Rappresentazioni di trasformazioni lineari

con n₁ e n₂ vettori fissati, allora A⁻¹d =



x|  hx, n1i hx, n2i



= d



={x | hx, n1i = d1, hx, n2i = d2}

`e una retta in posizione generica, si veda il paragrafo 1.11.

2.3.1 Rappresentazioni di trasformazioni lineari

Indichiamo con A una trasformazione lineare da Φⁿin Φ^m. La trasformazione A si assegna dando un modo per individuare l’elemento y che corrisponde ad un generico elemento x di Φⁿ. Questo pu`o farsi in questo modo: fissiamo una base {x1, . . . , xn} di Φⁿ e una base{ˆx1, . . . , ˆxm} di Φ^m. Va sottolinearo che le basi sono ordinate.

Notiamo prima di tutto che

Lemma 67 La trasformazione lineare A `e identificata dai vettori y_i= Ax_i nei quali vengono trasformati gli elementi xi della base di Φⁿ.

Dim.Si rappresenti un generico elemento x∈ Φⁿ come x = α₁x₁+ α₂x₂+· · · + αⁿxn. Allora,

Ax = A(α₁x₁+ α₂x₂+· · · + αⁿxn) = α₁(Ax₁) + α₂(Ax₂) +· · · + αⁿ(Axn) . Ciascuno degli elementi Ax_i ha la sua rappresentazione rispetto alla base{ˆxi} scelta in Φ^m:

Ax_i = a_{1 i}xˆ₁+ a_{2 i}xˆ₂+· · · + am ixˆ_m (2.5) (si noti l’ordine in cui si susseguoni gli indici: abbiamo scritto a_{1 i}, a_{2 i},. . . , e non ai1, a_i2,. . . E si somma rispetto al primo indice).

2.3. TRASFORMAZIONI LINEARI 109 Ricapitoliamo:

1. assegnata la base ordinata{x1, . . . , xn} in Φⁿ, un elemento x∈ Φⁿ`e

identificato dalla sequenza ordinata delle sue componenti α_i, 1≤ i ≤ n rispetto a tale base;

2. assegnata la base ordinata{ˆx1, . . . , ˆxm} in Φ^m, un elemento di Φ^m `e

identificato dalla sequenza ordinata delle sue componenti ˆα_j, 1≤ j ≤ m rispetto a tale base;

3. La trasformazione lineare A `e rappresentata dalle sequenze ordinate di numeri {a1 i, a_{2 i}, . . . , a_{m i}}, sequenze che a loro volta vanno ordinate al crescere dell’indice i.

Si noti: per ordinare gli elementi di un insieme {a^{i j}} di numeri prima rispetto ad un indice e poi rispetto all’altro basta farne una matrice.

4. una volta fatte queste osservazioni si capisce che per identificare una

trasformazione A `e sufficiente dare un modo per calcolare le componenti di Ax nella base di Φ<sup>m</sup> a partire dalle componenti di x rispetto alla assegnata base di Φ<sup>n</sup>; e il calcolo si far`a assumendo noto A, ossia, grazie al Lemma 67, assumendo noti i numeri ai j opportunamente disposti in una matrice.

Osservazione 68 Notiamo che nel modo che abbiamo descritto per rappresentare la trasformazione A, il fatto che lo spazio di partenza sia H = Φⁿ e quello di arrivo sia K = Φ^m non ha nessun ruolo: gli stessi argomenti si applicano, senza nessun

cambiamento, a trasformazioni lineari tra coppie di spazi vettoriali di dimensione finita indipendentemente da chi siano i loro elementi. Un esempio importante anche per le applicazioni alla fisica ed all’ingegneria si ha quando H `e lo spazio vettoriale dei polinomi di grado al pi`u n− 1 (che ha dimensione n) sull’intervallo [0, π] mentre K `e lo spazio lineare una cui base `e data dalle funzioni {sin kx}1≤k≤m ancora con x∈ (0, π).

Procediamo ora a rappresentare la trasformazione A.

Dato un generico vettore x∈ Φⁿ,

Vogliamo calcolare i numeri ˆα_j a partire dai numeri α_i e dai coefficienti a_{j i} in (2.5).

Si procede come segue: si scrive Ax = A

segue da qui che

In questo senso, l’azione di A si rappresenta mediante la matrice

MA=

1. la matrice MA`e stata costruita a partire dalle assegnate basi ordinate {xi}, {ˆxⁱ}.

