SHORTFALL 1 Descrizione del campione
2. Le metodologie di calcolo
2.2 L’approccio della simulazione storica
In un campione finito, il numero di osservazioni al di sotto del VaR potrebbe non corrispondere alla probabilità di coda totale corrispondente al livello del VaR. Ad esempio, per 100 osservazioni e un livello di VaR del 97,5%, le osservazioni di coda sono 2, che corrisponde al 2% del campione, tuttavia la probabilità di coda desiderata è del 2,5%.
Potrebbe essere anche peggio per campioni con valori osservati ripetuti, ad esempio, se i secondi e i terzi valori ordinati erano gli stessi, entrambi uguali al VaR, allora solo il valore osservato più piccolo nel campione avrebbe un valore inferiore al VaR, e questo è l'1% del campione, non il desiderato 2,5%. Il metodo implementato in Matlab per ottenere i grafici dell’Historical VaR and ES esegue una correzione in modo che la probabilità di coda sia sempre coerente con il livello di VaR152.
I seguenti grafici mostrano i rendimenti giornalieri e il VaR e l'ES stimati con il metodo storico.
Andiamo, come fatto in precedenza, ad analizzare i vari titoli divisi per settore per arrivare a coglierne cosi maggiori sfaccettature.
Si parte prendendo in considerazione il Settore dei consumi ove di seguito si possono vedere i grafici storici dei primi 2 titoli, Campari (a sinistra) e Mediaset (a destra):
Fonte: Matlab
Ecco poi quelli di Luxottica (a sinistra) e Recordati (a destra):
152 Per approfondimenti vedi ROCKAFELLAR, R. T. and URYASEV, S., Conditional Value-at-Risk for
Fonte: Matlab
Qui il nostro focus è capire come è cambiato sia il VaR che l’ES e non i rendimenti, avendo questi esattamente lo stesso andamento visto nell’approccio normale. È noto che Il VaR (99%) può essere interpretato come la minima perdita potenziale che un portafoglio può subire nell’1% dei casi peggiori, in altre parole è il miglior risultato possibile negli scenari peggiori. Se si verifica uno shock, come la crisi finanziaria del 2008, il realizzarsi degli scenari peggiori porta il VaR a sottostimare sistematicamente le perdite potenziali associate al livello di probabilità prefissato. L’Expected Shortfall (ES), definita come una misura di rischio coerente, serve proprio a questo; essa descrive infatti l’ampiezza delle perdite potenziali di un portafoglio nel caso in cui esse superino il VaR; rappresenta una misura di rischio più “completa” rispetto al VaR, identificando le perdite potenziali in maniera corretta.
La differenza tra l’ES e il VaR risulta più o meno costante nel caso di distribuzioni normali, tuttavia dovendo fronteggiare distribuzioni asimmetriche o con code spesse, le informazioni che l’ES aggiunge rispetto al VaR iniziano ad essere molto più rilevanti. Le distribuzioni dei titoli sono spesso caratterizzate da outliers che contribuiscono a far aumentare lo spessore delle code e l’asimmetria della distribuzione. In casi come questi, il semplice utilizzo del VaR risulta poco prudenziale in quanto non considera i rendimenti oltre il livello di confidenza selezionato, meritevoli invece di interesse a causa della loro grande significatività. Si nota ciò osservando i titoli, eccetto Mediaset, nel periodo 2008-2010 in primis e Mediaset-Recordati nel 2016-2017.
Periodi caratterizzati da alta volatilità ove il mercato ha pensato che fosse giustamente aumentato il rischio portando a valori negativi di VaR ed ES più alti. Le figure precedenti mostrano che la curva di simulazione storica ha un profilo costante a tratti. La ragione di ciò è che i quantili non cambiano per diversi giorni
fino a quando si verificano eventi estremi. Pertanto, il metodo di simulazione storica è lento a reagire ai cambiamenti di volatilità.
