Ax = Pn
r=1αˆrxˆr = Pn
r=1βˆrvˆr ( [ˆαr] = ˆ
α1 αˆ2 · · · αˆn
[ ˆβr] = ˆβ1 βˆ2 · · · βˆn
4. Con C e ˆC indichiamo le matrici di passaggio tra le basi di Φn e quelle di Φm: [αr]T = C[βr]T , [ˆαr]T = ˆC[ ˆβr]T . (2.7) Vogliamo trovare un modo per passare da MAad MAnote le due matrici di passaggio. Ricordiamo
[ˆαr]T = MA[αr]T , [ ˆβr]T =MA[βr]T Usando (2.7) si ha:
[ˆαr]T = MA[αr]T = MAC[βr]T , [ ˆβr]T = ˆC−1[ˆαr]T = ˆC−1MAC[βr]T e quindi
MA= ˆC−1MAC .
Notiamo un caso particolarmente importante: sia m = n e sia xi = ˆxi vi= ˆvi; ossia, A `e un endomorfismo e vogliamo trovare come cambia la sua rappresentazione matriciale al cambiare della base nel medesimo spazio.
Notiamo che in questo caso C = ˆC e quindi MA= C−1MAC .
2.5 Matrici invertibili: costruzione della matrice inversa
Ricordiamo il Teorma di Binet, Teorema 7: se A e B sono due matrici n× n allora det(AB) = (det A)(det B) .
Si calcola immediatamente che det I = 1 e quindi se AB = I vale 1 = (det A)(det B) .
Dunque, il determinante di una matrice invertibile `e diverso da zero e il determinante della matrice inversa di A `e il reciproco del determinante di A:
det A−1= 1 det A. In realt`a vale anche l’affermazione inversa,
2.5. MATRICI INVERTIBILI: COSTRUZIONE DELLA MATRICE INVERSA115 Teorema 73 Una matrice quadrata `e invertibile se e solo se il suo determinante `e diverso da zero.
Mostriamo come si costruisce la matrice inversa di una matrice A con det A6= 0.
La costruzione `e suggerita dalle regole sui determinanti che abbiamo presentato, ma non provato, al paragrafo 1.1.4 e che qui ripetiamo:
1. Sia
A =
a1 1 a1 2 . . . a1 n a2 1 a2 2 . . . a2 n
...
an1 an2 . . . an n
.
Il determinante di A si definisce in modo iterativo come segue: si fissa
l’attenzione sugli elementi dei una riga, diciamo della riga s. All’elemento as j si associa il numero ds j che `e il determinante della matrice (n− 1) × (n − 1) che si ottiene da A cancellando la riga e la colonna che contengono as j, ossia la riga s e la colonna j. Per definizione,
det A = as1[(−1)s+1ds1] + as2[(−1)s+2ds2] + as3[(−1)s+3ds3]
+· · · + as j[(−1)s+jds j] +· · · + as n[(−1)s+nds n] . (2.8) In questo modo il calcolo del determinante di una matrice n× n `e ricondotto al calcolo di quello di una matrice (n− 1) × (n − 1). Iterando il procedimento si arriva al calcolo del determinante di matrici 2× 2, che si `e gi`a definito.
Il calcolo dei numeri ds i verr`a illustrato con maggiori dettagli nel corso della descrizione della matrice inversa.
2. Si pu`o provare che il valore trovato non dipende dalla riga prescelta e che al medesimo valore si giunge lavorando, in modo analogo, sugli elementi di una colonna;
3. Scambiando due righe il determinante cambia segno;
4. scambiando due colonne il determinante cambia segno;
5. una matrice con una riga oppure una colonna nulla ha determinante nullo;
6. aggiungendo ad una riga i multipli degli elementi di un’altra riga, il determinante non cambia. E quindi se due righe sono proporzionali il determinante `e nullo;
7. aggiungendo ad una colonna i multipli degli elementi di un’altra colonna, il determinante non cambia. E quindi se due colonne sono proporzionali il determinante `e nullo.
Illustriamo la regola per la costruzione di A−1 quando
Fissiamo l’attenzione sul generico elemento ai j e consideriamo la matrice
(n− 1) × (n − 1) che si ottiene da A cancellando la riga i e la colonna j. Indicando col simbolo “•” gli elementi soppressi, queste matrici sono:
1. se i = 1 e j = 1 colonna i cui elementi sono indicati con “•” si conservano per memoria, ma in realt`a “non esistono”.
