Gli iperboloidi

Studiamo ora le superfici descritte da 2) x²

p² +y²

q² − zr²² =−1 , 3) x² p² +y²

q² −z² r² = 1 .

Queste superfici sono ancora simmetriche rispetto ad O (che si dice il centro dell’iperboloide) ed anche rispetto ai tre piani coordinati. Le superfici sono per`o ora illimitate perch`e ambedue le equazioni hanno soluzione per z scelto comunque grande.

Anzi, si vede immediatamente una differenza importante tra i due casi: la 2) non ha soluzioni se |z| < r mentre la 3) ha soluzione per ogni valore di z. Dunque la 2) non ha punti nella striscia

−r < z < r , ed x, y qualsiasi.

Per intuire la forma delle superfici, sezionamole parallelamente agli assi coordinati. Si osservi per`o che a causa del segno− in fronte a z², le sezioni parallele al piano xy saranno diverse dalle sezioni parallele agli altri piani coordinati.

L’iperboloide a due falde

Studiamo la superficie 2). Piani paralleli ad xy che la intersecano hanno |z| ≥ r e, per simmetria, basta studiare il caso z > 0. Per z = r l’intersezione si riduce al solo punto

(0, 0, r). Per z = z0 > r si trova l’ellisse z = z₀, x²

p² +y²

q² =−1 + z₀² r² .

Queste ellissi diventano via via pi`u grandi al crescere di z. La parte della superficie in z > 0 si costruisce quindi sovrapponendo ellissi via via pi`u grandi. La parte della superficie in z < 0 `e ottenuta dalla precedente per simmetria rispetto al piano xy.

Dunque, la superficie ha due falde, si veda la Fig. 1.15.

Figura 1.15: Iperboloide a due falde

La superficie si chiama un iperboloide perch`e le sezioni parallele ad yz e quelle parallele a xz sono iperboli. Si ha per esempio

x = x₀, y² q² − z²

r² =−1 −x²₀ p² .

Pi`u precisamente, questa superficie si chiama iperboloide a due falde.

Cono asintotico Consideriamo l’iperboloide a due falde, per esempio x²

p² +y² q² −z²

r² = 0 ed il cono

x² p² + y²

q² −z² r² = 0 .

1.16. ELLISSOIDI ED IPERBOLOIDI IN FORMA CANONICA 87 Il cono si chiama cono asintotico per questa ragione: tagliamo sia il cono che l’iperboloide con un piano per l’asse z, per esempio col piano

y = mx .

Le curve intersezione sono rispettivamente un’iperbole e due rette, y = mx x²h

1 p² +^m_q2²

i− ^z_r²² =−1 y = mx x²h

1 p² +^m_q2²

i−^z_r²² = 0

e si vede immediatamente che le due rette sono gli asintoti dell’iperbole. Ci`o spiega il nome attribuito a tale cono.

Si veda la Fig. 1.16.

Figura 1.16: Il cono asintotico ad un iperboloide

L’iperboloide ad una falda

Studiamo ora la superficie 3) Come si `e detto anche questa superficie `e illimitata ma nessuna striscia la divide in due parti separate. Sezionando parallelamente ad xy si trovano le ellissi

z = z₀, x² p² +y²

q² = 1 + z² r².

Nessuna di queste degenera in un punto. Tra queste ellissi quella che ha semiassi minori si trova per z = 0 (e si dice ellisse di gola.) Le ellissi crescono

all’allontanarsi della sezione dal piano xy. Dunque anche questa superficie si costruisce giustapponendo ellissi, come in Fig. reffiggeo4IPERB1Faldadue viste. In questa figura

`e indicato il solo asse delle quote e l’iperboloide `e visto da due punti diversi.

Figura 1.17: Il medesimo iperboloide ad una falda visto da due ounti diversi (`e indicato il solo asse delle quote)

La superficie si chiama ancora “iperboloide” perch´e sezionando parallelamente ai piani xz ed yz si trovano iperboli, per esempio

x− x0, y² q² −z²

r² = 1−x²₀ p² . Pi`u precisamente la chiameremo iperboloide ad una falda.

