sono uniche. Per esempio,
x2+ 2x + y2+ 2y = r2− x20− y02
oppure
(x− x0)2+ (y− y0)23
= 0 sono diverse equazioni cartesiane della circonferenza; mentre
x = x0+ r cos 2θ , y = y0+ r sin 2θ , θ∈ [0, 2π]
`e una diversa equazione parametrica.
La distanza pu`o definirsi e calcolarsi anche se il sistema di riferimento cartesiano non `e ortogonale. Per`o le formule sono pi`u complicate. Per questa ragione da ora in poi assumeremo di lavorare in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale.
1.5 Prodotto scalare ed angoli
Ricordiamo che da ora in poi usiamo sistemi di riferimento cartesiani ortogonali.
Siano v e w due vettori REALI,
v = v1i + v2j + v3k , w = w1i + w2j + w3k . Come prodotto scalare dei due vettori si intende il numero
v· w = v1w1+ v2w2+ v3w3. Si noti che v· v interviene nella definizione della norma:
kvk =√ v· v .
Ci si pu`o quindi aspettare che v· w abbia un significato geometrico anche se v 6= w.
Per vedere ci`o consideriamo il caso in cui i vettori appartengono al piano x, y e sono versori: kwk = 1 e kvk = 1. Si pu`o quindi scrivere
v = (cos θ)i + (sin θ)j , w = (cos φ)i + (sin φ)j .
Precisiamo il significato geometrico degli angoli. Consideriamo il vettore v. L’angolo θ
`e l’angolo tra la semiretta positiva delle ascisse e il segmentoi che congiunge O col punto P secondo estremo del vettore v. Analoga interpretazione vale per φ: `e l’angolo tra la semiretta positiva delle ascisse e il segmento che congiunge O con Q, secondo estremo del vettore w. E quindi θ− φ `e l’angolo tra i due segmenti. Lo chiameremo
brevemente l’angolo tra i due vettori. Si noti che l’angolo non dipende dalla norma del vettore: v ed αv con α > 0 fanno lo stesso angolo con la semiretta positiva delle ascisse; e quindi l’angolo tra αv e αw non dipende da α > 0.
Calcolando v· w si trova
v· w = cos θ cos φ + sin θ sin φ = cos(θ − φ) .
Il prodotto scalare di due versori `e uguale al coseno dell’angolo tra essi compreso.
Il caso di generici vettori del piano xy si riconduce facilmente al precedente, notando che
v =kvk a
kvki + b kvkj
, w =kwk a1
kwki + b1 kwkj
e i vettori tra parentesi hanno modulo 1. Dunque, il prodotto scalare di due vettori `e uguale al prodotto delle norme dei vettori a sua volta moltiplicato per il coseno dell’angolo tra essi compreso:
v· w = kvk kwk cos ω ω angolo compreso tra i due vettori . (1.16) Osservazione 19 Notiamo che i vettori individuano una direzione e un verso. Le due direzioni individuano due rette e due angoli tra esse, uno acuto e uno ottuso. I vettori individuano, oltre alle direzioni, anche il verso su di esse. Ossia identificano due semirette. Il coseno che interviene nella definizione di prodotto scalare `e positivo se le due semirette individuano un angolo acuto e negativo se individuano un angolo ottuso.
E’ nullo se le due semirette sono ortogonali.
Ne viene in particolare che il coseno dell’angolo θ compreso tra due vettori v e w si calcola facilmente mediante la formula
cos θ = v· w
kvk kwk dove si richiede 0≤ θ ≤ π . (1.17) Se l’angolo `e nullo, ossia se v· w = 0, i due vettori si dicono ortogonali e si scrive v⊥ w.
Osservazione 20 Se interessa l’angolo tra le direzioni dei due vettori allora si considera
cos θ = |v · w|
kvk kwk dove si richiede 0≤ θ ≤ π/2 . (1.18) Queste considerazioni sono state svolte per vettori del piano x, y ma le conclusioni valgono4 per generici vettori di R3. In particolare, la formula (1.17) vale anche in R3.
4perch´e il prodotto scalare di due vettori `e una propriet`a dei vettori del piano per l’origine e per i secondi estremi dei vettori.
1.5. PRODOTTO SCALARE ED ANGOLI 29
Le propriet`a della norma e del prodotto scalare
Ripetiamo e completiamo le propriet`a della norma viste al paragrafo 1.4:
kvk ≥ 0
kvk = 0 ⇐⇒ v = 0 kαvk = |α| kvk
kv + wk ≤ kvk + kwk (disuguaglianza triangolare) .
La disuguaglianza trangolare si prova facilmente notando prima di tutto che la (1.16) mostra che
|v · w| ≤ kvk kwk (disuguaglianza di Schwarz)
e quindi che
kv+wk2 = (v+w)·(v+w) = kvk2+kwk2+2v·w ≤ kvk2+kwk2+2kvkkwk = (kvk + kwk)2 .
Si noti, da questo calcolo:
kv + wk2 =kvk2+kwk2 ⇐⇒ v · w = 0 ossia se e solo se v ⊥ w .
Questa uguaglianza `e niente altro che il teorema di Pitagora. Vale inoltre la seguente uguaglianza nota come identit`a del parallelogramma:
kv + wk2+kv − wk2= 2kvk2+ 2kwk2. Questa identit`a si trova sommando
kv + wk2 = (v + w)· (v + w) con kv − wk2 = (v− w) · (v − w) .