Indichiamo con A1 1 il determinante di questa matrice.
2. Se i = 1 e j = 2 la matrice che si considera `e
Indichiamo con A1 2 il prodotto di (−1)1+2 per il determinante di questa matrice (ancora (n− 1) × (n − 1): gli elementi sostituiti da “•” non esistono).
2.5. MATRICI INVERTIBILI: COSTRUZIONE DELLA MATRICE INVERSA117
Indichiamo con Ai ,j il prodotto di−1(i+j) per il determinante di questa matrice.
Confrontando con (2.8) si vede che
Ai ,j = (−1)i+jdi jsono i numeri che compaiono nella definizione del determinante . 4. Infine, se i = n e j = n si considera la matrice (n− 1) × (n − 1) data da:
Il determinante di questa matrice si indica col simbolo An n.
Il numero Ai j si chiama il complemento algebrico dell’elemento ai j. Ora costruiamo la matrice n× n dei complementi algebrici
Consideriamo quindi la trasposta di questa matrice e calcoliamo il suo prodotto per A: Ora usiamo le seguenti propriet`a del prodotto delle due matrici:
1. L’elemento in posizione (1 1) della matrice prodotto `e
a1 1A1 1+ a1,2A1 2+· · · + a1 jA1 j+· · · a1 nA1 n = det A ,
si veda la (2.8). La matrice dei complementi algebrici `e stata trasposta proprio per ottenere questo risultato.
2. Analogamente si vede che gi elementi diagonali della matrice prodotto sono tutti uguali a det A.
3. Consideriamo ora l’elemento in posizione (i j) della matrice prodotto, con i 6= j.
Per calcolarlo, osserviamo quanto segue:
(a) il complemento algebrico degli elementi di una riga dipende solo dalle altre righe: non muta cambiando gli elementi della riga in questione.
(b) ricordiamo che se ad una riga di A si somma una qualsiasi altre riga, il determinante non cambia. Per esempio, sommiamo alla prima riga la seconda riga. Questo non cambia n´e il determinante n´e i complementi algebrici e quindi
det A = a1 1A1 1+ a1 2A1 2+· · · + a1 jA1 j+· · · a1 nA1 n=
(a1 1+a2 1)A1 1+(a1 2+a2 2)A1 2+· · ·+(a1 j+a2 j)A1 j+· · · (a1 n+a2 n)A1 n
2.5. MATRICI INVERTIBILI: COSTRUZIONE DELLA MATRICE INVERSA119
ossia
a2 1A1 1+ a2 2A1 2+· · · + a2 jA1 j+· · · + a2 nA1 n = 0 . Questa osservazione si pu`o ripetere per ogni coppia di righe e quindi:
Teorema 74 la somma dei prodotto degli elementi di una riga per i complementi algebrici degli elementi corrispondenti ma di una riga diversa vale 0.
Dunque tutti gli elementi ci j della matrice prodotto, con i6= j, sono nulli.
Si trova cos`ı che la matrice prodotto `e la matrice (det A)I.
Le propriet`a appena dette mostrano che :
A−1= 1
Ci`o mostra in particolare che se det A6= 0 allora la matrice A−1 pu`o costruirsi.
In particolare:
Corollario 75 Sia {xi} un insieme di n vettori di Φn,
xi = ai1e1+· + ai nen ({e} base canonica di Φn) . L’insieme {xi} `e una base di Φn se e solo se det[ai j]6= 0.
Osservazione 76 La costruzione della matrice inversa `e alquanto complessa e, nel caso di matrici n× n con n molto grande, come si incontrano spesso in pratica, `e anche assai delicata numericamente. Noi non vogliamo trattare questo problema ma si capisce facilmente che se alcuni elementi sono dell’ordine di 104 e alcuni dell’ordine di 10−4, questi ultimi verranno trascurati. E per`o potrebbe essere che il determinante sia diverso da zero proprio grazie a questo elementi, come nel caso della matrice
10−3 104 0 10−5
.
C’`e un caso per`o in cui il calcolo della matrice inversa `e immediato. E’ il caso delle matrici ortogonali. Infatti l’inversa di una matrice ortogonale coincide con la trasposta.