1.7 Rotazione degli assi e dei vettori
1.7.1 Rotazione degli assi coordinati
Sia R3 riferito alla terna ordinata dei versori i, j, k applicati nell’origine O e presi in quest’ordine: ossia i `e il versore del primo asse, j quello del secondo e k quello del terzo.
In questo modo abbiamo assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale e quindi anche un’orientazione in R3.
Siano i′, j′, k′, presi in quest’ordine, altri tre versori (applicati nell’origine O) due a due ortogonali. Ogni vettore
v = ai + bj + ck (1.20)
si pu`o rappresentare anche con riferimento alla terna ordinata dei vettori i′, j′, k′: v = a′i′+ b′j′+ c′k′. (1.21) Vogliamo trovare una relazione tra i (coefficienti delle) componenti di v rispetto all’una ed all’altra terna. E’
v· i′ = a′, v· j′ = b′, v· k′ = c′.
moltiplicando per i′, j′ e k′ la (1.20) si trova
si chiama la matrice di rotazione delle coordinate ortogonali, ed ha delle propriet`a particolari. Prima di tutto ricordiamo che i vettori delle due basi hanno norma 1 e quindi i prodotto scalari sono niente altro che i coseni degli angoli che essi formano.
Per esempio, i· i′ `e il coseno dell’angolo compreso tra la semiretta individuata da i e quella individuata da i′. Inoltre, se sono note le coordinate a′, b′, c′, le coordinate a, b, c si calcolano in modo analogo, moltiplicando la (1.21) per i, j, k. Si trova
Dunque, la matrice della trasformazione inversa `e CT, la trasposta della matrice C.
Ossia vale
CTC = CCT = I , e dunque C−1= CT : (1.23) la matrice C `e ortogonale. Questa uguaglianza `e condizione necessaria e sufficiente perch´e una matrice C trasformi vettori ortogonali in vettori ortogonali. Si pu`o provare infatti (si veda il Teorema 124):
Teorema 26 Una matrice C trasforma vettori ortogonali in vettori ortogonali se e solo se `e una matrice ortogonale.
Ricordando che det C = det CT e usando il teorema di Binet si vede che se una matrice rappresenta un cambiamento di coordinate ortogonali, allora
(det C)2 = 1 e quindi det C =±1 .
Notando (da (1.22)) che gli elementi di C sono i (coefficienti delle) componenti dei versori i′, j′ e k′ calcolate nella prima base e ricordando il significato del determinante di una matrice 3× 3 come volume (con segno) di un parallelepipedo, si vede che la terna (i′, j′, k′) `e orientata positivamente6 se e solo se det C = +1. Dunque, se la terna di assi coordinati `e realizzata con tre rette saldate insieme in modo rigido, le rotazioni possono essere rappresentate solamente da quelle matrici ortogonali C che hanno determinante +1. Una matrice ortogonale con determinante−1 corrisponde ad una rotazione di assi uno dei quali incernierato al piano degli altri due, in modo da
6pi`u propriamente, orientata in modo concorde alla (i, j, k).
1.7. ROTAZIONE DEGLI ASSI E DEI VETTORI 39 poter ruotare rispetto a tale piano cos`ı da portare la semiretta positiva al posto di quella negativa. Ossia in questo caso oltre ad una rotazione si ha anche una simmetria rispetto ad un piano.
Le matrici ortogonali con determinante uguale a +1 sono particolarmente importanti perch´e si incontrano nella cinematica del corpo rigido e si chiamano matrici ortogonali speciali.
Di solito, parlando di “rotazione” si esclude il caso della simmetrizzazione di un asse rispetto ad un piano, ossia si intende parlare di rotazioni di un corpo rigido.
In questo senso si considerano matrici di rotazioni le matrici ortogonali speciali.
E quindi:
Corollario 27 Se C1 e C2 sono matrici che rappresentano rotazioni, anche la matrice C1C2 rappresenta una rotazione.
Precisiamo ora questo fatto: il termine “rotazione” fa pensare alla rotazione intorno ad un asse. Per esempio la matrice
0 −1 0
1 0 0
0 0 1
trasforma come segue:
P1(1, 0, 0) 7→ P1′(0,−1, 0) P2(0, 1, 0) 7→ P2′(1, 0, 0) P3(0, 0, 1) 7→ P3′(0, 0, 1) .
