Prodotto scalare e trasformazione aggiunta

Consideriamo una trasformazione lineare A da Φⁿ in Φ^m. Non si esclude che sia n = m. Fissiamo un qualsiasi k∈ Φ^m, spazio d’arrivo della trasformazione, e consideriamo il funzionale lineare su Φⁿ

h7→ Lkh =hAh, kiΦ^m.

Si osservi la notazione: ora abbiamo due spazi dotati di prodotto interno e quindi usiamo l’indice per precisare in quale dei due spazi il prodotto interno viene calcolato.

Lo stesso faremo per le norme.

Il Teorema 103 mostra che il funzionale lineare L_k si rappresenta come prodotto interno in Φⁿ, ossia esiste z = z_k∈ Φⁿ tale che

hAh, kiΦ^m =hh, zkiΦⁿ.

Inoltre, l’elemento zk`e unico. Quindi si pu`o studiare la trasformazione k7→ zk: Φ^m 7→ Φⁿ. Proviamo:

Teorema 104 La trasformazione k7→ zk: Φ^m7→ Φⁿ`e lineare.

Dim.La linearit`a si prova notando che

hAh, (ak1+ bk₂)iΦ^m = ¯ahAh, k1iΦ^m + ¯bhAh, k2iΦ^m

= ¯ahh, zk1iΦⁿ+ ¯bhh, zk2iΦⁿ =hh, (azk1 + bzk2)iΦⁿ. La trasformazione k7→ zk si chiama la trasformazione aggiunta di A e si indica col simbolo A^∗:

A^∗k = z_k.

2.8. PRODOTTO SCALARE E NORMA 139 Sottolineiamo che A: Φⁿ7→ Φ^m mentre A^∗: Φ^m 7→ Φⁿ e che A^∗ `e definita

dall’uguaglianza

hAh, kiΦ^m =hh, A^∗kiΦⁿ. (2.25) Nelle considerazioni precedenti le dimensioni n ed m possono essere diverse, ma non `e vietato che siano uguali. Se sono uguali potrebbe accadere che A<sup>∗</sup> = A. In tal caso si dice che A `e una trasformazione autoaggiunta. Ma, se n = m la trasformazione si chiama anche un endomorfismo e quindi la chiameremo anche un endomorfismo autoaggiunto. Analogamente,

• Un endomorfismo A di Cⁿ si dice unitario se A^∗ = A⁻¹;

• Un endomorfismo A di Rⁿ si dice ortogonale se A^∗ = A⁻¹. Teorema 105 Valgono le propriet`a riassunte dalla tabella seguente:

(A + B)^∗= A^∗+ B^∗ (αA)^∗ = ¯αA^∗

(AB)^∗ = B^∗A^∗ se A `e invertibile anche A<sup>∗</sup> lo `e e si ha (A⁻¹)^∗ = (A^∗)⁻¹

Dim. La verifica `e immediata. Limitiamoci a considerare quella relativa alla trasformazione inversa. Sia n = m e supponiamo che A: Φⁿ7→ Φⁿ sia inveribile.

Dunque, h = A⁻¹y. Scrivendo h = A⁻¹y in (2.25) si trova hy, kiΦⁿ =hA⁻¹y, A^∗kiΦⁿ =hy, A⁻¹
∗

A^∗kiΦⁿ. Quest’uguaglianza vale per ogni y e per ogni k. Dunque,

A⁻¹
∗

A^∗k = k ossia A⁻¹
∗

A^∗ = I . E’ importante sapere che:

Teorema 106 Sia X un sottospazio di Φⁿe sia P_X la proiezione ortogonale di Φⁿsu X. La trasformazione lineare PX `e autoaggiunta.

Dim. Va provato che

hPXh, ki = hh, PXki ∀h , k ∈ Φⁿ. Rappresentiamo

h = P_Xh + (I− PX)h , k = P_Xk + (I− PX)k

cos`ı che

hPXh, ki = hPX(PXh + (I− PX)h) , PXk + (I− PX)ki

=hPXh, PXk + (I− PX)ki = hPXh, PXki . In modo analogo si vede che

hh, PXki = hPXh, PXki . Complessificato, prodotto interno ed aggiunto Supponiamo ora di aver definito un prodotto interno su Rⁿ:

hv, wi^Rn.

Questo prodotto interno si estende a Cⁿ, complessificato di Rⁿ, definendo hvR+ ivI, wR+ iwIi^Cn = [hvR, wRi^Rn− hvI, wIi^Rn]

+ i [hvr, w_Ii^Rn+hvI, w_Ri^Rn] (ricordiamo che con le notazioni vR, vI, wR e wI si intendono elementi di Rⁿ).

