Caso con armatura trasversale

Schema teorico. L’armatura trasversale, disposta in posizione tale da attraversare la potenziale superficie di rottura, ha lo scopo di bilanciare le forze di trazione nel calcestruzzo; se l’armatura è correttamente dimensionata ed estesa fino ad opportuna distanza dalla zona caricata, il carico di collasso aumenta rispetto a quello del caso precedente e la superficie di rottura diviene pressoché cilindrica con raggio ridotto ed in generale coincidente con quello dell’impronta del supporto.

Lo schema resistente a tiranti e puntoni è riportato nella figura 103.

L’armatura può essere costituita sia da staffe, sia da ferri piegati, sia da elementi in carpen-teria metallica composti con un piatto a cui sono saldati chiodi Nelson (fig. 104).

Per evitare la rottura delle bielle compresse di calcestruzzo che convergono sull’area caricata deve essere posto un limite alla percentuale di armatura a taglio realmente utilizzabile per aumen-tare la resistenza al punzonamento.

Valutazione numerica. Per il dimensionamento pratico si procede come segue: la piastra at-torno al supporto è divisa in zone di ampiezza 1,5 h_m, sovrapposte per 0,75 h_m; per ognuno dei contorni esterni di tali zone aventi perimetro u variabile si controlla se la resistenza del solo

cal-Fig. 102. Perimetro di verifica.

cestruzzo è sufficiente; in caso contrario, sia sul perimetro esterno che su quello interno, si ag-giunge armatura che fornisce un contributo aggiuntivo a quello del calcestruzzo (71)

La posizione del primo ordine di armature può cadere entro una striscia di larghezza 0,5 h_m; la tensione di progetto dell’acciaio deve essere limitata a σs≤ 300 N mm–2 e deve comunque essere

V_sR≤ 0,60 V_cR (fig. 105).

Esempio. Verificare la resistenza al punzonamento di piastra di fondazione di dimensioni 2,00 × 3,00 × 0,30 soggetta al carico concentrato di 560 kN trasmesso da una colonna di dimensio-ni 0,30 × 0,45 m, rappresentata nella figura 106.

α inclinazione sulla orizzontale della armatura

A_t area metallica su un solo perimetro ⁽⁷¹⁾

Fig. 104. Ripartizione e tipologia armature trasversali.

Fig. 105. Disposizione armature trasversali.

I materiali sono caratterizzati da f_ck = 30/N/mm2, f_sd = 440/1,10 = 400 N/mm2, con h_x = 0,27 m,

h_y = 0,25 m, risulta h_m = 260 mm, .

Il perimetro di punzonamento vale u = 2(0,30 + 0,45) + 4 × 0,26 = 2,54 m e definisce in pianta l’area (0,45 + 0,26) × (0,30 + 0,26) = 0,398 m2.

Considerando a favore di sicurezza la reazione media del terreno σT=560/3,0×2,0=93 kN/m2, l’azione di punzonamento di progetto vale V_D = 560 – 93 × 0,398 = 523 kN.

Considerando le barre comprese nelle strisce di larghezza

l_y = 2 × 1,5 × 0,30 + 0,30 = 1,20 m con h_y = 0,27 m

l_x = 2 × 1,5 × 0,30 + 0,45 = 1,35 m con h_x = 0,25 m si ottengono le percentuali di armatura con A_s = π cm2 (barre d 20 mm)

ρx = 7 π/120 × 27 = 0,0068 ρy = 5 π/135 × 25 = 0,0047 da cui la media ρ_m = 0,0057 risulta anche:

L’azione resistente di punzonamento vale V_R = 580 × 2,54 × 0,26 = 383 kN < V_D.

È necessaria armatura metallica verticale di sezione: A_t = (523 – 383) / 300000 = 4,66 E–4 m2; la soluzione è possibile perché risulta V_sR = 140kN < 0,60 × 383 = 230 kN.

La distanza d alla quale non è più necessaria la staffatura è determinata dalla relazione

u = 523/580 × 0,26 = 3,47 m da cui: d = [3,47 – 2(0,30 + 0,45)]/8 = 0,25 m.

Prevedendo l’uso di 4 staffe d8 a due braccia e senza effettuare riduzione di diametro all’au-mentare della distanza d, con A_t = 4E–4 m2, essendo z_i = 0,75 × 0,26 = 0,20 m, la disposizione dell’armatura risulta dalla figura 106.

3.10.4 Torsione

3.10.4.1 Modalità di rottura. In generale un’azione torcente esterna T è equilibrata da un mo-mento torcente interno T₁ (torsione primaria) e da uno stato tensionale longitudinale dovuto all’impedito svergolamento delle sezioni.

Non appena si manifesta fessurazione, si annullano le tensioni longitudinali di trazione e quindi l’effetto dell’impedito svergolamento non è di importanza fondamentale per la verifica allo stato limite di rottura, purché si consideri l’intero valore dell’azione torcente senza tenere conto del contributo della torsione secondaria.

Al crescere dei carichi, la fessurazione, avente andamento elicoidale attorno alla trave, si estende limitatamente (a volte con inclinazione differente da quella iniziale), ma cresce l’apertura delle lesioni; raggiunto lo snervamento delle armature (longitudinali e staffe), l’angolo di torsione φ cresce molto rapidamente fino alla rottura che può avvenire sia per cedimento delle sezioni del calcestruzzo compresso delimitate da fessure contigue, sia per strappamento dell’armatura longitu-dinale e/o delle staffe.

