2. I modelli non parametrici (di simulazione)
2.2 Le simulazioni Montecarlo
Secondo alcuni le origini storiche del metodo Monte Carlo potrebbero essere addirittura fatte risalire al ‘700, ben prima cioè dell’avvento dei calcolatori41. Nel
‘900 il metodo fu ampiamente utilizzato nella ricerca nucleare42, potendosi poi avvalere, a partire dagli anni ’40, della nascente tecnologia dei calcolatori elettronici.
Oggi il metodo Monte Carlo trova applicazione in vari ambiti scientifici. L'applicazione di tale tecnica al campo finanziario è recente e risale agli anni Ottanta.
Tale approccio infatti fu introdotto negli anni ‘70 da Boyle43per la soluzione dei problemi di pricing connessi agli strumenti derivati. Successivamente ha riscontrato un notevole successo nell’ambito del risk management, a causa della
41 Nel 1777 il matematico francese George Louis Leclerc de Buffon descrive nella sua opera Essai
d’Arithmetique morale un esperimento di stima del valore di 𝜋 tramite una “simulazione” casuale basata sul lancio di uno spillo, ottenendo un risultato di buona precisione numerica per l’epoca.
42 Lo stesso Enrico Fermi all'inizio degli anni ‘30 sosteneva di utilizzare stime ottenute con tecniche di
campionamento statistico per lo studio del moto dei neutroni. Il metodo Monte Carlo fu formalizzato negli anni ’40 da J. Von Neumann e S. Ulam che partecipavano al progetto Manhattan per lo studio della dinamica delle esplosioni nucleari; lo stesso von Neumann è poi considerato l’inventore del calcolatore elettronico. A quanto pare, il nome “Monte Carlo” fu coniato da N. Metropolis in riferimento naturalmente al celebre casinò, sede per antonomasia dell’aleatorietà. Per approndimenti vedi METROPOLIS N., ULAM S., The Monte Carlo Method, Journal of the American Statistical Association, Volume 44, Num. 247, Settembre 1949.
difficoltà di rappresentare nei portafogli composti da strumenti finanziari ad alto contenuto opzionale, o non lineare, la forma della distribuzione dei rendimenti. Il metodo non utilizza - come la simulazione storica - le variazioni storiche dei fattori di rischio ma li deriva direttamente da un processo casuale. La distribuzione dei fattori non è quindi ottenuta dai valori storici, ma è appositamente generata per mezzo di tecniche numeriche basate su estrazioni random. In sostanza, dato un processo stocastico formale, si ipotizza che l’evoluzione futura dei rendimenti di ogni singolo fattore avvenga secondo una distribuzione di probabilità della quale vengono specificati i relativi parametri.
Quindi, il VaR di una posizione, il cui valore è sensibile ai rendimenti di un unico fattore di mercato, può essere ottenuto seguendo cinque passaggi logici44:
1. scegliere la distribuzione di probabilità f (r) che meglio approssima la distribuzione dei rendimenti del fattore di mercato in esame;
2. stimare i parametri (media, deviazione standard, ecc.) della distribuzione f; 3. simulare N scenari per il fattore di mercato, partendo dalla distribuzione f; 4. calcolare la variazione del valore di mercato della posizione in corrispondenza di ognuno degli scenari simulati;
5. tagliare la distribuzione di probabilità così ottenuta in corrispondenza del percentile relativo al livello di confidenza desiderato.
È bene notare che le fasi 4 e 5 sono simili alla simulazione storica, mentre le fasi 1-3 rappresentano il tratto peculiare della simulazione Monte Carlo.