Supponiamo ora di avere una trasformazione lineare A da R^m in Rⁿ. Complessifichiamo i due spazi e consideriamo la corrispondente trasformazione complessificata AC, si veda la definizione nel paragrafo 2.6.1. Vogliamo studiare la relazione tra A^∗, (A^∗)C ed (AC)^∗. Proviamo:

Teorema 107 Si ha:

(AC)^∗= (A^∗)C, (AC)^∗(wR+ iwI) = A^∗wR+ iA^∗wI. (2.26) Dim.Infatti si ha:

hv^R+ ivI, (AC)^∗(wR+ iwI)i^Cn =hA^C(vR+ ivI), wR+ iwIi^Cm

=hAvR+ iAvI, wR+ iwIi^Cm

=hAvR, w_Ri^Rm− hAvI, w_Ii^Rm+ i [hAvR, w_Ii^Rm+hAvI, w_Ri^Rm]

=hvR, A^∗w_Ri^Rn− hvI, A^∗w_Ii^Rn+ i [hvR, A^∗w_Ii^Rn+hvI, A^∗w_Ri^Rn]

=hv^R+ ivI, A^∗wR+ iA^∗wIi^Cn

=hv^R+ ivI, (A^∗)C(wR+ iwI)i^Cn. Siano ora fissate basi ordinate di Rⁿ e di R^m. Si vede facilmente che la relazione analoga vale per le rappresentazioni matriciali degli operatori (AC)^∗ ed (A^∗)C: Teorema 108 Fissate basi ordinate di Rⁿ e di R^m sia ha

M_(AC)^∗ = (M_AC)^∗.

2.8. PRODOTTO SCALARE E NORMA 141 2.8.3 Rappresentazione matriciale della trasformazione aggiunta I termini “aggiunto” ed “autoaggiunto” si sono gi`a incontrati studiando le matrici. Ci`o fa pensare che ci sia una stretta relazione tra la matrice che rappresenta A (in certe basi assegnate di Φⁿ e φ^m) e quella che rappresenta A^∗. Ci`o `e sostanzialmente vero ma richiede un po’ di cautela. Questo problema esaminiamo ora. Consideriamo prima di tutto un esempio:

Esempio 109 Consideriamo la trasformazione A: R² in s´e definita in questo modo.

Consideriamo lo spazio lineare delle coppie ordinate (x, y), ossia R², dotato del prodotto interno

h(x, y), (a, b)i = ax + by .

Consideriamo la trasformazione A: R²7→ R² definita in questo modo:

A(x, y) = (x, 2y) . Si vede immediatamente che A `e autoaggiunto perch´e

hA(x, y), (a, b)i = h(x, 2y), (a, b)i = ax + b(2y) = ax + 2by , h(x, y), A(a, b)i = h(x, y), (a, 2b)i = ax + (2b)y .

Lo spazio R² si pu`o rappresentare rispetto alla base canonica, (x, y) = xe₁+ ye₂.

Rappresentiamo A rispetto alla base canonica sia quando R² si considera come spazio di partenza che quando R² si considera come spazio di arrivo. Notiamo che

Ae₁= e₁, Ae₂= 2e₂. Consideriamo

A(α₁e₁+ α₂e₂) = α₁Ae₁+ (2α₂)e₂= ˆα₁e₁+ ˆα₂e₂ cos`ı che

ˆ

α₁ = α₁, αˆ₂ = 2α₂ e quindi MA= 1 0 0 2

 . Come ci si poteva attendere, la matrice MA`e simmetrica.

E’ facile immaginare che se si usano basi diverse in R², una base quando `e considerato come insieme di partenza e una diversa base quando `e considerato come insieme di arrivo, la simmetria vada persa perch´e `e come considerare una

trasformazione A tra spazi che hanno la medesima dimensione ma che sono tra loro diversi. Per esempio, consideriamo v1 = (1, 0) e v2 = (1, 1) come base di R² inteso come spazio di arrivo. Invece consideriamo ancora la base canonica in partenza. Allora,

A(α₁e₁+ α₂e₂) = (α₁, 2α₂) = ˆα₁v₁+ ˆα₂v₂

e quindi ˆα1 e ˆα2 devono verificare La matrice M_A questa volta non `e simmetrica, cosa che si poteva facilmente immaginare.