Passiamo adesso al settore dei servizi finanziari. I titoli di uno stesso listino risentono spesso delle medesime dinamiche di mercato. Ciò accade soprattutto nel breve periodo, mentre nel medio-lungo le differenze possono essere più̀ apprezzabili. Utilizzare un periodo di analisi più̀ lungo ci permette di analizzare il comportamento di un determinato titolo in varie fasi di mercato. Al contrario, un numero troppo esiguo di dati potrebbe fornirci informazioni sull’andamento dell’asset solamente in una fase rialzista del mercato, non manifestando dunque le reazioni del titolo in periodi di turbolenza. Vediamo come si presentano i titoli del sopracitato settore finanziario; si ha a partire da sinistra il grafico storico di Exor, seguito a destra da quello di Intesa San Paolo; si ha invece sotto da sinistra quello di MedioBanca, seguito sulla destra da quello di Ubi.
Fonte: Matlab
Il patrimonio degli investitori è in grande pericolo in momenti di forti tensioni sui mercati: pensando ad un soggetto detentore di un portafoglio titoli durante gli anni della crisi dei mutui subprime, possiamo osservare dai grafici sopra quanto sarebbe
stato in pericolo il capitale da lui investito. Il valore dell’indice milanese era variato da un valore di circa 45.000 punti a maggio 2007, a un livello inferiore ai 13.000 nel marzo del 2009.
Negli ultimi anni non vi sono stati periodi di crisi così evidente sui mercati ma, osservando in maniera più̀ dettagliata l’andamento del listino italiano, è possibile sicuramente sottolineare periodi di tensione significativi. Abbiamo detto dell’incidenza dei problemi di MPS sul settore bancario ma il referendum sulla Brexit (23 giugno 2016) è stato indubitabilmente l’evento politico più̀ rilevante degli ultimi anni. La decisione dei britannici di lasciare l’Unione europea ha spiazzato i mercati, suscitando una forte reazione di tutti i listini borsistici. Osservando i grafici è appunto desumibile il picco di volatilità; tale incremento della varianza risulta molto significativo, essendo evidente come il voto britannico abbia prodotto rilevanti ripercussioni sui mercati, dato che l’uscita dall’Unione di una piazza borsistica di quella rilevanza ha causato una forte fibrillazione negli operatori e negli investitori.
Infatti Londra era ritenuta la piazza borsistica preminente in Europa e molte banche d’affari situavano nella city la loro base per operare nei mercati europei, con la possibilità di avere accesso ad ogni altro paese dell’Unione a condizioni favorevoli. Nell’eventualità di una Hard Brexit le istituzioni finanziarie potrebbero quindi perdere il passaporto che gli permette di vendere i loro prodotti e muoversi alla pari nel continente.
Inoltre, la prevedibile ripercussione che la vittoria del leave avrebbe potuto esercitare sulla sterlina è stata fonte di incertezza, propagatasi in tutte le piazze europee. I mercati, a seguito del risultato del voto, si aspettavano interventi espansivi delle banche centrali che avrebbero determinato un’ulteriore riduzione dei rendimenti e dei tassi di mercato: tale eventualità non ha aiutato i titoli finanziari e creditizi. In particolare, i bilanci bancari stavano già soffrendo a causa del basso livello dei tassi, ed un ulteriore ritocco verso il basso avrebbe potuto quindi essere molto pericoloso per la tradizionale attività creditizia delle banche. Tale considerazione era ancor più rilevante per gli istituti di credito italiani, legati ad un’economia territoriale ancora più debole rispetto a quella a cui erano connesse le altre banche europee.
Il 24 giugno il FTSE MIB ha perso quasi il 13% e circa il 4% nella giornata successiva.
Le giornate precedenti al referendum non sono state caratterizzate da impennate rimarchevoli della volatilità, tuttavia dai grafici si può evincere che, a partire dai primi di giugno, i mercati avevano già dato qualche segnale di una certa irrequietezza, limitata dai sondaggi pre-elettorali che vedevano il remain in vantaggio.
Il voto britannico non ha fatto altro che esasperare le incertezze già presenti sui mercati: come la debole congiuntura economica nell’Eurozona e la difficoltà ancora più marcata dei paesi mediterranei, ancora alle prese con le conseguenze della crisi.
