1= ψ(x
n) in Q ∩ [0, 1], oppure nel suo completamento.
(5) Dimostrare che se X ` e uno spazio metrico, X ⊆ c(X) l’inclusione nel suo completamento, e A ⊂ X un sottospazio, allora la chiusura di A in c(X) ` e un completamento di A.
(6) Si consideri l’azione del gruppo Z
nsulla circonferenza S
1⊂ C definita da [k] · z = e
2πik/nz. Si dimostri che vale l’omeomorfismo S
1/Z
n∼ = S
1. (7) Data una decomposizione X = A ∪ B di uno spazio topologico, con A e B
entrambi chiusi, o entrambi aperti, si dimostri che una funzione f : X → Y
`
e continua se e solo se le restrizioni f |A e f |B sono continue. Si fornisca un controesempio quando A e B non sono entrambi chiusi o aperti.
(8) Si consideri la funzione f : C → [0, 1] definita sull’insieme di Cantor tale f ( X
n
c
n3
−n) = X
n
