della retta del piano xy.
Direzione e verso su una retta
Abbiamo notato che la medesima retta r: tv0 per l’origine pu`o identificarsi mediante t(av0) qualunque sia a6= 0.
Ricordiamo che l’insieme dei vettori {av , a 6= 0} identifica una direzione nello spazio, che `e chiamiamo la direzione della retta r.
Il parametro t appartiene ad R e su R esiste una relazione di ordine. Tale ordine si trasferisce ad r come segue: siano P1 e P2 due punti della retta r, P1 = t1v0,
P2 = t2v0. Diciamo che P1 viene prima di P2 se t1 < t2. Quando si stabilisce un ordine tra i punti di r si dice che si `e definito un verso su r. I vettori{av0, a > 0} ed i vettori {av0, a < 0} identificano due versi su r, che si dicono opposti l’uno all’altro.
1.10 Piani per l’origine
Consideriamo ora due vettori, v = v1i + v2j + v3k e w = w1i + w2j + w3k, non colineari, ossia tali che
v∧ w 6= 0 . Consideriamo i vettori
u = tv + τ w , t∈ R , τ = R (1.26)
a cui corrispondono i punti di coordinate
x = tv1+ τ w1, y = tv2+ τ w2, z = tv3+ τ w2. (1.27) Ricordiamo ora che v∧ w `e ortogonale sia a v che a w e quindi anche a u. Dunque,
(v∧ w) · u = 0
e quindi i vettori u, v e w sono complanari. Si pu`o anche mostrare il viceversa: ogni vettore complanare con v e w si ottiene dalla (1.26). Infatti, u `e sullo stesso piano di v e di w se e solo se il parallelepipedo individuato da questi tre vettori ha volume nullo. Per questa ragione le (1.27) si chiamano le equazioni parametriche del piano in R3. I punti del piano si ritovano al variare dei “parametri” t e τ in R.
Si osservi che le coordinate dei punti del piano sono l’immagine di una trasformazione da R2 in R3: la trasformazione
t τ
−→ (tv + τw) =
v1 w1 v2 w2
v3 w3
t τ
.
Questa trasformazione ha propriet`a alquanto particolari: multipli e somme di vet-tori di un piano per l’origine appartengono al medesimo piano, si veda la (1.26).
Per questa ragione i piani per l’origine si chiamano anche i sottospazi di R3 (di dimensione 2).
Osservazione 33 Un’espressione del tipo
tv + τ w t∈ R , τ ∈ R si chiama combinazione ineare dei due vettori v e w.
La combinazione lineare di due vettori si pu`o sempre scrivere, anche se i due vettori sono colineari. In questo caso si ritrova per`o l’equazione di una retta ed uno dei due parametri `e ridondante.
Cos`ı come nel caso della retta, il piano di equazione parametrica (1.26) si pu`o rappresentare anche con l’equazione
u = t(av + bw) + τ (αv + βw) = (at + ατ )v + (bt + βτ )w (1.28) funzione dei due parametri
r = (at + ατ ) , s = (bt + βτ ) (1.29)
Per`o, come nel caso della retta, si incontrano dei casi “eccezionali”. Prima di tutto `e chiaro che se a = α = b = β = 0 la (1.28) rappresenta solo l’origine. Nel caso del piano `e per`o necessario anche che i due parametri r ed s siano indipendenti, ossia che il sistema (1.29) sia risolubile per ogni r e per ogni s. Ci`o avviene se e solo se il determinante
aβ− bα 6= 0 .
Se aβ− bα = 0 la (1.28) rappresenta l’equazione di una retta che giace sul
piano (1.26), salvo nel caso in cui tutti i coefficienti sono nulli, caso nel quale, come si
`e detto, si trova la sola origine delle coordinate.
Cos`ı come nel caso della retta, si pu`o trovare una rappresentazione privilegiata per il piano (1.26). Rappresentiamo il piano mediante l’equazione
u = tv + τ
w−v· w kvk2v
, t∈ R , τ = R
1.10. PIANI PER L’ORIGINE 49 Il vantaggio di questa rappresentazione `e che il piano `e rappresentato per mezzo di due vettori tra loro ortogonali:
v·
w−v· w kvk2v
= 0 .