Interpretando come la somma di vettori come somma con la regola del parallelogramma si trova immediatamente l’interpretazione dell regola del
parallelogramma: la somma dei quadrati costruiti sulle diagonali di un parallelogramma
`e uguale alla somma dei quadrati costruiti sui quattro lati, si veda la Fig. 1.6.
Indichiamo sia i punti che i vettori liberi di Rn mediante le matrici 1× n delle coordinate del punto, rispettivamente (coefficienti delle) componenti del vettore.
Per vettori
v = (v1, v2, . . . vn)T, w = (w1, w2, . . . wn)T di Rn si definisce ancora
v· w = v1w1+ v2w2+· · · + vnwn.
In generale, si definisce l’angolo tra due vettori di Rn mediante una formula analoga alla (1.17):
cos θ = v· w
kvk kwk, 0≤ θ ≤ π . (1.19)
Questa formula identifica in modo unico l’angolo θ∈ [0, π).
Nello studio della geometria analitica generalmente si lavora con vettori reali.
La definizione di prodotto scalare per`o si estende anche a vettori complessi (si veda il paragrafo 2.8). La definizione per`o `e diversa: se v e w appartengono a Cn allora si definisce
v· w = ¯v1w1+ ¯v2w2+· · · + ¯vnwn.
Si introducono i coniugati perch´e si vuole che v· v sia reale non negativo e si definisce ancora
kvk =√ v· v .
Si noti che il prodotto scalare non dipende dall’ordine dei fattori se i vettori sono reali. Invece, se i vettori sono complessi,
v· w = w · v .
Diremo che due vettori (reali o complessi) v e w sono ortogonali se il loro prodotto scalare `e nullo:
v⊥ w ⇐⇒ v · w = 0 .
Le propriet`a che abbiamo enunciato per la norma, il teorema di Pitagora, l’i-dentit`a del parallelogramma e la disuguaglianza di Schwarz valgono in ogni dimensione e valgono anche per vettori di Cn.
Osservazione 21 L’angolo `e stato definito solamente per vettori reali cos`ı che v·wR quindi l’angolo θ `e un numero reale. Ci`o nonostante, se v·w = 0 diremo che i due vettori sono ortogonali anche se sono vettori complessi.
Queste considerazioni verranno ripetute e precisate al paragrafo 2.8.
1.5. PRODOTTO SCALARE ED ANGOLI 31
Figura 1.6: Il parallelogramma e le sua diagonali
x y
Osservazione 22 Il prodotto righe per colonne di due matrici A e B, la prima 1× n e la seconda n× 1 `e
E’ quindi il prodotto scalare dei vettori ad elementi reali v e w,
v =
Dunque il prodotto scalare v· w di due vettori reali `e uguale al prodotto righe per colonne
v· w = wTv
dove, ricordiamo, l’apice T indica la trasposizione. Invece se i due vettori hanno elementi complessi
v· w = w∗v
ancora prodotto righe per colonne della matrice n× 1 rappresentata da v per la coniugata della matrice w.
Questa osservazione spiega anche l’introduzione delle matrici coniugate ed aggiunte. La ragione `e che valgono le formnule seguenti:
v· (Aw) = (ATv)· w (elementi reali) v· (Aw) = (A∗v)· w (elementi complessi) .
Osservazione 23 (Sulla notazione) Si noti che il prodotto righe per colonne di matrici si indica con la sola giustapposizione mentre si usa “·” per indicare il prodotto scalare. Dunque, wv indica un prodotto riche per colonne che richiede che w sia un vettore riga e v un vettore colonna mentre w· v indica il prodotto scalare di due vettori.
1.5.1 Coseni direttori in R3
Abbiamo gi`a usato una particolare rappresentazione dei vettori, che `e questa:
v = v1i + v2j + v3k =|v| v1
|v|i + v2
|v|j + v3
|v|k
I (coefficienti delle) componenti del versore v1
|v|i + v2
|v|j + v3
|v|k
hanno un significato particolare: la prima `e il prodotto scalare del versore v/|v| col versore i; e quindi `e il coseno dell’angolo che v fa col semiasse positivo delle ascisse.
Analogamente si vede che la seconda componente `e il coseno dell’angolo col semiasse positivo delle ordinate e la terza `e il coseno dell’angolo col semiasse positivo delle quote. Questi tre numeri si chiamano i coseni direttori del vettore v.
Indicandoli con cos θi si trova la rappresentazione
v =|v| (i cos θ1+ j cos θ2+ k cos θ3) .
In apparenza quindi v viene a dipendere dai 4 parametri|v| e cos θi. Si noti per`o che questi ultimi non sono indipendenti, perch´e vale
cos2θ1+ cos2θ2+ cos2θ3= 1 . Dunque, il numero dei parametri indipendenti `e 3.
Notiamo infine l’interpretazione geometrica del versore i cos θ1+ j cos θ2+ k cos θ3.
Questo versore indica il punto nel quale la semiretta tv, t > 0 incontra la sfera x2+ y2+ z2 = 1.
1.5.2 Proiezione di un vettore nella direzione di un’altro Siano v e w due vettori. Definiamo
Pwv =hv, wi w
|w|.
1.6. PRODOTTO VETTORIALE E PRODOTTO MISTO 33