Usiamo ora la medesima base v₁= (1, 0) e v₂ = (1, 1) sia in partenza che in arrivo e calcoliamo la matrice M_A:

A(α1v1+ α2v2) = (α1+ α2, 2α2)

= ˆα₁v₁+ ˆα₂v₂ = (ˆα₁+ ˆα₂, ˆα₂) e quindi

ˆ

α2= 2α2, αˆ1+ ˆα2 = α1+ α2 e quindi αˆ1= α1− α2. Dunque, rispetto a questa base, la matrice MA`e

MA=

 1 −1

0 2



la matrice non `e simmetrica nonostante che A sia autoaggiunto . La ragione di questa apparente stranezza `e che la trasformazione aggiunta `e stata definita mediante il prodotto interno mentre la matrice aggiunta `e stata definita mediante il prodotto righe per colonne di matrici. Il prodotto righe per colonne corrisponde al prodotto interno solamente se lo spazio `e riferito ad una base

ortonormale e quindi la base{v1, v₂}, non essendo ortonormale, non ha una relazione diretta col prodotto righe per colonne di matrici.

Quest’esempio suggerisce il risultato seguente:

Teorema 110 Sia A: Φⁿ7→ Φ^m e supponiamo che Φⁿ sia rappresentato rispetto ad una base ortonormale ordinata{e1, · en} e Φ^m sia rappresentato rispetto ad una base ortonormale ordinata{ˆe1, · ˆe^m} (non necessariamente le basi canoniche). Siano M_A la matrice che rappresenta A ed M_A^∗ quella che rappresenta A^∗. Si ha

2.8. PRODOTTO SCALARE E NORMA 143 cos`ı che

MA=







a_{1 1} a_{1 2} . . . a_{1 n} a_{2 1} a_{2 2} . . . a_{2 n}

...

am1 am2 . . . am n







, MA^∗ =







c_{1 1} c_{1 2} . . . c_{1 m} c_{2 1} c_{2 2} . . . c_{2 m}

...

cn1 cn2 . . . cn m





 .

Ora usiamo il fatto che le basi sono ortonormali per calcolare a_{r i}=hAei, ˆe_riΦ^m =hei, A^∗ˆe_riΦⁿ = c_{i r} : hAei, ˆe_ri = hPm

j=1a_{j i}ˆe_j, ˆe_ri = a_{r i}

=

heⁱ, A^∗ˆeri = heⁱ,Pn

jν=1cν reνi = ¯c^{i r} cos`ı che ¯ci r = ar i e quindi MA^∗= M_A^∗.

Di conseguenza:

Corollario 111 La trasformazione lineare A: Φⁿ7→ Φⁿ`e autoaggiunta quando la matrice MA, ottenuta dotando Φ<sup>n</sup> di una qualsiasi base ortonormale, `e una matrice autoaggiunta.

2.8.4 Rappresentazioni matriciali di endomorfismi unitari ed ortogonali

Rappresentiamo Φⁿ rispetto ad una base ordinata ed ortonormale e sia A un

endomorfismo di Φⁿ. Si `e provato, al Teorema 110, che MA<sup>∗</sup>= (MA)<sup>∗</sup>. Inoltre si sa che se A `e invertibile M_A−1 = (M_A)⁻¹. Dunque:

Teorema 112 In Cⁿ (dotato di una base ortonormale), l’endomorfismo A `e unitario se e solo se MA`e una matrice unitaria; in Rⁿ (dotato di una base ortonormale),

l’endomorfismo A `e ortogonale se e solo se la matrice M<sub>A</sub> `e ortogonale.

Notiamo esplicitamente che le colonne di una matrice unitaria (in particolare ortogonale) verificano

hai, a_ji = δi j (δ_{i j} `e il simbolo di Kronecker) .

Grazie a queste propriet`a, da ora in poi lavorando con la rappresentazione matri-ciale di una trasformazione rispetto a fissate basi ordinate nello spazio vettoriale di partenza e in quello di arrivo intenderemo, se non esplicitamente detto il contrario, che queste sono basi ortonormali.

2.9 Sistemi di equazioni lineari

Applichiamo ora le propriet`a delle matrici per studiare i sistemi lineari di m equazioni in n incognite; ossia i sistemi della forma



Con la notazione matriciale questo sistema si scrive

Ax = b (2.28)

ove A `e la matrice dei coefficienti, il vettore b `e il termine noto, il vettore x

`e l’incognita:

I numeri che figurano in queste espressioni possono essere reali oppure complessi.