Si nota bene osservando i grafici di VaR ed ES relativi al periodo suddetto. L’ES che rappresenta il valore atteso delle perdite superiori al VaR è una misura che descrive, quindi, quanto le perdite siano ampie in media, quando esse eccedono il livello del VaR. L’ES rileva possibili livelli di perdita media, al di sopra del VaR, differenti, per posizioni con VaR identico. Integrare quindi l’analisi del VaR con una analisi dell’ES conduce ad una più puntuale quantificazione del rischio. Un'altra motivazione che contribuisce a non farci stupire del tracollo dei titoli bancari è che la BCE protegge tutt’ora i titoli di stato dei paesi dell’area Euro, quindi se gli speculatori desiderassero colpire un paese lo farebbero tramite la vendita dei suoi titoli creditizi.
Infatti, prendendo in esame il nostro paese, le banche detengono più di 400 miliardi di euro di titoli di stato italiani. Sicuramente la fragilità del nostro sistema bancario è stato un fattore determinante per spiegare l’andamento dei titoli del settore creditizio nel periodo successivo al referendum britannico: come si sa, l’incertezza degli investitori si ripercuote in primis sugli investimenti percepiti dal mercato come più rischiosi. Il nostro sistema bancario è al momento sotto la lente di ingrandimento degli operatori a causa dei recenti scandali: in primo luogo, come già accennato, il caso Monte dei Paschi ma anche Banca Etruria, per arrivare fino ai più recenti esempi relativi alle banche venete. Oltre alla mala gestione, il problema principale delle banche italiane sono i non-performing-loans, che appesantiscono enormemente i bilanci delle aziende bancarie, rendendo quindi più complicato per i risparmiatori decidere di investire in titoli del settore creditizio. Data la situazione della nostra penisola, non c’è da stupirsi quindi che il settore bancario abbia risentito molto del voto britannico, dato che la situazione del settore non era rosea neppure prima che in Gran Bretagna trionfassero i sostenitori del leave.
D’altro canto, anche il periodo dell’inverno 2016 è sicuramente degno di nota, dal momento che vi è stato un incremento di volatilità unito a performance negative dell’indice italiano. L’importanza di tale periodo si nota soprattutto per quanto riguarda i titoli bancari, il cui VaR inizia a percepire l’incremento di rischio; infatti sono stati proprio i titoli bancari a trascinare il ribasso del FTSE MIB nei primi mesi del 2016, segnale ancora di una forte debolezza del comparto creditizio italiano.
Dai grafici è possibile apprezzare il trend negativo che ha colpito questi titoli nei primi mesi dell’anno.
In tale periodo è possibile inoltre sottolineare un aumento importante della volatilità. Già nel mese di dicembre 2015 si erano registrati alcuni picchi, ma i mesi di gennaio e febbraio 2016 mostrano un chiaro incremento della volatilità, unito ad un forte trend negativo dei prezzi.
Si rileva sempre dai grafici come il periodo più pericoloso per gli investitori sia stato quello successivo alla Brexit, anche se le perdite fatte registrare da Piazza Affari sono state limitate ai due giorni successivi al voto: non si è dunque innescato un lungo trend ribassista. Considerando la volatilità, notiamo che il picco maggiore è registrabile nel periodo successivo al referendum britannico, e che l’aumento di volatilità causato dal voto non è paragonabile a ciò che è avvenuto negli altri periodi presi in considerazione.
Dopo aver effettuato altre analisi nel precedente paragrafo, appare evidente come il referendum britannico sia stato l’evento che ha causato più sconvolgimenti nel mercato. Nel calcolo del rischio di portafoglio risulta fondamentale la violenza delle oscillazioni nell’arco temporale prescelto, quindi, nel caso in questione, la grande rilevanza delle performance giornaliere successive al referendum è risultata più significativa anche rispetto al peso di un trend ribassista più prolungato come quello dell’inverno 2016.
Il VaR della distribuzione post-referendum non fa registrare un peggioramento; questo dimostra ancora i limiti di tale misura di rischio che non riesce a cogliere i rendimenti estremi della coda sinistra. Prendendo in considerazione l’ES notiamo invece un netto incremento del rischio.
