UNA MISURA DI RISCHIO ALTERNATIVA: L’EXPECTED SHORTFALL (ES)
2. Expected Shortfall e Value at Risk, due misure a confronto
L'Expected Shortfall, quindi, è una misura coerente di rischio che fornisce l'ammontare medio atteso di tutte le perdite che eccedono il valore del Value at Risk. Essa, di conseguenza, deve essere utilizzata come misura, non sostitutiva, ma complementare al VaR, per permettere ad ogni soggetto di comprendere appieno il livello di rischio che si assume e così cercare di fronteggiarlo al meglio, mediante l'impiego, da una parte, di una misura (VaR) che fornisca la massima perdita potenziale che può subire in un determinato numero di casi e dall'altra parte, di una misura (ES) che delinei l'ammontare medio potenziale di perdita che si potrebbe affrontare nel restante numero di casi non presi in considerazione dalla prima misura.
Da un punto di vista teorico, vi è un ampio consenso sul fatto che il VaR abbia due fondamentali carenze: la cecità strutturale alla “far tail” delle posizioni di capitale e la mancanza di sub-additività. Con “tail” di una posizione di capitale si intende la coda al di là del quantile al livello di confidenza scelto. La cecità della coda permette ad un’istituzione finanziaria di assumere esposizioni incontrollate nella “far tail”, e la mancanza di sub-additività implica che un test VaR non considera la diversificazione.
Artzner et al117. svilupparono una teoria delle misure di rischio per fornire una
116 CHRISTOFFERSEN P.J., Elements of Financial Risk Management, 2I}ed., Academic Press, 2012, p.
35.
117 ARTZNER P., DELBAEN F., EBER J.M., HEATH D., Coherent Measures of Risk, Mathematical
solida base teorica per la progettazione di test di adeguatezza patrimoniale al di là del paradigma VaR. Essi svilupparono l’ES come alternativa attraente al VaR perché ha il vantaggio di non essere cieca nella “coda” della distribuzione e perché riesce a catturare i benefici della diversificazione.
In questa parte non considereremo la differenza tra VaR ed ES in termini di capacità di considerare la diversificazione, concentreremo invece la nostra analisi nel modo in cui l’ES cattura i rischi contenuti nella coda di distribuzione, che avviene essenzialmente prendendo in considerazione il valore atteso della posizione di capitale o i profits and losses di un portafoglio, situati sulle code. Dunque è possibile osservare che l’ES tiene in considerazione non soltanto la grandezza media delle perdite potenziali ma anche la probabilità di default. Queste considerazioni costituiscono una delle ragioni che giustificano il passaggio del Comitato di Basilea per la vigilanza bancaria dal VaR all’ES, come indicato nel documento consultivo pubblicato nel maggio 2012118.
La dipendenza del VaR attualmente in vigore come misura del rischio quantitativo deriva in gran parte dalla prassi bancaria. La prassi si è consolidata anche per la richiesta di utilizzare il VaR per finalità di vigilanza. Tuttavia, una serie di punti deboli è stata identificata nel VaR, inclusa la sua incapacità di catturare il “rischio di coda”. Il Comitato ritiene pertanto necessario considerare metriche di rischio alternative che possano superare queste debolezze. A differenza del VaR, l’ES misura la rischiosità di uno strumento considerando sia la dimensione che la probabilità di perdite al di sopra di una determinata soglia. In questo modo, l’ES rappresenta il rischio di coda in modo più completo.
La letteratura esistente sulle misure di rischio si concentra solitamente sulle proprietà teoriche come la coerenza o l’elettività119; ad esempio, mentre il Value
at Risk gode della proprietà di elettività ma non rispetta il principio della sub- additività, quindi non è coerente, l’ES al contrario non gode della proprietà di elettività ma è una misura coerente. La scelta dei modelli per l’ES è complicata dalla mancanza dell’elettività. La mancanza del rispetto della sub-additività può condurre a situazioni in cui la diversificazione dei rischi non è riflessa correttamente. Come risultato di tali analisi, in letteratura vengono discusse diverse misure di rischio alternative120.
118 Basel Committee on Banking Supervision, Fundamental review of the trading book – consultative
document, Bank for International Settlement, May 2012, pag 20.