Il sistema (2.27), equivalentemente il sistema (2.28) si dice omogeneo se il termine noto `e nullo.

Vogliamo dare condizioni perch´e un sistema lineare ammetta soluzioni, e perch´e ammetta soluzione unica.

E’ ovvio che ogni sistema lineare omogeneo `e risolubile, e che una sua soluzione `e x = 0. In realt`a, da quanto si `e gi`a visto:

Teorema 113 L’insieme delle soluzioni di (2.28) con b = 0 `e il sottospazio ker A.

Se b6= 0, il sistema (2.28) ammette soluzioni se e solo se b ∈ imA.

Sia b∈ imA e sia Ax0= b. L’insieme delle soluzioni di (2.28) `e

x₀+ ker A . (2.29)

Il problema dell’unicit`a di soluzione si tratta in modo ugualmente semplice. Si noti che il sistema (2.28) `e risolubile per certi vettori b (quelli in imA) e non risolubile per altri. Si potrebbe quindi pensare che, quando la soluzione esiste, per certi vettori b si trovi una sola soluzione mentre per altri si trovino pi`u soluzioni. Si vede subito che questo non vale perch´e, da (2.29):

Teorema 114 Il sistema lineare (2.28) ammette al pi`u una soluzione esattamente quando ker A ={0}. In particolare, se per un termine noto b0 la soluzione esiste ed `e unica, allora per ogni altro termine noto b la soluzione o non esiste oppure, se siste, essa `e unica.

2.9. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI 145 Inoltre, l’insieme delle soluzioni, se non `e vuoto, si ottiene traslando il sottospazio ker A, che ha una certa dimensione, diciamo ν. Dunque, nella determinazione della soluzione, troveremo che ν parametri rimangono liberi, e ci`o per ogni termine noto per il quale la soluzione esiste.

Chiamiamo ora rango di una matrice la dimensione della sua immagine. Il rango di A si indica rankA. Il teorema 113 mostra che il sistema (2.28) `e risolubile se e solo b∈ imA e quindi se e solo se le due matrici

hanno la medesima immagine. Ossia:

Teorema 115 (di Rouche–Capelli) Il sistema (2.28) `e risolubile se e solo se le due matrici

A , 

A b 

(2.30) hanno il medesimo rango. In tal caso il sistema (2.28) ammette infinite soluzioni, dipendenti da ν “parametri liberi”, con ν = dim ker A = n− dim(im(A)).

Dim. Basta notare che le due matrici in (2.30) hanno lo stesso rango se e solo se hanno la stessa immagine.

E’ ovvio che se hanno la stessa immagine allora hanno anche lo stesso rango. Il viceversa segue perch´e se l’aggiunta della colonna b non aumenta la dimensione dell’immagine allora b∈ im A e le due matrici hanno la medesima immagine.

Questo teorema mostra l’utilit`a di dare criteri “algebrici” per il calcolo del rango di una matrice. Sia per questo A una generica matrice. Consideriamo i determinanti delle matrici quadrate che si “estraggono” da A; ossia i numeri

A i1 i2 . . . is

si dice un minore di ordine s della matrice A perch´e `e il determinante di una matrice s× s estratta dalla A.

Vale

Teorema 116 (di Kronecker) Il rango della matrice A `e il massimo dei numeri r tali che almeno uno dei minori di ordine r `e non nullo.

2.9.1 Il metodo di riduzione di Gauss

Illustriamo un metodo per la soluzione dei sistemi lineari dovuto a Gauss e noto come metodo di riduzione.

Con riferimento al sistema (2.27), `e chiaro che:

1. cambiare l’ordine delle equazioni non muta n´e la risolubilit`a n´e il valore delle soluzioni del sistema.

Cambiare l’ordine delle equazioni significa scambiare le righe della matrice in (2.28) e quelle corrispondenti di b.

2. Sommando ad una riga combinazioni lineari di altre righe non altera n`e la risolubilit`a del sistema n`e il valore della soluzione. Si osservi che, con riferimento al sistema (2.28), sommare ad una riga del sistema una combinazione lineare di altre righe, vuol dire sommare ad una riga, per esempio la riga i, della matrice A le combinazioni lineari di altre righe e all’elemento i–mo di b le combinazioni lineari corrispondenti degli altri elementi di b.

3. si pu`o anche cambiare l’ordine in cui si susseguono le colonne di A. Ci`o per`o richiede di permutare gli elementi di x (senza cambiare posizione a quelli di b).

Dunque possiamo liberamente fare queste trasformazioni senza cambiare le soluzioni del sistema⁶.