E’ importante sapere che l’iperboloide ad una falda `e una superficie rigata; e questa propriet`a viene comunemente usata per costruire torri in cemento armato, appunto a forma di iperboloide ad una falda (e, usualmente, di rotazione intorno all’asse verticale). Per vederlo, si scriva l’equazione 3) nella forma equivalente

x²

Consideriamo ora la famiglia di rette ottenuta come intersezione dei due piani seguenti. I numeri α e β sono parametri reali qualsiasi purch´e non ambedue nulli.

α x

Se un punto P (x, y, z) giace su una di queste rette, esso giace anche sull’iperboloide ad una falda, come si vede moltiplicando membro a membro; anzi, per ciascun punto

1.16. ELLISSOIDI ED IPERBOLOIDI IN FORMA CANONICA 89 P (x0, y0, z0) dell’iperboloide passa una (soltanto) delle rette della famiglia (1.48).

Infatti, i numeri x₀, y₀, z₀ verifichino

Mostriamo che esistono numeri α e β, non ambedue nulli, per cui α x0 questo modo si verifica la prima uguaglianza. La seconda `e automaticamente

soddisfatta perch`e, da (1.49), segue che (x₀/p₀)− (z0/r₀) = 0.

In modo analogo si studiano le altre possibilit`a.

Si osservi una conseguenza di ci`o che abbiamo provato:

Teorema 46 Le rette dell’insieme (1.48) sono due a due sghembe.

Dim.Scriviamo le rette in forma parametrica:



Ciscuna retta `e individuata dal parametro m.

Fissiamo un valore per m e consideriamo una seconda retta, individuata dal valore k del parametro: Se i parametri m e k sono tali che le due rette sono parallele allora

v =

devono essere proporzionali ed avendo uguale la seconda componente, devono essere uguali. Ci`o pu`o aversi solo se m = k. In tal caso per`o anche i termini costanti delle due equazioni (1.50) e (1.51) sono uguali e le due rette coincidono.

Dunque, rette diverse non sono parallele.

Proviamo che le due rette (1.50) e (1.51) con m6= k non si intersecano. Infatti, un eventuale punto comune deve verificare



Dunque, t = τ e, sommando e sottraendo la prima e la terza,

 t _m¹ − ¹_k

= _k¹ −_m¹ =⇒ t =−1 t(m− k) = m − k =⇒ t = 1 perch´e m6= k.

Dunque, le due rette non si incontrano e non essendo parallele sono sghembe.

Sull’iperboloide ad una falda esiste anche una seconda famiglia di rette, con propriet`a analoghe alle precedenti, che si ottiene fattorizzando in modo diverso l’equazione dell’iperboloide ad una falda, e che `e data da

γ x

I numeri γ e δ sono ancora parametri qualsiasi, purch´e non ambedue nulli.

E’ ancora vero che da un qualsiasi punto dell’iperboloide esce una e una sola retta della famiglia (1.52) e quindi una retta della prima famiglia incontra sempre una retta della seconda famiglia.

Per concludere, notiamo che le famiglie di rette sono identificate da “numerosi”

parametri (i parametri α, β, γ, δ ma anche p, q, r, che per`o identificano

effettivamente sistemi diversi di rette se non sono proporzionali). Questo ha una conseguenza: fissata un’ellisse di gola si trovano infiniti sistemi di rette che generano un iperboloide ad una falda che ha la data ellisse di gola. Dunque una struttura costituita solamente dalle rette che si trovano su un iperboloide ad una falda “non sta ferma”. La struttura diviene stabile se vengono saldati i punti di intersezione delle rette o, pi`u semplicemente, se queste vengono fissate ad un secondo ellissoide che si trova sulla superficie.

Diciamo infine che le due famiglie di rette che giacciono sull’iperboloide si chiamano schiera di rette.