1.15 Superfici e curve generiche
1.15.1 Tangenti e piani tangenti
γ :
x = x(t) y = y(t) z = z(t)
ossia v = v(t) .
Se le tre funzioni sono derivabili, la prima formula degli incrementi finiti applicata a ciascuna coordinata permette di scrivere
v = v(t) = v(t0) + (t− t0)v′(t0) + o(t− t0) .
Si definisce retta tangente a γ nel suo punto v(t0) quella di equazione parametrica v = v(t0) + (t− t0)v′(t0) .
Per`o, perch´e questa equazione sia effettivamente quella di una retta dovremo supporre v′(t0)6= 0. Dunque, alla funzione v(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k che rappresenta una curva in forma parametrica imponiamo le seguenti condizioni:
1. le tra funzioni f , g ed h sono continue e derivabili salvo un numero finito di punti;
2. le funzioni f′(t), g′(t) ed h′(t) possono annullarsi contemporaneamente al pi`u in un numero finito di punti.
I punti in cui le derivate esistono ed una almeno `e non nulla sono i punti regolari.
Gli altri sono punti singolari. Per definizione, i punti singolari sono in numero finito.
Prima di considerare le curve piane in forma cartesiana, introduciamo la definizione di derivata parziale.
Sia f (x, y) una funzione di due variabili. Si fissi un arbitrario valore di y e si consideri la funzione x7→ f(x, y). Questa `e una funzione di una sola variabile. Se `e derivabile, la sua derivata si chiama la derivata parziale di f rispetto ad x e si indica con uno dei due simboli
∂f (x, y)
∂x , fx(x, y) , f,1(x, y)
ove,1 (si noti la virgola, che non va omessa!) indica che si sta derivando rispetto alla prima variabile16
Si noti che la derivata parziale dipende da ambedue le variabili. Se si vuol precisare che la derivata si calcola nel punto (x0, y0) si scrive fx(x0, y0).
In modo analogo si definisce (e si indica) la derivata rispetto alla seconda vartiabile y ed `e ovvio come estendere la definizione al caso di pi`u variabili.
Nel caso di una funzione di una variabile, l’esistenza della derivata in un punto implica la continuit`a della funzione in tale punto. L’asserto analogo `e falso per le funzioni di pi`u variabili: l’esistenza di fx(x0, y0) e di fy(x0, y0) non implica la continuit`a di f in (x0, y0). E’ per`o vero il risultato seguente, che verr`a provato nel successivo corso di Analisi Matematica:
Teorema 43 Se le derivate parziali fx(x, y) ed fy(x, y) esistono e sono continue17 in ciascun punto di un disco del piano, la funzione f (x, y) `e ivi continua ; se le derivate parziali fx(x, y, z), fy(x, y, z) ed fz(x, y, z) esistono e sono continue in ciascun punto di una palla nello spazio, la funzione f (x, y) `e ivi continua.
Per dire che una funzione di pi`u variabili ha tutte le derivate parziali continue su una regione si diche che `e ivi di classe C1.
Consideriamo ora una curva γ piana e data in forma cartesiana γ : f (x, y) = 0 .
Alla funzione f (x, y) imponiamo le seguenti condizioni:
16questa notazione `e particolarmente utile quando la derivata si deve integrare e quando si cambiano le variabili di integrazione.
17la continuit`a di una funzione di pi`u variabili `e un’estensione ovvia della definizione nota per funzioni di una variabile: f (x, y) `e continua in (x0, y0) quando per ogni ǫ > 0 esiste δ > 0 tale che sep(x − x0)2+ (y − y0)2< δallora |f (x, y) − f (x0, y0)| < ǫ.
1.15. SUPERFICI E CURVE GENERICHE 73 1. ambedue le derivate parziali di f (x, y) siano continue salvo un numero finito di
punti;
2. Ancora salvo un numero finito di punti, sia diversa da zero almeno una delle due derivate parziali.
I punti in cui le derivate parziali o non esistono o non sono continue, se
appartengono alla curva sono i punti singolari. Gli altri sono i punti regolari.
Esclusi i punti singolari, si prova (nel successivo corso di Analisi Matematica) che esiste la tangente alla curva nel punto P (x0, y0) e questa ha equazione cartesiana
fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y− y0) = 0 . Per esempio, sia
f (x, y) = ax2+ by2= r2, r > 0 . Si ha
fx(x, y) = 2ax , fy(x, y) = 2by .
e le due derivate parziali si annullano contemporaneamente solo in O. Il punto O non appartiene alla curva, che `e una circonferenza centrata in O e quindi non ne `e un punto singolare.
La tangente in P (x0, y0) `e
ax0(x− x0) + by0(y− y0) = 0 ed esiste in ogni punto.
Consideriamo invece l’equazione cartesiana xy = 0 Quest’equazione rappresenta la curva costituita dai due assi coordinati. Le due derivate si annullano in O, che `e un punto della curva, e quindi ne `e un punto singolare.
Sia ora Σ una superficie,
Σ :
x = x(r, s) y = y(r, s) z = z(r, s)
ossia v = v(r, s) .