119 Per approfondimenti vedi ZIEGEL J.F., Coherence and elicitability, Mathematical Finance, 2013. 120 Vedi DOWD, K. e BLAKE, D., After VaR: The Theory, Estimation, and Insurance Applications of
Quantile-Based Risk Measures, Journal of Risk and Insurance, Vol. 73, Issue 2, 2006, pag 193-229.
EMMER, S., KRATZ, M. e TASCHE, D., What is the Best Risk Measure in Practice? A Comparison of
Facendo riferimento al FRTB del 2012121, il quesito che si pone davanti è quello
di rilevare quali possano essere le problematiche relative al passaggio da VaR a ES, soprattutto per quanto riguarda un’attività di backtesting robusta e quali possono essere i rimedi a tali problematiche. Questo ha riportato alla luce il dibattito sui relativi vantaggi di VaR e ES.
Il dibattito ha portato all’articolazione di una vasta gamma di valutazioni parzialmente contraddittorie; facciamo riferimento in particolare all’articolo di indagine di Embrechts et al122. e i relativi riferimenti per una presentazione
completa della maggior parte dei contributi recenti a questo dibattito.
Nel proseguo della trattazione si cercherà di ampliare l’ambito di questo dibattito affrontando l’argomento da una prospettiva teorica più di tipo finanziario. In particolare, ci proponiamo di valutare l’idoneità dell'ES come misura di rischio di regolamentazione ponendo la seguente domanda: Quanto è idonea l’ES a soddisfare sia gli obiettivi micro che macro-prudenziali della regolamentazione finanziaria?
Per rispondere a tale quesito bisogna sottolineare che una serie di caratteristiche dell’ES non sono ancora state trattate in letteratura.
Se le caratteristiche dell’ES potrebbero non essere sorprendenti da una prospettiva matematica, portano ad anomalie inattese se interpretate da una prospettiva finanziaria. Il modo in cui l’ES tiene conto del comportamento della coda è la causa principale di tutte queste anomalie: le medie sono indicatori deboli del rischio. Queste anomalie non riducono i meriti dell’ES come misura di rischio ma forniscono un’argomentazione contro il suo uso indiscriminato. Nel contesto dell’adeguatezza patrimoniale, è possibile riepilogare il seguente elenco di “mancanze inattese” (unexpected shortfalls)123:
1. Un test basato sull’ES non sempre distingue tra gli interessi dei creditori e degli azionisti: Il comportamento osservato sulle code non dovrebbe essere equiparato ad un comportamento standard, poiché la coda lontana delle posizioni di capitale di un’istituzione finanziaria potrebbe contenere situazioni in cui l’istituzione è in default e altre in cui questa ha un surplus. Quindi con il calcolo dell’intera coda, l’ES unisce gli interessi dei creditori con quelli degli azionisti permettendo la compensazione delle perdite dei primi con i guadagni di quest’ultimi.
121 Basel Committee on Banking Supervision, Fundamental review of the trading book – consultative
document, Bank for International Settlement, May 2012, pag 41.
122 EMBRECHTS, P., PUCCETTI, G., RUSCHENDORF, L., WANG, R., BELERAJ, A. An Academic
Response to Basel 3.5. Risks 2014, 2, pag 25-48.
123 Per approfondimenti vedi KOCH-MEDINA P. e MUNARI C., Unexpected shortfalls of Expected
Shortfall: Extreme default profiles and regulatory arbitrage, Center for Finance and Insurance, University
2. Un test basato sull’ES può accettare una posizione in cui i creditori stanno peggio che in una posizione non accettabile: In una posizione patrimoniale considerata accettabile secondo l’ES può verificarsi una probabilità di default e di perdite più elevate rispetto ad una posizione ritenuta inaccettabile. Di conseguenza, i creditori possono godere di condizioni migliori nell’istituzione che non supera il test di adeguatezza patrimoniale e di condizioni peggiori in quella che lo supera.
3. I test basati sull’ES sono equivalenti ai test basati su VaR con un livello di confidenza superiore: Si consideri un test ES con un dato livello di confidenza e un test VaR con un livello di confidenza più elevato. Data una posizione accettabile in base al test VaR, possiamo trovare una posizione con un comportamento di default identico, ritenuto accettabile anche nel test ES124. Tuttavia, ci sono posizioni che non sono accettate dal test di VaR
ma sono accettate dalla prova ES. Allo stesso modo, il passaggio da VaR a ES per la valutazione del rischio di mercato di Basilea III consente di ottenere profili di perdita più estrema.
