Una previsione sul valore di una variabile casuale può essere ottenuto cal-colandone il valore atteso, ma esso fornisce il tipo più grossolano di previsione.
Quest'ultima può essere migliorata se si dispone di ulteriori informazioni. Ad esempio, la probabilità di un crollo nanziario può essere rivista se si dispone dell'informazione aggiuntiva che si è entrati in una pesante recessione, esprimen-do tale probabilità come probabilità condizionata.
Vedremo di de nire matematicamente i concetti di informazione, di struttura informativa e di aspettativa condizionata.
De nizione 3.33. Se (Ω, A, P ) è uno spazio di probabilità, allora un'informa-zione è un evento I (ossia un sottoinsieme di Ω che sta in A).
Una struttura informativa è una sotto σ−algebra di A, I, contenente gli eventi informativi.
Ricordiamo la de nizione di probabilità condizionata elementare.
De nizione 3.34. La probabilità condizionata elementare di un evento A ∈ A, sotto la condizione I ∈ A, ossia dato un evento I, con P (I) > 0 è:
P (A
I) = P (A ∩ I)
P (I) . (3.8.1)
Facciamo degli esempi ricorrendo agli esempi 1 e 2 visti nel paragrafo 2.
Esempio 3.13.
Si consideri il lancio in successione per due volte di una moneta.
Sia dato l'evento è uscita almeno una testa, rappresentato matematicamente dall'insieme
A = {T T, T C, CT }.
3.8. ASPETTATIVE CONDIZIONATE. 125
Se non abbiamo alcuna informazione:
P (A) = 3 4.
Ma supponiamo di aver ricevuto la seguente informazione: è uscita almeno una croce. Tale informazione è rappresentata matematicamente dall'insieme
I = {T C, CT, CC}.
Allora, in base alla (3.8.1), la probabilità dell'evento A sotto la condizione I è data da
P (A
I) = P (A ∩ I)
P (I) = P ({T C, CT, })
P ({T C, CT, CC}) = 1 2· 4
3 = 2 3.
Questo perché l'informazione ricevuta ha in un certo senso ridotto lo spazio cam-pione Ω = {T T, T C, CT, CC} ad uno più piccolo Ω0 = {T C, CT, CC} = I in cui non compare più T T ed inoltre all'evento A dobbiamo in realtà sostituire l'evento A ∩ I = {T C, CT }. Se si tiene presente che il nuovo spazio campione è formato da tre stati e che gli eventi costituiti da un singolo stato sono tutti ugualmente probabili, avremo che la probabilità di ciascuno di tali eventi è 1
3 e poiché A ∩ I contiene due stati si ottiene che P (A I) = 2
3. Esempio 3.14.
Si deve colpire con una freccia un bersaglio rappresentato da un insieme piano Ω, misurabile secondo Lebesgue.
Supponiamo di sapere che verrà colpito un punto della regione I (evento infor-mativo). Allora la probabilità condizionata dell'evento A, (cioè che venga colpito un punto dell'insieme A) dato l'evento I è:
P (A
I) = P (A ∩ I)
P (I) = mis(A ∩ I) misI . Dimostriamo la seguente
Proposizione 3.19. Se gli eventi A e I sono indipendenti, allora P (A
I) = P (A).
Dimostrazione
La dimostrazione è immediata se si tiene presente la de nizione elementare di eventi indipendenti.
Infatti
P (A
I) = P (A ∩ I)
P (I) = P (A) · P (I)
P (I) = P (A).
Introduciamo ora la seguente de nizione:
De nizione 3.35. L'aspettativa condizionata elementare della variabile casuale X ∈ L1(Ω) sotto la condizione I è data da
E[X
I] = E[X χI]
P (I) . (3.8.2)
Vediamo quale forma assume la (3.8.2) se la variabile casuale è discreta con n valori: x1 < x2 < ....xn.
In primo luogo osserviamo che E[X χI] =
Allora, essendo X variabile discreta, dalla (3.8.2) otteniamo:
E[X
Vogliamo ora de nire l'aspettativa condizionata di una variabile casuale, data una struttura informativa, ossia data una sotto σ-algebra di A. Questa, come vedremo, è una variabile casuale.
De nizione 3.36. Sia X una variabile casuale de nita sullo spazio di probabilità (Ω, A, P ) tale che X ∈ L1(Ω), e sia I una sotto σ−algebra di A. De niamo a-spettativa condizionata di X, data la struttura informativa I, la variabile casuale Y ∈ L1(Ω), misurabile rispetto ad I tale che ∀ I ∈ I si abbia
La variabile casuale Y viene denotata nel modo seguente:
Y = E[X I].
L'esistenza e l'"unicità" dell'aspettativa condizionata sono provate nel seguente Teorema 3.6. Sia X una variabile casuale de nita sullo spazio di probabilità (Ω, A, P ) tale che X ∈ L1(Ω), e sia I una sotto σ−algebra di A. Allora esiste una variabile casuale Y soddisfacente alle proprietà richieste dalla de nizione 3.40. Inoltre tali proprietà caratterizzano Y nel senso che se esiste un'altra varia-bile casuale Y∗ con le stesse proprietà di Y allora Y e Y∗ sono uguali quasi sicuramente.