Procediamo ora come segue: scambiando tra loro le righe e le colonne,

riportiamoci ad avere non nullo l’elemento in posizione (1, 1). Sommando la prima riga moltiplicata per−ai,1/a_1,1 alla riga i− ma, si ottiene una matrice la cui prima

colonna ha tutti gli elementi nulli salvo il primo.

Si noti che le operazioni corrispondenti vanno eseguite anche sugli elementi di b.

Per esempio, se allora le operazioni descritte trasformano A e b in



Consideriamo la sottomatrice A1 di A ottenuta ignorando la prima riga e la prima colonna e il sottovettore b₁ di b ottenuto ignorando il primo elemento. Nell’esempio,

A₁= −2 −10

6se si permutano colonne si risolver`a un sistema non rispetto ad x ma rispetto al vettore ˜x ottenuto permutando l’ordine degli elementi di x. Si ritrova x applicando la permutazione opposta.

2.9. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI 147 Ripetiamo su questa matrice e su questo vettore le operazioni consistenti nello scambiare righe e nel sommare ad una riga i multipli della prima, fino a trasformare A₁ in una matrice che ha nulli tutti gli elementi della prima colonna, salvo il primo.

Iterando una numero sufficiente di volte questo procedimento, si arriva a dare al sistema la forma seguente: tutti gli elementi nulli). La matrice A₁₁ `e quadrata mentre A<sub>12</sub> `e in generale

rettangolare.

La matrice A₁₁ `e in forma triangolare superiore,



e gli elementi diagonali sono non nulli.

Se k = n i vettori x₁ e b₁ hanno dimensione n e la matrice in (2.31) `e A<sub>1 1</sub>. Si vede immediatamente che il sistema non `e risolubile se b₂6= 0. Se k = n il sistema ha una e una sola soluzione, facilmente determinabile notando che xn= bn/ann e tornando indietro passo passo, fino a trovare x1.

Se k < n e b₂ = 0 allora c’`e una sola soluzione con x₂ = 0. Tutte le altre soluzioni si ottengono sommando a questa i vettori

 0 x₂



con

A₁₂x₂ = 0 .

Si confronti il metodo di Gauss col metodo per il calcolo dei determinanti illustrato al paragrafo 1.1.6.

Alternativa di Fredholm

Torniamo a considerare il sistema di equazioni (2.27) L’incognita `e un vettore x =

x₁ x₂ x₃ . . . x_n T

i cui elementi sono le componenti rispetto alla base canonica, che `e ortonormale.

Ci`o suggerisce che il prodotto interno debba avere un ruolo nello studio dei sistemi lineari. Ci`o andiamo a vedere ora.

Ricordiamo il simbolo X^⊥:

X^⊥={y | hx, yi = 0 per ogni x ∈ X} . Premettiamo:

Lemma 117 Sia X un sottospazio di Φⁿ. Vale:

• y ∈ X ed anche y ∈ X^⊥ implica y = 0;

• hy, xi = 0 per ogni x ∈ Φⁿ implica y = 0.

• X = 0 se e solo se X^⊥= Φⁿ;

• X = Φⁿ se e solo se X^⊥ = 0;

Notiamo ora che un modo indiretto di descrivere un sottospazio di Φⁿ consiste nel descriverne l’ortogonale. Infatti, se X `e noto, anche X<sup>⊥</sup> `e noto; e viceversa noto X^⊥ anche X pu`o calcolarsi:

Teorema 118 Vale:

X = (X^⊥)^⊥. Dim.Mostriamo che vale l’inclusione

X⊆ (X^⊥)^⊥ e poi proviamo che l’inclusione non pu`o essere stretta.

Proviamo l’inclusione: mostriamo cio`e che se x∈ X allora vale anche x ∈ (X^⊥)^⊥. Infatti, per ogni y∈ X^⊥ vale

hx, yi = 0

(`e questa proprio la definizione di X^⊥). Dunque, x∈ X^⊥, come si voleva provare.

Proviamo ora che l’inclusione non `e stretta. Scegliamo y∈ (X^⊥)^⊥ e proviamo che y∈ X. Sia z la proiezione ortogonale di y su X ⊆ (X^⊥)^⊥. Allora, y e z sono elementi del sottospazio (X^⊥)^⊥ e quindi y− z ⊥ (X^⊥)^⊥. D’altra parte, y− z ⊥ X. Dunque,

y− z ∈ X^⊥, y− z ∈ (X^⊥)^⊥ e quindi y− z = 0 . Si ha dunque y = z∈ X, come volevamo provare.