La fase 1 è probabilmente la più critica in quanto, se la distribuzione scelta non rappresenta correttamente le possibili evoluzioni future del fattore di rischio, anche gli scenari generati per tale fattore e per la posizione risulteranno irrealistici e così pure il valore del VaR. La distribuzione può essere scelta liberamente ma, per essere di utilizzo pratico, deve rispettare due requisiti fondamentali: rispecchiare nel modo migliore possibile le caratteristiche empiriche delle distribuzioni delle
44 RESTI A., SIRONI A., Rischio e valore nelle banche. Misura, regolamentazione, gestione, Milano, Egea,
variazioni dei fattori di mercato e prestarsi alla generazione di simulazioni casuali. Secondo Saita45, l’utilizzo di una distribuzione teorica consente di cogliere le effettive caratteristiche della distribuzione dei rendimenti osservata, quali ad esempio i fenomeni di asimmetria (skewness) o di code spesse (fat tails), superando la staticità tipica delle simulazioni storiche, che ipotizzano che tutte le caratteristiche della distribuzione siano destinate a restare costanti nel tempo (perdendo quindi in parte la possibilità di reagire più rapidamente a periodi di mutata volatilità).
Tuttavia, sul piano pratico, risulta particolarmente impegnativa anche la fase 3, che richiede il ricorso ad un generatore di numeri casuali con cui estrarre N valori dalla distribuzione di probabilità del fattore di rischio.
Il criterio più frequentemente utilizzato è quello di estrarre un valore p da una distribuzione uniforme con valori compresi nell’intervallo [0,1] e calcolare il valore del rendimento (r) utilizzando l’inversa della funzione di ripartizione associata ad f, che indichiamo con 𝐹RG(p)46, in modo che:
r = 𝐹RG(p)
Ripetendo il procedimento simulativo un numero sufficientemente grande di volte, si ottiene la distribuzione dei rendimenti della posizione che, opportunamente riordinata in ordine crescente, fornisce la successione di valori sulla quale viene determinato il valore del VaR.
Quando da una singola posizione sensibile ad un singolo fattore di mercato si passa ad un portafoglio sensibile a più fattori di mercato, la stima del VaR richiede di tenere in considerazione la struttura delle correlazioni fra i rendimenti di tali fattori.
Il metodo Monte Carlo, infatti, diversamente dalle simulazioni storiche (che ipotizzano, implicitamente, una certa struttura di varianze-covarianze basata sui dati verificatisi in passato), non è in grado di catturare “automaticamente” tali
45 SAITA F., Il risk management in banca. Performance corrette per il rischio e allocazione del capitale,
Egea, Milano, 2000.
46 L’inversa della funzione di ripartizione, indicata con 𝐹RG(p), esprime il valore r tale che la funzione di
ri-partizione associata vale p, cioè quel valore r tale che la probabilità che si verifichino valori inferiori o pari a r è esattamente p.
correlazioni. Se dunque si procedesse a simulare gli n scenari in modo indipendente per ogni fattore di mercato, il risultato potrebbe essere non molto realistico. Al fine di tener conto della struttura delle correlazioni, è necessario seguire un procedimento simulativo articolato nelle seguenti fasi47:
1. nella prima fase si stima la matrice delle varianze-covarianze dei rendimenti dei fattori di mercato (C)48;
2. nella seconda fase C viene scomposta in due matrici simmetriche, A e 𝐴K, con C=A∙ 𝐴K dove A è una matrice triangolare inferiore e 𝐴K è la sua trasposta (scomposizione di Cholesky);
3. nella terza fase si generano gli scenari relativi alle variazioni dei fattori di mercato moltiplicando la matrice 𝐴K, che riflette le correlazioni storiche dei rendimenti dei fattori di mercato, per un vettore di numeri casuali, z. In pratica si estrae, ricorrendo ad un generatore di numeri casuali, un elevato numero di valori (solitamente 10.000) per ogni fattore di mercato, tenendo tuttavia in considerazione la struttura delle correlazioni;
4. nella quarta fase si calcola la variazione del fattore di mercato della posizione in corrispondenza di ciascun scenario simulato, costruendo in tal modo la distribuzione empirica di probabilità delle variazioni del valore di mercato del portafoglio;
5. nella quinta e ultima fase si calcola il VaR tagliando la distribuzione di probabilità così ottenuta in corrispondenza del percentile relativo al livello di confidenza prescelto.