Sia γ una curva (piana) appartenente al dominio in cui varia la coppia (r, s),
γ : r = r(t)
s = s(t) . L’immagine della curva piana γ sulla superficie `e
γ1 :
x = x(t) = x(r(t), s(t)) y = y(t) = y(r(t), s(t)) z = z(t) = z(r(t), s(t)) .
Fissiamo un punto della superficie
P0 = P0(x0, y0, z0) , x0 = x(r(t0), s(t0)) , y0= y(r(t0), s(t0)) , z0 = y(r(t0), s(t0)) . Sotto opportune ipotesi di regolarit`a vale lo sviluppo di Taylor18
x(t) = x(t0) +
xr(r(t0), s(t0))r′(t0) + xs(r(t0), s(t0))s′(t0)
(t− t0) + o(t− t0) y(t) = y(t0) +
yr(r(t0), s(t0))r′(t0) + ys(r(t0), s(t0))s′(t0)
(t− t0) + o(t− t0) z(t) = z(t0) +
zr(r(t0), s(t0))r′(t0) + zs(r(t0), s(t0))s′(t0)
(t− t0) + o(t− t0) . La tangente a γ1 in P0 `e quindi la retta di equazione parametrica
x = x(r(t0), s(t0)) +
xr(r(t0), s(t0))r′(t0) + xs(r(t0), s(t0))s′(t0)
(t− t0) y = y(r(t0), s(t0)) +
yr(r(t0), s(t0))r′(t0) + ys(r(t0), s(t0))s′(t0)
(t− t0) z = z(r(t0), s(t0)) +
zr(r(t0), s(t0))r′(t0) + zs(r(t0), s(t0))s′(t0)
(t− t0) . Fissato quindi il punto P0 sulla superficie, si trova una famiglia di rette tangenti, una per ciascuna curva per P0. Queste rette appartengono tutte al piano di equazione parametrica
x = x(r(t0, s(t0)) + [xr(r(t0), s(t0))u + xs(r(t0), s(t0))v]
y = y(r(t0), s(t0)) + [yr(r(t0), s(t0))u + ys(r(t0), s(t0))v]
z = z(r(t0), s(t0)) + [zr(r(t0), s(t0))u + zs(r(t0), s(t0))v] .
(1.45)
Il piano (1.45) si chiama piano tangente alla superficie. Per`o attenzione: la (1.45) potrebbe non rappresentare un piano: se tutte le derivate parziali sono nulle il piano collassa in un punto; e se i due vettori xri + yrj + zrk e xsi + ysj + zsk sono colineari il piano collassa in una retta. Le condizioni che imponiamo escludono queste
possibilit`a. Richiediamo:
1. le funzioni x(r, s), y(r, s), z(r, s) sono definite su una regione e sono ivi di classe C1;
2. si ha
n(r, s) = (xr(r, s)i + yr(r, s)j + zr(r, s)k)∧ (xs(r, s)i + ys(r, s)j + zs(r, s)k)6= 0.
Il vettore n(r, s) `e per definizione la normale alla superficie nel punto P (x(r, s), y(r, s), z(r, s)).
18Lo sviluppo di Taylor scritto vale quando tutte le derivate parziali sono continue. Si noti che la formula di Taylor scritta `e l’analogo della prima formula degli incrementi finiti per funzioni di una sola variabile. Per funzioni di una sola variabile essa vale se esiste la derivata nel punto. Invece, per funzioni di due o pi`u variabili, la formula vale se tutte le derivate parziali esistono e sono continue in ogni punto di un disco di centro(r(t0), s(t0)).
1.15. SUPERFICI E CURVE GENERICHE 75 In pratica pu`o accadere che queste condizioni non valgano in punti isolati o lungo un numero finito di curve, che sono luoghi di punti singolari della
superficie.indexpunto!singolare!di una superficie parametrica Se la superficie `e data in forma cartesiana,
f (x, y, z) = 0 ,
vale un risultato analogo a quello visto per le curve: se P (x0, y0, z0) `e un punto della superficie nel quale almeno una delle derivate parziali `e non nulla, il piano tangente in P (x0, y0, z0) `e
fx(x0, y0, z0)(x− x0) + fy(x0, y0, z0)(y− y0) + fz(x0, y0, z0)(z− z0) = 0 (1.46) e la normale alla superficie nel punto P (x0, y0, z0) `e
n(x0, y0, z0) = fx(x0, y0, z0)i + fy(x0, y0, z0)j + fz(x0, y0, z0)k . Per le superfici in forma cartesiana si assume:
1. la funzione f (x, y, z) `e di classe C1;
2. almeno una delle derivate parziali `e non nulla.
In pratica pu`o accadere che queste condizioni non valgano in punti isolati o lungo un numero finito di curve che sono luoghi di punti singolari della superficie. Gli altri sono i punti regolari.
Notiamo infine che una funzione f (x, y) delle tre variabili (x, y, z) definisce una superficie con questa propriet`a: se f (x0, y0) = 0 allora la retta verticale (x0, y0, z) giace sulla superficie. Superfici con questa propriet`a si chiamano cilindri verticali.
Consideriamo il cilindro di equazione cartesiana xy = 0 .
Questo `e il diedro costituito dai due piani coordinati per l’asse z. L’asse z `e il luogo dei suoi punti singolari.