4. ES può consentire l’arbitraggio regolamentare quando viene utilizzato come misura di regolamentazione globale: l’esito di un test di adeguatezza patrimoniale basato su ES dipende dall’unità di conto sottostante. Da una semplice modifica della valuta in cui i rischi sono aggregati, una società può passare dallo status inaccettabile allo status accettabile. Per la sola ragione che hanno adottato differenti valute di aggregazione, identiche istituzioni potrebbero risultare differenti. Di conseguenza, un regime di solvibilità globale basato su ES, stimato nelle varie valute locali, potrebbe creare opportunità di arbitraggio regolamentare e incentiverebbe le istituzioni non accettabili a trasferirsi in una giurisdizione dove potrebbero diventare accettabili, senza la necessità di ristrutturare il proprio bilancio. 5. L’ES non può impedire alle istituzioni di aumentare il proprio valore
attraverso l’assunzione di un rischio eccessivo: consentendo profili estremi di default, l’ES consente di aumentare il valore dell’istituto aumentando il valore dell’opzione di default che è un asset per gli azionisti dell’istituto finanziario. A volte invece si sostiene che il valore del franchise (franchise value) - valore che esprime la capacità dell’istituto di sottoscrivere affari profittevoli in futuro - si comporti come un deterrente all’assunzione eccessiva di rischi. Questo perché, tipicamente, il valore del franchise può realizzarsi soltanto se l’istituto resta operativo e non in default. Nonostante ciò, l'aumento del valore dell'opzione di default a causa di un aumento del
rischio di coda potrebbe superare il danno potenziale al franchise dell'istituto. Quindi, i proprietari dell'istituto potrebbero avere un incentivo a costruire un profilo di default estremo.
Le unexpected shortfalls di ES sopra descritte evidenziano importanti aspetti che finora non erano emersi dal dibattito “VaR vs ES”.
Pur criticando l’ES, queste “mancanze inattese” non invalidano i giudizi gravanti sul VaR.
Allo stesso tempo, valutando l’adeguatezza patrimoniale con l’ES emergono nuovi fenomeni contrastanti che non sono immediatamente riconoscibili dalla stessa ES
e che potrebbero eventualmente indebolire una regolamentazione efficace.
Sembrerebbe che un test VaR sia meno ‘ingannevole’ di un test ES perché non pretende di contenere tutte le informazioni sul rischio di coda, mentre, catturando in modo non adeguato il rischio di coda, un test ES può indurre ad un falso senso di sicurezza. In definitiva, l’utilizzo del VaR o dell’ES rimane una scelta.
Sebbene l’ES sia una misura di rischio concettualmente superiore al VaR, la stabilità della stima e la scelta di metodi efficienti di backtesting devono ancora essere stabiliti. Pertanto, presumiamo che il VaR verrà utilizzato come misura standard nel settore finanziario. In tal caso, gli utenti del VaR come i risk manager e i regolatori finanziari dovrebbero essere ben avvertiti in merito ai problemi del rischio di coda. Questa sezione elenca alcune note di cautela quando si utilizza il VaR per la gestione dei rischi (risk management)125.
A. La rilevanza del rischio di coda dipende dalla proprietà del portafoglio Generalmente, una singola misura non può rappresentare tutti gli aspetti del rischio. Pertanto, i gestori del rischio dovrebbero verificare se gli aspetti del rischio mancati dalle misure di rischio sono rilevanti per la pratica della gestione del rischio. Abbiamo sottolineato il problema del rischio di coda perché il rischio di coda può portare seri problemi pratici sia per i risk manager che per i regolatori finanziari. Il rischio di coda è serio quando gli investitori hanno l'opportunità di investire in attività la cui perdita è rara ma di grandi dimensioni126. I portafogli di
opzioni e di credito sono tipici di tali portafogli vulnerabili. I gestori del rischio e i regolatori finanziari dovrebbero essere avvertiti quando hanno a che fare con quei tipi di portafogli.
125 Per approfondimenti vedi YASUHIRO YAMAI and TOSHINAO YOSHIBA., On the Validity of Value-
at-Risk: Comparative Analyses with Expected Shortfall, Institute for Monetary and Economic Studies,
January 2002.