Dunque, l’azione di questa matrice si pu`o pensare come una rotazione in senso orario intorno all’asse z. Il problema di capire se ogni rotazione `e rotazione intorno ad un asse verr`a chiarito nel paragrafo 2.10.2.
Osservazione 28 Si osservi che esistono matrici di determinante 1 che NON sono matrici ortogonali.
Matrici ortogonali 2× 2 e rotazioni del piano Una matrice ortogonale 2 × 2 verifica
a b c d
a c b d
=
1 0 0 1
ossia
a2+ b2 = 1 c2+ d2 = 1 ac + bd = 0 .
Dunque a e b sono seno e coseno di un medesimo angolo φ e c e d sono seno e coseno di un medesimo angolo ψ.
Scegliendo per esempio
a = cos φ , b = sin φ c = sin ψ , d = cos ψ La terza condizione diviene
0 = ac + bd = cos φ sin ψ + sin φ cos ψ = sin(φ + ψ) . Questa uguaglianza si verifica in due casi:
caso 1: ψ = 2kπ− φ In questo caso
ψ = 2kπ− φ implica c = − sin φ d = cos φ . Si ha quindi
A =
cos φ sin φ
− sin φ cos φ
e si trova una matrice ortogonale speciale, quindi una matrice che rappresenta la rotazione di un corpo rigido.
caso 2: ψ = 2kπ− φ + π In questo caso ψ = 2kπ− φ + π implica
c = sin φ d = − cos φ . Si ha quindi
A = cos φ sin φ sin φ − cos φ
.
In questo caso la matrice ortogonale ha determinante −1 e quindi non rappresenta la rotazione di un corpo rigido.
Rotazione di un vettore in un fissato sistema di riferimento Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale e siano v = xi + yj + zk e
w = ai + bj + ck due vettori. Si dice che w `e ottenuto ruotando v quando esiste una rotazione degli assi coordinati che trasforma in (a, b, c) le componenti (x, y, z) di v ossia quando esiste una matrice ortogonale C tale che
a b c
= C
x y z
.
Dunque, una matrice ortogonale speciale rappresenta anche la rotazione dei vettori rispetto ad un fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale.
1.7. ROTAZIONE DEGLI ASSI E DEI VETTORI 41 1.7.2 Rotazioni applicate successivamente
Si `e visto che applicando successivamente due traslazioni, il vettore che si ottiene non dipende dall’ordine; analogamente per un vettore fissato: traslando successivamente gli assi coordinati la rappresentazione del fissato vettore non dipende dall’ordine in cui le traslazioni sono applicate. Mostriamo che tale propriet`a di commutativit`a non vale per le rotazioni. Consideriamo le due rotazioni degli assi coordinati rappresentate dalle due matrici
Ambedue le matrici sono matrici ortogonali speciali e quindi rappresentano la rotazione di un corpo rigido. Come si `e visto, la prima matrice si interpreta come rotazione di angolo π/2 intorno all’asse delle quote e in modo analogo la seconda si interpreta come rotazione di angolo π/2 intorno all’asse delle ascisse.
Risulta:
In ambedue i casi il prodotto delle due matrici ortogonali speciali `e ancora una matrice ortogonale speciale, in accordo col Corollario 27, ma le due rotazioni risultanti sono diverse: la rotazione ottenuta dipende dall’ordine nel quale C1 e C2 vengono applicate.
Se invece che lavorare in R3 si lavora in R2, la situazione `e diversa: tutte le matrici ortogonali speciali 2× 2 commutano. Infatti:
cos θ sin θ
Dunque, tutte le rotazioni (rigide) del piano commutano.
Invece non commutano matrici ortogonali una almeno con determinante −1, ossia non si ha commutazione se si fa intervenire una simmetria. Infatti si hanno i due casi seguenti:
prodotto di matrici con determinante di segno opposto
cos φ sin φ
prodotto di matrici ambedue con determinante−1
cos φ sin φ sin φ − cos φ
cos θ sin θ sin θ − cos θ
=
cos(θ− φ) sin(θ− φ)
− sin(θ − φ) cos(θ − φ)
6=
cos θ sin θ sin θ − cos θ
cos φ sin φ sin φ − cos φ
=
cos(φ− θ) sin(φ− θ)
− sin(φ − θ) cos(φ − θ)
1.7.3 Rotazione di coordinate e prodotto scalare e vettoriale