La simulazione Monte Carlo è l'approccio più complesso; viene proposta come uno strumento molto potente per il supporto alle decisioni di investimento in condizioni definite “di rischio” ossia nelle quali ai dati di partenza e ai possibili eventi rilevanti sia possibile assegnare rappresentazioni probabilistiche. Lo scopo della simulazione Monte Carlo è sostanzialmente quello di estendere
47 ORSI F., Misurazione del rischio di mercato, Plus, Pisa, 2009.
48 È una matrice simmetrica che ha sulla diagonale principale le varianze degli m fattori di mercato e nelle
l’applicabilità e la potenza rappresentativa dei metodi tradizionali di valutazione. A tale proposito, tra i vantaggi49 della simulazione Monte Carlo possiamo indicare i seguenti:
• simulando l'evoluzione dei fattori di mercato e ricalcolando il valore di mercato delle posizioni che compongono l'intero portafoglio alle nuove condizioni simulate, viene superato il problema della non linearità e/o monotonicità dei payoff delle posizioni;
• elabora una stima più precisa rispetto a quella definita dagli altri due approcci; • il tempo necessario per effettuare le simulazioni richieste cresce linearmente al crescere del numero di variabili considerate e non succede come in altre procedure ove il tempo richiesto cresce esponenzialmente al crescere del numero di variabili considerate50;
• si presta ad essere utilizzata con qualunque distribuzione di probabilità dei rendimenti dei fattori di mercato, e per questo il risk management è libero di scegliere la distribuzione ritenuta più giusta a spiegare le variazioni dei fattori di mercato in esame;
• potendo simulare non solo la variazione che ogni singola variabile di mercato subisce nel periodo di tempo considerato, e dunque il valore finale che essa viene ad assumere, ma anche il percorso evolutivo di tale variabile nello stesso periodo, il metodo Monte Carlo offre il vantaggio di analizzare anche il rischio degli strumenti il cui payoff finale dipende anche dai valori intermedi dei fattori di mercato, come ad esempio alcune opzioni esotiche51. Ricordiamoci che viene utilizzato principalmente quando si è di fronte a portafogli non lineari, ossia costituiti appunto da strumenti quali le opzioni.
Le limitazioni del metodo52 sono in primis legate alla costruzione del modello che
49 SAITA F., Il risk management in banca. Performance corrette per il rischio e allocazione del capitale,
Egea, Milano, 2000, pag. 84-87.
50 Ne sono un esempio gli alberi binomiali.
51 La categoria delle opzioni esotiche fa riferimento a tutti i contratti di opzione in cui il calcolo del payoff
presenta elementi di novità rispetto alle opzioni plain vanilla. Questi contratti vengono negoziati OTC proprio a causa della mancanza di standardizzazione degli elementi contrattuali.
rappresenta probabilmente l’aspetto più critico, dato che da esso dipendono poi i risultati che si ottengono. È dispendioso in termini di tempo e di calcolo, deve esserci infatti una operatività che giustifica certi investimenti perché è difficile da un punto di vista concettuale, da comunicare e richiede naturalmente competenze specifiche53; inoltre, la costruzione del modello è in genere un procedimento ad hoc che va ripetuto per ciascun singolo progetto di investimento.
Un ulteriore problema è rappresentato dall’interpretazione degli output, dato che la tecnica Monte Carlo ha come obiettivo quello di fornire non il valore sintetico di un singolo indicatore, ma output articolati e anche multidimensionali (ad es. descrizioni statistiche complete, indicatori multipli relativi allo stesso investimento, rappresentazioni di tipo diverso – numeriche e grafiche). Ai fini della decisione, la responsabilità dell’interpretazione dei risultati delle simulazioni ricade integralmente sull’analista e/o sul decisore; è quindi opportuno che questi sia consapevole delle assunzioni utilizzate per costruire il modello, delle problematiche relative alla raccolta dei dati di input, e delle altre problematiche specifiche che sono state affrontate nello specifico caso in esame54.