126 Per approfondimenti vedi YASUHIRO YAMAI and TOSHINAO YOSHIBA., On the Validity of Value-
at-Risk: Comparative Analyses with Expected Shortfall, Institute for Monetary and Economic Studies,
B. Gestione del rischio con VaR può dare un incentivo perverso agli investitori razionali
Inoltre, gli investitori razionali che impiegano solo il VaR come misura di rischio è probabile che costruiscano una posizione perversa che comporterebbe una perdita maggiore negli stati oltre il livello del VaR. Aumentare il livello di confidenza del VaR non può risolvere questo problema.
Pertanto, gli utenti del VaR, come i risk manager e i regolatori finanziari, dovrebbero sempre ricordare gli incentivi perversi forniti dal VaR e dovrebbero attrezzarsi con misure complementari, se necessario.
C. Implicazioni per i test di stress
La commissione BIS sul sistema finanziario globale127 riassume come gli stress
test sono utilizzati nelle istituzioni finanziarie attive a livello internazionale come segue.
1) Analisi comparative tra l’assunzione di rischi e la propensione al rischio dell'impresa
“Gli stress test producono informazioni che riassumono l'esposizione dell'azienda a circostanze estreme, ma possibili.”
2) Misura del rischio di coda
"Se le grandi perdite comportano costi particolarmente elevati per l'azienda, il senior management può utilizzare test di stress per guidare l'impresa lontano dai profili di rischio con un rischio di coda eccessivo".
Pratiche convenzionali di stress test come il calcolo del VaR ad un alto livello di confidenza (per esempio 99,99 percento) o il calcolo della perdita estrema con scenari di stress storici o ipotetici possono essere appropriati per il primo scopo (ad esempio analisi comparative dell’assunzione di rischi e della propensione al rischio dell'impresa). Tuttavia, questi metodi convenzionali non sono appropriati per il secondo scopo (misurazione del rischio di coda), poiché si basano unicamente sul singolo punto delle distribuzioni. Per misurare la vulnerabilità del portafoglio al rischio di coda, i risk manager dovrebbero adottare metodi di misurazione del rischio che possano incorporare informazioni riguardanti la coda, tipicamente una misurazione del rischio tramite Expected Shortfall.
D. Importanza di un'adeguata gestione del rischio a livello di desk
Alcuni professionisti potrebbero contrastare le critiche del VaR, dicendo: "A livello di trading desk, non ci basiamo esclusivamente sul VaR. I rischi sono gestiti
127 BIS Committee on the Global Financial System, Stress Testing by Large Financial Institutions: Current
con numerose misure quantitative e qualitative, come il monitoraggio dettagliato dei diagrammi profit-loss delle singole posizioni.
Pertanto, il rischio di coda può essere gestito adeguatamente con quelle pratiche di risk management convenzionali a livello di desk."
La validità di questa visione dipende dal fatto che un'adeguata gestione del rischio di coda a livello di desk assicuri un'adeguata gestione del rischio di coda a livello aziendale.
Se questo non dovesse valere, la validità della visione dei professionisti sarebbe seriamente messa in discussione. Possiamo dedurre la validità di questa prospettiva usando la sub-additività dell’ES.
Dato che l’ES è sub-additivo, l’ES della posizione totale non è altro che la somma dell’ES delle singole posizioni. Se possiamo considerare l’ES rappresentare il rischio di coda, un'adeguata gestione del rischio a livello di desk garantisce un'adeguata gestione del rischio a livello aziendale. Ciò suggerisce la necessità e l'efficacia di un'adeguata gestione del rischio a livello di desk.
E. Importanza della gestione della concentrazione del credito
La gestione del rischio con il VaR può aumentare la concentrazione del credito, in quanto il VaR non tiene conto della perdita oltre il livello del VaR. D'altra parte, l’ES riduce la concentrazione del credito, perché considera la perdita oltre il livello di VaR come un'aspettativa condizionata128.