Caratterizziamo ora (imA)^⊥: Teorema 119 Vale imA = (ker A^∗)^⊥.

2.9. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI 149 Dim. Proviamo l’inclusione

imA⊆ (ker A^∗)^⊥. (2.32)

Dobbiamo provare che per ogni x si ha

Ax⊥ v ∀v ∈ ker A^∗. Ci`o vale perch´e se A^∗v = 0 allora

hAx, vi = hx, A^∗vi = 0 . Vicevera proviamo l’inclusione opposta,

(ker A^∗)^⊥⊆ imA .

In questa dimostrazione useremo la (2.32) che `e gi`a stata provata.

Sia w∈ (ker A^∗)^⊥ e mostriamo che w∈ imA considerandone la proiezione ortogonale z su imA⊆ [ker A^∗]^⊥ e mostrando w = z.

La definizione di proiezione ortogonale `e che w− z ⊥ imA ossia che hw − z, Axi = 0 ∀x .

Dunque,

hA^∗(w− z), xi = 0 ∀x e quindi A^∗(w− z) = 0 . Abbiamo cio`e (w− z) ∈ ker A^∗. D’altra parte, z∈ (ker A^∗)^⊥ ossia

w− z ∈h

(ker A^∗)^⊥i

∩ [ker A^∗] e quindi w = z . Dal teorema precedente e dal Lemma 117 segue anche:

Corollario 120 Sia ha:

(imA)^⊥ =

(ker A^∗)^⊥⊥

= ker A^∗.

Notando che (A^∗)^∗ = A, i risultati precedenti si riassumono come segue:

imA = (ker A^∗)^⊥ (imA)^⊥= ker A^∗

imA^∗ = (ker A)^⊥ (imA^∗)^⊥= ker A

Dunque:

Teorema 121 per il sistema (2.27), ossia (2.28), vale:

• il sistema `e risolubile se e solo se b ⊥ ker A^∗;

• la soluzione `e unica se e solo se imA^∗ = Φⁿ;

• il sistema `e risolubile per ogni b se e solo se ker A^∗= 0.

Considerando ora i due sistemi

i) Ax = b , ii) A^∗v = w . Vale:

Teorema 122 (Alternativa di Fredholm) Il sistema i) `e risolubile per ogni b se e solo se il sistema ii) ha unicit`a di soluzione; Il sistema ii) `e risolubile per ogni w se e solo se il sistema i) ha unicit`a di soluzione.

2.10 Endomorfismi ortogonali e isometrie

In questo paragrafo assumiamo che Φ = R e studiamo le matrici ortogonali.

Se v `e un vettore, in generale non c’´e relazione tra ||v|| e ||Av||. Questo si vede facilmente notando che se A ha due autovalori diversi, per esempio 2 ed 1/2, l’autovettore v di 2 viene trasformato in 2v e quindi la sua lunghezza raddoppia.

Invece, l’autovettore w di 1/2 viene trasformato in w/2 e la sua lunghezza si dimezza.

Se per`o la matrice A `e ortogonale, essa lascia invariata la lunghezza, e viceversa. Vale infatti:

Teorema 123 Sia A una matrice ad elementi reali. Si equivalgono le affermazioni seguenti:

i) la matrice A `e ortogonale;

ii) ValehAw, Avi = hw, vi per ogni coppia di vettori v e w in Rⁿ; iii)||Av|| = ||v|| per ogni v ∈ Rⁿ e quindi ||A(v − w)|| = ||v − w||;

Dim.Proviamo che se la matrice `e ortogonale allora hAw, Avi = hw, vi.

Infatti, se la matrice `e ortogonale allora vale ii). Infatti, hAw, Avi = hw, A<sup>T</sup>Avi = hw, vi . La ii) con v = w d`a la iii).

Viceversa, mostriamo che ii) implica i). Si fissi (arbitrariamente) v e si noti che, se vale ii) allora per ogni w si ha

hw, vi = hw, A^TAvi . Dunque, v = A^TAv. Ci`o per ogni v e quindi A^TA = I.

2.10. ENDOMORFISMI ORTOGONALI E ISOMETRIE 151 Mostriamo ora che se vale iii) allora vale ii). Notiamo prima di tutto, da iii), che

||Av − Aw||² =||A(v − w)||² =||v − w||². (2.33) Si ha quindi

hAv − Aw, Av − Awi = hv − w, v − wi . Sviluppando e usando||Av||² =||v||²,||Aw||²=||w||² si trova

hAv, Awi = hv, wi .