2. la colonna i–ma di MA `e la colonna delle componenti di yi= Axi rispetto agli elementi della base {ˆxi}.

3. sia A una trasformazione lineare da Φⁿ in Φ^m e sia B una trasformazione lineare da Φ^m in Φ^k. Fissiamo le basi nei tre spazi, e le due matrici MA ed MB che rappresentano le trasformazioni A e B. La matrice MBA che rappresenta la trasformazione composta BA, che `e ancora lineare, `e la matrice MBMA.

4. la trasformazione lineare A `e iniettiva se e solo se `e iniettiva la sua matrice; ossia se e solo se M_A trasforma [ α₁ α₂ . . . α_n ]^T in [ 0 0 . . . 0 ]^T

solamente quando ogni αi `e nullo.

5. in particolare, la trasformazione lineare A `e invertibile, ossia iniettiva e suriettiva, se esiste una trasformazione B tale che ABx = BAx = x per ogni x. e quindi se e solo se esiste una matrice M_B tale che

M_BM_A= M_AM_B= I

ove I `e la matrice identit`a e il prodotto tra matrici si esegue righe per colonne.

Dunque, M_A⁻¹ = (MA)⁻¹.

6. una trasformazione lineare a valori nel campo scalare, ossia un funzionale, `e rappresentata da una matrice con una riga ed n colonne.

Conviene sottolineare esplicitamente la propriet`a 5:

Teorema 69 La trasformazione A da Φⁿ in s´e `e invertibile se e solo se `e invertibile la sua rappresentazione matriciale M_A rispetto ad una qualsiasi base.

2.3. TRASFORMAZIONI LINEARI 111 Osservazione 70 In pratica non si usa il simbolo MA, “matrice che corrisponde alla trasformazione lineare A”. Invece di scrivere MA si scrive direttamente A indicando con lo stesso simbolo sia la trasformazione che la sua matrice. E’ per`o importante capire bene che si tratta di oggetti diversi: A, come trasformazione, si specifica dicendo quale elemento y corrisponde ad un qualsiasi elemento x. A = MAraggiunge lo stesso scopo scelte le basi ordinate negli spazi di partenza e d’arrivo. Cambiando anche solo una delle basi, senza cambiare la trasformazione A, la rappresentazione matriciale MA cambia. Mostriamo questo studiando un esempio.

Esempio 71 Ricordiamo che gli elementi di R² sono le coppie ordinate (a, b) di numeri reali. Consideriamo la trasformazione lineare da R² 7→ R definita come segue:

A(a, b) = a .

Cerchiamone la rappresentazione matriciale rispetto ad assegnate basi di R² e di R.

Consideriamo prima di tutto la rappresentazione rispetto alla base canonica{e1e₂} di R² e rispetto alla base canonica ˜e₁ di R. Si ha

e1 = (1, 0) , e2 = (0, 1) , ˜e1 = 1 . Dunque si ha

x = (a, b) = ae1+ be2, Ax = A(a, b) = a = a˜e1. . Si vede da qui che rispetto alle due basi canoniche la matrice MA`e

M_A=

1 0  . Scegliamo ora in R² la base{x1, x₂} con

x₁= e₁, x₂ = e₁+ e₂. Si ha

x = αx₁+ βx₂ = αe₁+ β(e₁+ e₂) = (α + β, β) e

A(α + β, β) = α + β = (α + β)˜e₁ cos´ı che MA=

1 1  : la matrice della trasformazione cambia cambiando la base nello spazio di partenza.

Essa cambia anche cambiando la base nello spazio di arrivo. Sia infatti R² riferito alla base canonica ed R riferito alla base ˆx₁ = 2ˆe₁. Si ha:

A(αe₁+ βe₂) = α = (α/2)ˆx₁ cos`ı che M_A=

1/2 0  .

Una conseguenza importante dell’Esempio 71 `e che non ha senso dire che una trasformazione lineare A `e rappresentata da una certa matrice se non si sono prima fissate basi ordinate nello spazio di partenza e nello spazio di arrivo. Ci`o nonostante, la trasformazione identit`a, quella che ad ogni x fa corrispondere s´e stesso, `e rappresentata dalla matrice identit`a rispetto ad ogni base. Analoga-mente, la trasformazione che ad ogni x fa corrispondere 0 `e rappresentata dalla matrice nulla in ogni base.