Il VaR si conferma quindi non in grado di cogliere l’aumento dell’alea relativa al portafoglio del settore dei servizi finanziari.
Passiamo infine ad analizzare, tramite l’approccio storico, gli ultimi due titoli rimasti, ossia Eni (a sinistra) e Snam (a destra):
Come detto quando abbiamo analizzato l’approccio parametrico, Eni risente in primis dello stato dell’economia internazionale e del prezzo del petrolio.
In questo caso specifico, il grafico storico di Eni mostra un andamento di VaR ed ES in linea con quello visto nel parametrico.
Il modello di misurazione del VaR basato sulla simulazione storica è un passo avanti rispetto al parametrico, giungendo ad una misura di rischio più realistica. Nello storico si notano profili di rischio costanti a tratti perché i quantili non cambiano per diversi giorni fino a quando si verificano eventi estremi. Ricordiamoci che il metodo di simulazione storica è lento a reagire ai cambiamenti di volatilità.
Nel 2015 si nota un andamento non buono del titolo Eni, penalizzato dal crollo del prezzo dell’oro nero e pure nel 2016 il prezzo del petrolio è caratterizzato da sali e scendi, arrivando a toccare i minimi del 2003 ma recuperando poi in modo stabile sui 50 dollari al barile. Per il 2017 il gruppo petrolifero ENI punta alla produzione record di 1,84 barili di petrolio al giorno.
Le previsioni sul titolo ENI sono inoltre supportate dai dati sulle importazioni di petrolio da parte della Cina.
Dopo anni di stallo il comparto petrolifero sembra essere approdato in un nuovo e proficuo periodo, grazie anche al rilancio del prezzo del greggio che ha finalmente superato la quota dei 50 dollari a barile e che continua a salire, spinto dal consolidarsi della crescita economica a livello mondiale.
ENI registra nel 2017 un trend abbastanza stabile e un basso livello di volatilità giornaliera.
Mostra quindi una rischiosità in linea con la media del mercato riflettendo da un lato il buon grado di diversificazione geografica delle attività dall'altro la dipendenza dall'andamento dei prezzi degli idrocarburi.
Il titolo Snam, invece, ha mostrato un andamento in crescita nei primi mesi dell’anno registrando una leggera flessione alla fine del primo semestre. A pesare è stato infatti il clima di incertezza legato sia alla situazione politica italiana, sia alle elezioni in Inghilterra con l’avvio dei negoziati con Bruxelles per l’uscita della Gran Bretagna dall’Unione.
Nel secondo semestre si è registrata un’inversione di tendenza. Hanno supportato la performance positiva sia i risultati dei primi sei mesi dell’anno che un quadro regolatorio chiaro e con visibilità nel medio-lungo periodo.
In linea con quanto previsto dal piano strategico, la società ha proseguito quindi l’attività di investimento in Italia, con l’obiettivo sia di migliorare la competitività e la sicurezza degli approvvigionamenti del gas, che si conferma centrale nella transizione energetica verso un’economia a basse emissioni, sia il proprio impegno nel garantire agli azionisti una crescita profittevole e remunerativa.
Il titolo Snam ha chiuso il 2017 con un prezzo ufficiale in aumento del 4,2% rispetto al prezzo registrato alla fine dell’anno precedente.
Interessante notare come cambia la situazione per il titolo Snam che mostra nello storico un aumento notevole dell’ES non seguito però da quello del VaR, a conferma del fatto che esso non considera ciò che accade oltre il livello di confidenza selezionato.
Col parametrico l’ES si trovava molto sopra il -5%, mentre lo storico mostra un livello di tale indicatore che, in certi periodi, supera il -5%.
3. Backtesting
Come ultimo step dell’analisi sopra finora esposta, si è effettuato un backtesting (validazione ex-post) del modello.