Esaminiamo alcune conseguenze importanti del Teorema 123:

Teorema 124 Una matrice `e ortogonale se e solo se trasforma una base ortonormale in una base ortonormale.

Dim. Se la matrice `e ortogonale essa conserva prodotti interni e norme, e quindi trasforma basi ortonormali in basi ortonormali.

Viceversa, sia{ei} una base ortonormale e supponiamo che anche {Aei} sia una base ortonormale. Allora,

Dunque A conserva le norme e quindi `e una matrice ortogonale.

Questa propriet`a giustifica il considerare l’azione di matrici ortogonali come rotazioni, eventualmente seguite da simmetrie anche in Rⁿcon n > 3. Le rotazioni propriamente dette corrispondono alle matrici ortogonali con determinante +1, che ancora si chiamano matrici ortogonali speciali.

La (2.33) mostra che una trasformazione ortogonale lascia invariate le distanze:

dist(Av, Aw) = dist(v, w). Esistono anche trasformazioni non lineari che lasciano invariate le distanze, per esempio le traslazioni: se

T (v) = v + h ove h `e un vettore che non dipende da v allora

dist(T v, T w) = dist(v, w) . (2.34) Una trasformazione che lascia invariate le distanze, ossia una trasformazione per cui vale (2.34) per ogni v e w si chiama isometria o trasformazione isometrica.

E’ importante sapere che le isometrie di Rⁿ tali cheT (0) = 0 sono tutte trasformazioni lineari descritte da matrici ortogonali. Proviamo prima di tutto il risultato seguente. Si noti che esso non assume che la trasformazione T sia lineare:

assume solo che sia un’isometria e che T (0) = 0.

Lemma 125 SiaT una isometria di Rⁿ e valgaT (0) = 0. La trasformazione T conserva sia la norma che il prodotto interno:

kT (v)k = kvk ∀v ∈ Rⁿ,

hT (v), T (w)i = hv, wi ∀v , w ∈ Rⁿ . Dim. La norma si conserva perch´e

kT (v)k = kT (v) − 0k = kT (v) − T (0)k = kv − 0k = kvk . Noto ci`o, `e facile provare che anche il prodotto interno si conserva:

hT (v) − T (w), T (v) − T (w)i = kT (v) − T (w)k² =kv − wk²=hv − w, v − wi . Sviluppando i prodotti interni e usando il fatto cheT conserva le norme si trova

hT (v), T (w)i = hv, wi . Possiamo ora provare:

Teorema 126 Una isometriaT tale che T (0) = 0 `e lineare e quindi, per il Teorema 123, `e rappresentata da una matrice ortogonale.

Dim.Proviamo cheT `e una trasformazione lineare, ossia proviamo le due propriet`a:

1. T (αv) = αT (v);

2. T (v + w) = T (v) + T (w).

Dim. E’:

kT (αv) − αT (w)k² =hT (αv) − αT (w), T (αv) − αT (w)i

=kT (αv)k²− 2αhT (αv), T (w)i + α²hT (w), T (w)i

=kαvk²− 2αh(αv), wi + α²kwk² = 0 . Noto ci`o, proviamo l’additivit`a:

kT (v+w)−T (v)−T (w)k² =hT (v+w)−T (v)−T (w), T (v+w)−T (v)−T (w)i

=kv + wk²− hv + w, vi − hv + w, wi − hv, v + wi + kvk²+hv, wi

− hw, v + wi + hw, vi + kwk² = 0 . Questo risultato sottolinea ancora di pi`u l’importanza anche per le applicazioni alla fisica, delle matrici ortogonali: ogni isometria che lascia fissa l’origine `e una rotazione.

2.10. ENDOMORFISMI ORTOGONALI E ISOMETRIE 153 2.10.1 Le propriet`a spettrali delle trasformazioni ortogonali

Studiamo ora le propriet`a degli endomorfismi ortogonali di R<sup>n</sup>. Fissata in R<sup>n</sup> una base ortonormale, il teorema 112 asserisce che `e indifferente lavorare con l’endomorfismo o con la sua rappresentazione matriciale. Quindi lavoriamo in concreto con le matrici, che indichiamo con la notazione A.

Ricordiamo che gli autovalori di una matrice ortogonale possono essere reali o meno. Per esempio

A =





1 0 0 0 0 1 0 1 0



 ha autovalori 1, i e−i .

