2. I modelli non parametrici (di simulazione)
2.1 Le simulazioni storiche
Fra i modelli di simulazione, le simulazioni storiche rappresentano senza dubbio la soluzione più semplice ed intuitiva. È l'esempio più caratteristico di tecnica VaR non parametrica, dato che non viene assunta ex-ante nessuna specifica forma della distribuzione delle variazioni dei fattori di mercato.
In un modello di simulazione storica si ipotizza che la distribuzione delle variazioni dei fattori di rischio sia stabile nel tempo, cosi che il loro comportamento passato rappresenti una guida affidabile per prevedere i loro possibili movimenti futuri.
Le variazioni dei fattori di rischio registrate in passato vengono trasformate in un possibile valore futuro del portafoglio della banca tramite la full valuation.
La rivalutazione piena di tutti gli strumenti di portafoglio conduce alla costruzione di una serie dei rendimenti di portafoglio, che, opportunamente ordinata, dalla massima perdita al massimo guadagno, permette l’estrazione del VaR al percentile desiderato.
Più precisamente, le simulazioni storiche prevedono che il VaR giornaliero di una posizione o di un portafoglio venga stimato mediante un processo articolato in
cinque passaggi:35
1. identificare i fattori di rischio e ricavare una formula che esprima il valore di mercato del portafoglio in funzione di tali valori;
2. costruire la serie storica dei rendimenti dei diversi risk factor negli ultimi n periodi;
3. applicare in sequenza al portafoglio attuale ognuno degli n shock passati, e rivalutare il portafoglio in corrispondenza del nuovo livello delle variabili di mercato;
4. ordinare tutti i possibili valori finali del portafoglio dal minore al maggiore; 5. identificare il valore corrispondente al percentile desiderato e calcolare il
VaR come differenza tra il valore corrente del portafoglio e il percentile considerato.
La simulazione storica è molto apprezzata dagli studiosi poiché non assume nessuna ipotesi circa la previsione del modello: lascia che i dati parlino da soli, assumendo però implicitamente una certa continuità tra il passato e il futuro mediante gli aggiustamenti nel presente.
I vantaggi e gli svantaggi del metodo della simulazione storica sono stati ben documentati da Dowd36. I primi sono essenzialmente cinque:
• facile implementazione del metodo, ossia consente una chiara ed immediata comprensione dei risultati prodotti anche ai membri del top management che avessero meno familiarità con le metodologie di risk management più complesse.
• non richiedono nessuna ipotesi circa la forma della distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato. L'unica ipotesi implicita è che la distribuzione dei rendimenti futura sia approssimata in maniera corretta attraverso la distribuzione storica. Se i rendimenti dei fattori di mercato non sono distribuiti normalmente ma hanno un comportamento stabile nel
35 LINSMEIER T.J., PEARSON N.D., Risk Measurement: An Introduction to Value at Risk, working paper,
University of Illinois, July 1996.
tempo, il modello delle simulazioni storiche fornisce indicazioni più precise rispetto ai modelli parametrici.
• consentono di mantenere del tutto intatta anche la struttura delle correlazioni fra i rendimenti, ovvero non richiedono di stimare la matrice varianze-covarianze dei numerosi fattori di mercato che possono influenzare il valore del portafoglio considerato. Il rischio connesso a portafogli composti da più variabili di mercato è infatti calcolato sulla base delle variazioni congiunte di tali variabili verificatesi nel corso del periodo storico considerato.
• sono basate sulla full valuation e quindi consentono di cogliere il rischio di portafogli la cui sensibilità alle variazioni dei fattori di mercato è non lineare o non monotona.
Per contro37,
• la più grande debolezza di tale metodo è che i risultati dipendono completamente dal set di dati; se il periodo osservato era diversamente tranquillo dal presente, la simulazione tenderà a sottostimare il rischio e viceversa. I calcoli necessari per rivalutare l'intero portafoglio di un'istituzione finanziaria alle condizioni di mercato passate sono estremamente onerosi e richiedono dunque un tempo relativamente elevato. In generale, l'intensità di calcolo richiesta risulta tanto maggiore quanto più complessi e numerosi sono gli strumenti in portafoglio e quanto più elevato è il numero dei fattori di mercato cui il portafoglio risulta sensibile.
• necessità di serie temporali sincrone per tutti i fattori di rischio, ovvero che le rilevazioni vengano effettuate allo stesso istante. Come noto, in un mercato sufficientemente efficiente il prezzo incorpora tutte le informazioni disponibili in maniera istantanea. Se ipoteticamente i prezzi dei fattori di rischio fossero riferiti a epoche diverse, si rileverebbero distorsioni dovute alle fluttuazioni continue del mercato che ricadrebbero sui prezzi estratti. In altre parole, il valore del portafoglio non corrisponderà a un istante preciso
37 SAITA, F. Il risk management in banca: performance corrette per il rischio e allocazione del capitale,
ma sarà dato da epoche diverse con prezzi diversi da quelli che sarebbero stati nel caso in cui le serie fossero state sincrone.