Esso è una tecnica che misura la precisione dei calcoli del VaR. La previsione di perdita calcolata dal VaR viene confrontata con le perdite effettive alla fine dell'orizzonte temporale specificato. Il grado di differenza tra le perdite previste e quelle effettive indica se il modello VaR sta sottostimando o sovrastimando il rischio. Di conseguenza, il backtesting esamina retrospettivamente i dati e aiuta a valutare il modello VaR.
Le stime del VaR possono essere ricalcolate se i valori di backtesting non sono accurati, riducendo così il rischio di perdite impreviste.
Quando le perdite effettive del portafoglio sono superiori alla perdita stimata del VaR calcolato, questa è nota come una violazione del VaR. Tuttavia, se la perdita effettiva del portafoglio è superiore al VaR stimato solo poche volte, ciò non significa che il VaR stimato abbia fallito. La frequenza delle violazioni deve quindi essere determinata.
Va aggiunto che il backtesting dell’ES è difficile. D'altra parte, il backtesting che utilizza l’ES deve confrontare la media delle perdite realizzate oltre il livello del VaR con l’Expected Shortfall stimato. Ciò richiede più dati rispetto al backtesting che usa il VaR, poiché la perdita oltre il livello del VaR è infrequente, quindi la loro media è difficile da stimare con precisione.
In questo elaborato si è realizzato, tramite l’uso del Risk Management Toolbox ™ di Matlab, un test statistico per il backtesting del VaR.
Si inizia confrontando i diversi risultati del test per l'approccio di distribuzione normale e storica con i livelli di VaR ed ES al 97.5%.
Vengono analizzati i vari risultati nella stessa maniera di prima, ossia facendo settore per settore.
1) Campari:
PortfolioID VaRID VaRLevel ObservedLevel ExpectedSeverity _____________ ________ ________ _____________ _______________
"FTSEMIB,2008-2017" "Historical" 0.975 0.97403 1.3348 "FTSEMIB,2008-2017" "Normal" 0.975 0.9756 1.1928
ObservedSeverity Observations Failures Expected Ratio Missing ______________ ____________ ________ ________ _____ _______ 1.4351 2541 66 63.525 1.039 0 1.4165 2541 62 63.525 0.97599 0 2) Mediaset
PortfolioID VaRID VaRLevel ObservedLevel ExpectedSeverity __________________ ________ ________ _____________ ________________
"FTSEMIB,2008-2017" "Historical" 0.975 0.96773 1.3612 "FTSEMIB,2008-2017" "Normal" 0.975 0.96537 1.1928
ObservedSeverity Observations Failures Expected Ratio Missing ______________ ____________ ________ ________ _____ _______
1.3875 2541 82 63.525 1.2908 0 1.408 2541 88 63.525 1.3853 0
Si nota che il livello osservato (ObservedLevel) è abbastanza vicino al livello di VaR definito.
La colonna ObservedSeverity mostra il rapporto medio di perdita del VaR nei periodi in cui il VaR è stato violato. La colonna ExpectedSeverity utilizza invece il rapporto medio tra ES e VaR per i periodi di violazione del VaR.
La colonna Expected afferma che i due approcci hanno al massimo [(1-VaRLevel) x N] fallimenti attesi, dove N è il numero di osservazioni (Observations).
Nel titolo Campari si ha un numero osservato di errori (Failures column) più o
meno in linea col numero atteso di essi (Expected column).
Non si può dire lo stesso per Mediaset, ove invece il numero osservato di ‘errori’ è considerevolmente maggiore.
Il failure Ratio, dato dal rapporto tra Failures e Expected, indica che il livello di VaR per entrambi gli approcci di Campari è compreso nel range, mentre per Mediaset il numero osservato di errori è, rispettivamente, circa il 29% in più per lo Storico e il 38% per il Normale, mostrando quindi un livello di VaR impreciso e che sottostima il rischio.