Credit Suisse Financial Products129 rileva che la gestione del rischio di credito oltre
il livello VaR dovrebbe essere "quantificata utilizzando analisi di scenario e controllata con limiti di concentrazione". Quando utilizziamo il VaR per la gestione del rischio dei portafogli di credito, dovremmo garantire che la concentrazione del credito sia limitata con misure complementari, in quanto il VaR trascura l'aumento della perdita potenziale dovuta alla concentrazione del credito. Come accennato in precedenza, almeno concettualmente, l’ES è superiore al VaR, in quanto è meno probabile che l'ES fornisca incentivi perversi agli investitori. Inoltre, Rockafeller e Uryasev130 mostrano che l'ottimizzazione del portafoglio è
più facile con l’ES rispetto al VaR, perché l’ES è convesso mentre il VaR no.
128 Per approfondimenti vedi YASUHIRO YAMAI and TOSHINAO YOSHIBA., On the Validity of Value-
at-Risk: Comparative Analyses with Expected Shortfall, Institute for Monetary and Economic Studies,
January 2002, pag 69-74.
129 Credit Suisse Financial Products, Credit Risk+: A Credit Risk Management Framework, 1997. 130 ROCKAFELLER R. T., and S. URVASEV, Optimization of Conditional Value-at-Risk, Journal of Risk,
Tuttavia, per applicare l’Expected Shortfall alla pratica del risk management, i risk manager dovrebbero valutare la forza e la debolezza dell’ES rispetto a quelli del VaR.
Riepiloghiamo il tutto nella tabella sottostante:
Table 1: Strength and Weakness of VaR and Expected Shortfall
VaR Expected Shortfall
FORZA
• Collegato alla probabilità di
default dell'azienda
• Applicabile facilmente al
backtesting
• Stabilito come la misura standard
del rischio e dotato di un'infrastruttura sufficiente (compresi software e sistema)
• Capace di
considerare la perdita oltre il livello del VaR
• Meno probabilità di dare incentivi perversi agli investitori • Sub-additivo • Facile da applicare all’ottimizzazione del portafoglio DEBOLEZZA • Incapace di considerare la
perdita oltre il livello del VaR (rischio di coda)
• È probabile che dia incentivi
perversi agli investitori se la manipolazione della distribuzione profit-loss è possibile
• Non sub-additivo • Difficile da applicare
all’ottimizzazione del portafoglio
• Non collegato alla
probabilità di default dell'azienda • Non facilmente applicabile ad un efficiente metodo di backtesting
• Non garantito con
stima stabile
• Insufficiente
nell'infrastruttura (inclusi software e sistema)
Fonte: YASUHIRO YAMAI and TOSHINAO YOSHIBA., On the Validity of Value-at-Risk: Comparative Analyses with Expected Shortfall, Institute for Monetary and Economic Studies, January 2002.
Dal punto di vista pratico, l'efficacia dell’ES dipende dalla stabilità della stima e dalla scelta di metodi efficienti di backtesting.
In primis, la stima accurata della coda della distribuzione è particolarmente importante per l'efficacia dell’Expected Shortfall, in quanto l’ES considera la perdita oltre il livello del VaR come un'aspettativa condizionata131.
Tuttavia, la stima accurata della coda della distribuzione è difficile con i metodi di stima convenzionali. Ad esempio, la correlazione tra i prezzi delle attività osservati in normali condizioni di mercato potrebbe crollare in condizioni di mercato estreme. Questa scomposizione della correlazione renderebbe impossibile per i risk manager stimare la coda della distribuzione profit-loss del portafoglio con solo simulazioni Monte Carlo convenzionali con correlazione costante132.
In secondo luogo, il backtesting dell’ES è difficile. Il backtesting che utilizza il VaR verifica la validità di un dato modello confrontando la frequenza della perdita oltre il VaR stimato con il livello di confidenza del VaR. D'altra parte, il backtesting che utilizza l’ES deve confrontare la media delle perdite realizzate oltre il livello del VaR con l’Expected Shortfall stimato. Ciò richiede più dati rispetto al backtesting che usa il VaR, poiché la perdita oltre il livello del VaR è infrequente, quindi la loro media è difficile da stimare con precisione.
3. Conclusioni
Abbiamo considerato la validità del VaR come misura di rischio confrontandola con l’Expected Shortfall.
Abbiamo sottolineato il problema del rischio di coda o meglio, il problema che il VaR ignora la perdita oltre il livello del VaR. Questo problema può portare seri problemi pratici, poiché le informazioni fornite dal VaR possono fuorviare gli investitori. Gli investitori possono alleviare questo problema adottando l’ES,