3.8. ASPETTATIVE CONDIZIONATE. 127
Dimostrazione
Supponiamo dapprima che la variabile casuale X ∈ L1(Ω) sia non negativa e consideriamo l'applicazione N : I −→ R+ così de nita:
N (I) = per la proprietà 6) della proposizione 3.14 si ha:
N (I) = è una misura nita ed anche assolutamente continua rispetto a P considerata sullo spazio misurabile (Ω, I) poiché ∀I ∈ I tale che P (I) = 0 si ha Radon-Nikodym esiste ed è unica quasi sicuramente una variabile casuale Y ∈ L1(Ω), misurabile rispetto ad I tale che ∀ I ∈ I si abbia
Precisamente Y è la densità della misura N rispetto alla misura di probabilità P.
Se la variabile casuale X assume anche valori negativi, il teorema si dimostra mediante la decomposizione X = X+ − X−.
Diamo anche la de nizione di probabilità condizionata P (A I) di un evento A, data la struttura informativa I:
P (A
I) = E[χA I], dove χA è la funzione caratteristica dell'evento A.
L'aspettativa condizionata gode di numerose proprietà che valgono tutte qua-si qua-sicuramente, osqua-sia con probabilità 1.
Nella proposizione scritta sotto ne sono elencate le più importanti.
Proposizione 3.20. Date una variabile casuale X ∈ L1(Ω)e una sotto σ−algebra I di A, sussistono le seguenti proprietà:
1) se I = {∅, Ω}, cioè non si ha alcuna informazione allora E[X
I] = E[X];
2) linearità:
∀ c1, c2 ∈ R, ∀Y ∈ L1(Ω) si ha E[c1X + c2Y
I] = c1E[X
I] + c2E[Y I];
3) E[X I]
≤ E[
X
I];
4) se X è I-misurabile, allora
E[X
I] = X;
5) se σ(X) è indipendente da I, allora E[X
I] = E[X];
6) se la variabile casuale M è I-misurabile e limitata, allora E[M X
I] = M E[X I];
7) se Y ∈ L1(Ω) è indipendente da X e σ(Y ) è indipendente da I, allora:
E[XY
I] = E[X
I] E[Y ];
8) Proprietà a torre:
se I∗ è una sotto σ−algebra di I, allora:
E[E[X I]
I∗] = E[X I∗];
9) E[E[X I]] = E[X].
Dimostriamo solo alcune delle proprietà elencate sopra.
Dimostriamo la proprietà 1) Sia Y = E[X I] con I = {∅, Ω}.
Poiché Y è misurabile rispetto ad I, avremo che
{ω ∈ Ω : Y (ω) ≤ x} ∈ I ∀x ∈ R,
3.8. ASPETTATIVE CONDIZIONATE. 129
ma per come è de nita I, risulta
{ω ∈ Ω : Y (ω) ≤ x} = ∅ o = Ω.
Perciò Y assume un solo valore su tutto Ω ed è quindi costante.
D'altra parte, per il teorema 3.6, Y gode della proprietà Z
I
Y dP = Z
I
X dP ∀I ∈ I.
In particolare avremo
Z
Ω
Y dP = Z
Ω
X dP, ossia
E[Y ] = E[X].
Ma, essendo Y costante, si ha
E[Y ] = Y e dunque la proprietà è dimostrata.
Dimostriamo ora la proprietà 4)
Se X è I−misurabile, gode di tutte le proprietà di cui gode Y = E[X I]. Ma per l'unicità stabilita dal teorema 3.6 X = Y quasi sicuramente.
Per la dimostrazione delle proprietà 5) e 8) rimandiamo all'Appendice 2 del-l'ultimo capitolo.
In ne proviamo la 9) che è conseguenza delle 1) e 8).
Infatti, poniamo I∗ = {∅, Ω}. Tenendo presente la proprietà 1), possiamo scri-vere
E[E[X
I]] = E[E[X I]
I∗] = E[X
I∗] = E[X],
dove abbiamo anche sfruttato la proprietà a torre e ancora la proprietà 1).
In particolare, data la variabile casuale X, si può assumere come struttura informativa la σ−algebra generata da un'altra variabile casuale Z de nita sullo stesso spazio di probabilità. Diamo infatti la seguente
De nizione 3.37. Siano X e Z variabili casuali sullo spazio di probabilità (Ω, A, P ) con X ∈ L1(Ω). De niamo aspettativa condizionata della variabile casuale X, data la variabile casuale Z, l'aspettativa condizionata di X, data la struttura informativa σ(Z), e la denotiamo con E[X Z], ossia
E[X
Z] = E[X σ(Z)].
Ovviamente se X e Z sono indipendenti, per la proprietà 5) si ha:
E[X
Z] = E[X].