Dunque, quando si studiano gli autovalori e gli autovettori di una trasformazione, o matrice, ortogonale A in realt`a si studiano quella della sua complessificata che per maggior chiarezza anche in questo paragrafo conviene indicare col simbolo AC.

Proviamo:

Teorema 127 Sia A una trasformazione ortogonale da Rⁿ in s´e. La sua complessificata AC `e unitaria.

Dim. Va provato che (AC)^∗AC= I. Usiamo la formula per AC in (2.12) e quella per (AC)^∗ in (2.26). Si ha:

(AC)^∗AC(wR+iwI) = (AC)^∗(AwR+iAwI) = A^∗AwR+iA^∗AwI = wR+iwI. Proviamo ora:

Teorema 128 Sia A una trasformazione ortogonale di Rⁿ. Valgono queste propriet`a:

1. Gli autovalori di A (ossia, quelli di AC!) hanno tutti modulo uguale ad 1.

2. Sia

ACv = λv , ACw = µw , λ6= µ . Allora, v⊥ w .

Dim. Si ricordi che gli autovettori sono per definizione non nulli. La propriet`a 1 vale perch`e ||Av|| = ||v|| e quindi, se Av = λv, si ha

||v|| = ||Av|| = ||λv|| = |λ| · ||v|| . Essendo||v|| 6= 0 si trova |λ| = 1.

Proviamo 2. Dato che ogni autovalore ha norma 1, per esso vale λ = e^iθ e quindi λ = e¯ ^−iθ = 1

λ

trasformazione ortogonale conserva i prodotti interni:

hv, wi = hAv, Awi = λ¯µhv, wi e λ¯µ6= 1 perch´e λ 6= µ. Essendo λ¯µ 6= 1 segue hv, wi=0.

Una trasformazione ortogonale di Rⁿ pu`o avere meno di n autovalori. Questo `e per esempio il caso della trasformazione I che ha il solo autovalore 1 in ogni dimensione.

Ci`o noniostante:

Teorema 129 Sia A una trasformazione ortogonale di Rⁿ. Esiste una base ortonormale di Cⁿ i cui elementi sono autovalori di AC.

Dim. Siano v₁, . . . , v_k autovettori linearmente indipendenti di AC e supponiamo k < n. Basta provare l’esistenza di un ulteriore autovettore linearmente indipendente da essi.

Consideriamo il sosttospazio X_k di Cⁿ:

Xk= span{v1, . . . , vk} .

Lo spazio Xk`e invariante per AC e quindi X<sub>k</sub><sup>⊥</sup> `e invariante per A^∗_C: A^∗CX_k^⊥⊆ Xk^⊥.

Dunque, in X_k^⊥ esiste un autovettore x di A^∗_C A^∗Cx = αx . Si `e visto che A^∗_C= A⁻¹_C e quindi α6= 0 e inoltre

A⁻¹_C x = αx ossia ACx = 1 αx .

Dunque, x `e autovettore di AC linearmente indipendente dai vj perch´e ad essi ortogonale.

Combinando il Corollario 87 con la prima affermazione del Teorema 128 si trova:

Teorema 130 Ogni automorphismo ortogonale di Rⁿ con n dispari ha (almeno) un autovalore uguale a +1 oppure a−1.

Nel corso della dimostrazione del Teorema 129 abbiamo visto che X_k^⊥ `e invariante non solo per A<sup>∗</sup><sub>C</sub> ma anche per AC. Una propriet`a analoga vale anche in Rⁿ:

Teorema 131 Sia A una matrice n× n ortogonale (e quindi ad elementi reali!) e sia X un sottospazio di Rⁿ. Se AX ⊆ X allora si ha anche AX^⊥ ⊆ X^⊥ (l’ortogonale essendo calcolato nel prodotto interno di Rⁿ). Inoltre, valgono le uguaglianze

AX = X , AX^⊥= X^⊥.

2.10. ENDOMORFISMI ORTOGONALI E ISOMETRIE 155 Dim. La matrice ha elementi reali e quindi la sua aggiunta `e la trasposta A^T e si sa che

A^TX^⊥⊆ X^⊥. Dunque,

A^TX^⊥= A⁻¹X^⊥ ha dimensione minore o uguale a X^⊥.

Ma la dimensione non pu`o essere strettamente minore perch´e A<sup>−1</sup> `e invertibile. E

Ma la dimensione non pu`o essere strettamente minore perch´e A<sup>−1</sup> `e invertibile. E

Nel documento Alcune Nozioni di Geometria (pagine 142-0)