Si illustra il tutto tramite rappresentazione grafica: Campari:
Si prosegue con gli altri due titoli, ossia Luxottica e Recordati. 3) Luxottica
PortfolioID VaRID VaRLevel ObservedLevel ExpectedSeverity __________________ ________ ________ _____________ ________________
"FTSEMIB,2008-2017" "Historical" 0.975 0.97127 1.358 "FTSEMIB,2008-2017" "Normal" 0.975 0.97363 1.1928
ObservedSeverity Observations Failures Expected Ratio Missing ______________ ____________ ________ ________ _____ _______
1.3483 2541 73 63.525 1.1492 0 1.321 2541 67 63.525 1.0547 0
4) Recordati
PortfolioID VaRID VaRLevel ObservedLevel ExpectedSeverity __________________ ________ ________ _____________ ________________
"FTSEMIB,2008-2017" "Historical" 0.975 0.97088 1.2714 "FTSEMIB,2008-2017" "Normal" 0.975 0.97245 1.1928
ObservedSeverity Observations Failures Expected Ratio Missing _______________ ____________ ________ ________ _____ _______
1.3322 2541 74 63.525 1.1649 0 1.3484 2541 70 63.525 1.1019 0
Si nota che il livello osservato (ObservedLevel) è molto vicino al livello di VaR definito. In entrambi i titoli si osserva un numero di errori (Failures column)
superiore rispetto al numero atteso di essi (Expected column). Il failure Ratio indica che il livello di VaR per l’approccio Normale di Luxottica è compreso nel range, ove non vi rientra l’approccio Storico che mostra un numero osservato di errori del 15% circa in più. Il titolo Recordati mostra entrambi gli approcci con un numero osservato di errori più alto del suo numero atteso, circa il 16 % in più per lo Storico e 10% in più per il Normale. È possibile illustrare il tutto tramite rappresentazione grafica:
Recordati:
Passiamo adesso al settore dei servizi finanziari: 5) Exor
PortfolioID VaRID VaRLevel ObservedLevel ExpectedSeverity __________________ ________ ________ _____________ ________________
"FTSEMIB,2008-2017" "Historical" 0.975 0.9693 1.2921 "FTSEMIB,2008-2017" "Normal" 0.975 0.9634 1.1928
ObservedSeverity Observations Failures Expected Ratio Missing _______________ ____________ ________ ________ _____ _______
1.3361 2541 78 63.525 1.2279 0 1.3556 2541 93 63.525 1.464 0
6) Intesa San Paolo
PortfolioID VaRID VaRLevel ObservedLevel ExpectedSeverity __________________ ________ ________ _____________ ________________
"FTSEMIB,2008-2017" "Historical" 0.975 0.9693 1.342 "FTSEMIB,2008-2017" "Normal" 0.975 0.96458 1.1928
ObservedSeverity Observations Failures Expected Ratio Missing ______________ ____________ ________ ________ _____ _______
1.4696 2541 78 63.525 1.2279 0 1.4502 2541 90 63.525 1.4168 0
7) MedioBanca
PortfolioID VaRID VaRLevel ObservedLevel ExpectedSeverity __________________ ________ ________ _____________ ________________
"FTSEMIB,2008-2017" "Historical" 0.975 0.96576 1.3126 "FTSEMIB,2008-2017" "Normal" 0.975 0.96576 1.1928
ObservedSeverity Observations Failures Expected Ratio Missing ______________ ____________ ________ ________ _____ _______
1.3548 2541 87 63.525 1.3695 0 1.348 2541 87 63.525 1.3695 0
8) UBI Banca
PortfolioID VaRID VaRLevel ObservedLevel ExpectedSeverity __________________ ________ ________ _____________ ________________
"FTSEMIB,2008-2017" "Historical" 0.975 0.96458 1.3034 "FTSEMIB,2008-2017" "Normal" 0.975 0.96379 1.1928
ObservedSeverity Observations Failures Expected Ratio Missing ______________ ____________ ________ ________ _____ _______
1.3234 2541 90 63.525 1.4168 0 1.3598 2541 92 63.525 1.4482 0
Si nota che il livello osservato (ObservedLevel) è si vicino al livello di VaR definito, ma in misura inferiore rispetto al settore dei Consumi.
Si nota come tutti e quattro i titoli abbiano un numero di errori molto maggiore rispetto al numero atteso di essi; il Ratio osservato ne è la conferma, visto che