• la limitatezza delle serie storiche disponibili (il limite più serio dal punto di vista applicativo) soprattutto se l'orizzonte temporale prescelto per il calcolo del VaR è superiore ad un giorno. Il numero limitato di osservazioni storiche disponibili si traduce tipicamente in una scarsa definizione delle code della distribuzione empirica di probabilità. Come è vero che la stima deve essere significativa, è necessario tenere conto del problema della lontananza dei dati perché valori temporalmente lontani possono distorcere la previsione a causa di possibili cambiamenti strutturali nel sistema economico e portano a una perdita di significatività dei dati più recenti, mentre considerando pochi valori si rischia sia di perdere significatività, ma anche di non catturare il vero trend del portafoglio.
Esiste quindi una relazione di trade-off riguardo a quella che è la lunghezza ottimale della serie storica di riferimento: considerazioni di stabilità della distribuzione delle variazioni dei fattori di mercato la vorrebbero breve; requisiti di adeguata rappresentazione dei fenomeni estremi l'esigerebbero lunga38.
Fino alle porte del nuovo millennio, la simulazione storica era il modello di stima più popolare. Diversi studiosiattraverso prove empiriche hanno messo a confronto i vari approcci classici e la maggior parte di essi hanno concordato che tra le tre metodologie più utilizzate inizialmente (approccio varianza-covarianza, simulazione storica e simulazione MonteCarlo) la simulazione storica presenta dei risultati migliori rispetto agli altri. Secondo l'indagine, svolta nel 2006, di Pérignon e Smith, il 73% di 60 banche statunitensi, canadesi e altre grandi banche internazionali, tra il 1996 e il 2005 riferivano che la loro metodologia utilizzata per il calcolo del VaR era la simulazione storica, mentre la simulazione stocastica era il secondo metodo più popolare39. Tuttavia, negli ultimi anni, la disciplina si è evoluta spostando il confronto su nuovi metodi, ma la simulazione storica rimane
38 ORSI F., Misurazione del rischio di mercato, Plus, Pisa, 2009.
39 PERIGNON C., SMITH D.R., The level and quality of Value-at-Risk disclosure by commercial banks,
comunque una costante e solida base di confronto.
Rimanendo in tema, merita una citazione quello che è stato definito “approccio ibrido”.
Per alleviare questo trade-off esistente tra la stabilità della distribuzione e la lunghezza ottimale della serie storica di riferimento, Boudoukh, Richardson e Whitelaw40 hanno proposto l’adozione di tale approccio (hybrid approach), che combina i due modelli illustrati finora: varianze-covarianze e simulazioni storiche. In particolare, l’approccio ibrido si propone di combinare il vantaggio connesso all’utilizzo delle medie mobili esponenziali con il vantaggio proprio delle simulazioni storiche di non formulare alcuna ipotesi relativa alla forma funzionale della distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato. L’idea è dunque quella di utilizzare una serie storica di riferimento relativamente lunga ed al contempo di attribuire un peso più elevato alle osservazioni, estratte dalla distribuzione storica, che risultano più vicine nel tempo.
Quest’approccio prevede una soluzione simile a quella utilizzata nell’approccio delle medie mobili esponenziali quando si tratta di stimare la volatilità. Una volta selezionato la dimensione campionaria dei rendimenti da utilizzare, si attribuisce un peso a ciascun’i-esima osservazione, in modo decrescente, pari a:
𝑤QRS = 𝜆S
𝜆S I SUG
Dove 0 < λ < 1 rappresenta il grado di persistenza di un’osservazione nel tempo ed è tanto maggiore quanto più il valore si avvicina a uno.
Attraverso questo tipo di approccio, il VaR riguardante un certo intervallo di confidenza è calcolato tagliando la distribuzione non in corrispondenza del relativo percentile, ma in corrispondenza del valore cui è associato un valore della ponderazione cumulata relativa al livello di confidenza prescelto.
Quindi l’approccio ibrido combinando il vantaggio tipico delle simulazioni storiche di non compiere alcuna ipotesi circa la distribuzione dei rendimenti dei
40 BOUDOUKH J., RICHARDSON M., WHITELAW R. F., The best of both worlds: a Hybrid Approach
fattori di mercato, con il vantaggio delle medie esponenziali di dare un peso maggiore alle osservazioni più recenti (grazie alla tecnica delle ponderazioni decrescenti) affronta, e riesce a superare, in questo modo due limiti descritti delle simulazioni storiche: in primis quello collegato all’ipotesi di stabilità della distribuzione dei rendimenti dei fattori di rischio; anche se essa variasse nel tempo, si attribuisce comunque pesi superiori alle osservazioni più recenti, ossia provenienti da distribuzioni più simili a quella corrente. Secondariamente, quello della lunghezza ottimale della serie storica; riducendo infatti le distorsioni legate alla violazione dell’ipotesi di stabilità, consente di usare più dati, garantendo cosi una migliore definizione delle code della distribuzione.