Un ulteriore passo porta a scrivere l’equazione del piano nella forma
u = te1+ τ e2 ove
e1 = = kvkv2
e2 = kw−1v·w kvk2vk
nw− kvkv·w2vo .
I due vettori e1 e e2 sono due versori, ossia hanno norma 1, e sono tra loro ortogonale.
La coppia (e1, e2) si chiama una base ortonormale del piano.
1.10.1 Equazione cartesiana del piano per l’origine
Torniamo a considerare le equazioni parametriche (1.27). Per ipotesi, i due vettori v e w non sono colineari, ossia il loro prodotto vettoriale v∧ w non `e nullo. Dunque `e non nulla una delle sue componenti. Sia per esempio non nulla la terza componente di v∧ w:
v1w2− w1v2 6= 0 .
Si sa, dal Teorema 2, che sotto questa condizione il sistema di due equazioni lineari x = tv1+ τ w1, y = tv2+ τ w2
nelle incognite t e τ ammette una soluzione (unica) per ciascuna scelta del “termine noto” x, y. Dunque, esistono numeri ri ed si, i = 1, 2, indipendenti da x e da y, tali che
t = r1x + s1y , τ = r2x + s2y .
Sostituendo queste espressioni per t e τ in z = tv3+ τ w3 si trova che le coordinate x, y, z dei punti del piano (ricordiamo, passante per l’origine) sono legate da
un’equazione della forma
ax + by + cz = 0 , (1.30)
con a, b, c opportuni coefficienti non tutti nulli.
Viceversa si vede immediatamente che se x, y, z soddisfano (1.30) (con coefficienti non tutti nulli) allora esse sono le coordinate dei punti del piano le cui equazioni parametriche sono
x = t , y = τ , z =−1
c[at + bτ ]
(se c6= 0. Si studi per esercizio il caso c = 0). Dunque, ogni piano passante per l’origine `e rappresentato anche da un’equazione della forma (1.30), che si chiama equazione cartesiana del piano (per l’origine).
La (1.30) ha una semplice interpretazione geometrica. Si introduca il vettore n = ai + bj + ck .
La (1.30) si scrive
n· (xi + yj + zk) = 0 .
Ossia, il piano per l’origine descritto dalla (1.30) `e caratterizzato come l’insieme dei vettori ortogonali alla direzione n.
Osservazione 34 E’ ovvio che l’equazione cartesiana del piano non `e unica:
la (1.30) equivale a s(ax + by + cz) = 0 per s6= 0. Ossia, il vettore n normale al piano non `e unico. E’ per`o unico, a meno del segno, il versore ortogonale al piano. E dunque `e unica l’equazione
ax + by + cz = 0
che descrive un piano dato, se si impone l’ulteriore condizione a2+ b2+ c2= 1 .
Si `e detto che l’insieme delle combinazioni lineari tv + τ w, t ∈ R, τ ∈ R descrive un piano se i vettori v e w non sono colineari, altrimenti descrive una retta (ed uno dei due parametri `e ridondante). Consideriamo ora tre vettori e le loro combinazioni lineari
t1u + t2v + t3w , ti∈ R .
Se i tre vettori non sono complanari, ogni altro vettore dello spazio pu`o ottenersi mediante una opportuna scelta dei numeri ti, si veda il paragrafo 1.1.2; se i vettori sono complanari, ossia se per esempio u = αv + βw, si ritrovano i punti di un piano (ed uno dei tre parametri ti `e ridondante). Se i tre vettori sono colineari si trovano i punti di una retta.
In generale in Rn si chiamano combinazioni lineari dei vettori vi, 1≤ i ≤ k, le somme
Xk i=1
tivi, ti ∈ R .
L’insieme S delle combinazioni lineari dei vettori vi ha ancora la propriet`a:
v∈ S =⇒ tv ∈ S ∀t ∈ R , v∈ S , w ∈ S =⇒ v + w ∈ S (la verifica `e immediata). Per questo S si chiama ancora un sottospazio di Rn. Il problema di capire se lo stesso sottospazio S si possa descrivere usando solo una parte dei vettori vi `e alquanto delicato e verr`a ripreso in seguito.