Nel caso di sezioni piene, si osserva il distacco dal nucleo centrale (che rimane poi inerte) di uno strato esterno di calcestruzzo contenente le armature; questo fenomeno evidenzia anche a rot-tura la concentrazione delle tensioni verso il perimetro esterno e suggerisce lo studio di una trave a cassone, di spessore opportuno, equivalente a quella piena considerata.

L’andamento a spirale delle lesioni mostra angoli ß pressoché costanti su tutte le facce, con valore della tangente compreso fra i limiti 1/2 ≤ tan ß ≤ 2; sia le armature longitudinali che quelle trasversali (staffe) ortogonali alle prime risultano tese con forze rispettivamente F_sl ed

F_st , mentre gli elementi in calcestruzzo compresi fra le lesioni risultano compressi da forze F_c (fig. 107).

ξ =1+ 200/260 = 1,877

3.10.4.2 Schema di calcolo. In analogia alla trattazione della rottura per taglio e per poter stu-diare in modo unitario e congruente anche i casi frequenti di azioni contemporanee di torsione, flessione e taglio, la trave viene schematizzata con un traliccio spaziale in cui i correnti sono for-mati dalle armature poste ai vertici della sezione, le aste di parete sono costituite da bielle com-presse di calcestruzzo avvolte ad elica con angolo ß costante su tutte le facce e dalle staffe tese poste ad interasse t.

Nel caso della sezione cava un flusso di tensioni tangenziali τb_e, invariabile lungo l’asse, co-stituisce un campo staticamente ammissibile per il caso della torsione T = costante; indicando con

A_o l’area della figura individuata dai vertici posti in corrispondenza delle armature longitudinali, e con b_e lo spessore della parete della trave ideale a cassone, la relazione precedente si scrive τb_e = T/2A_o (fig. 108).

La risultante C delle compressioni oblique nel calcestruzzo, dovute alla risultante V = τb_eh_l

delle tensioni tangenziali τ agenti su una parete della trave vale, posto b_e = d₀/6 (d₀ = diametro del cerchio massimo iscritto nel poligono che congiunge le armature longitudinali):

e conseguentemente si ottiene la relazione

Fig. 107. Elementi resistenti a rottura.

C=V sin ⁄ β=τb_e hl⁄sin β ^{T h}l 2A_o sin β --- σcβ

= = be hl cos β

ed anche

Fissato, con criteri esposti nel seguito, un valore massimo f*_cddella resistenza a compressione del calcestruzzo, si ottiene il corrispondente valore limite del momento torcente (71).

(71)

Le forze nelle barre superiori ed inferiori di una faccia hanno intensità H = τb_eh_l ctg β e quelle nella singola staffa, posta ad interasse t,

Estendendo il calcolo a tutte le facce della sezione si ottiene la risultante N_l di tutte le forze agenti nelle barre:

sostituendo al flusso τb_e la quantità equivalente T/2A_o si ottiene (72):

(72) con u perimetro dell’area A_o.

L’armatura longitudinale e le staffe sono quindi in grado di resistere a momenti torcenti mas-simi rispettivamente definiti da (73):

(73)

A_l = area armatura longitudinale

A_st = area della singola staffa

t = interasse delle staffe

f_sld, f_std = sollecitazioni di snervamento di progetto dell’armatura longitudinale e delle staffe

Fig. 108. Trave equivalente a cassone, equilibrio delle forze.

σcβ _b ^C e hl cos β --- ²τ 2 β sin ---= = T_CR= *f_cd A_o be sin 2 β N_st ^Vt h_l ctg β --- τ be t tan β = = Nl=ΣH=τbectgβ Σ h_l =τbe u ctg β N_l ^{Tu ctg} β 2A_o ---= N_st ^Tt 2A_o --- tan β = TlR=2 Ao tg β^Al u --- fsld TstR=2Ao ctg β^Ast t --- f_std

Si osserva che le espressioni dei momenti torcenti limite sopportabili dall’armatura longitudi-nale e dalle staffe sono indipendenti dalle dimensioni b_e, h della sezione così che gli sviluppi analitici riportati per una faccia verticale della trave sono validi anche per la faccia opposta e per quelle orizzontali.

Analogamente al caso dell’azione tagliante, anche il calcestruzzo teso contribuisce alla resi-stenza fornita dalle staffe in misura decrescente con lo stato di fessurazione.

Nell’ipotesi di raggiungimento dello snervamento contemporaneamente nella totalità delle bar-re longitudinali e nelle staffe, e pbar-recedentemente alla rottura del calcestruzzo, si ottiene il valobar-re limite a rottura del momento torcente (74):

(74) a cui corrisponde

e quindi

3.10.4.3 Verifiche. Per quanto sopra esposto si deve controllare che il momento, torcente di calcolo T_D sia contemporaneamente minore dei momenti resistenti forniti dal calcestruzzo, dalle staffe e dall’armatura longitudinale:

in cui:

rappresenta il massimo contributo delle bielle compresse di calcestruzzo,

(76) rappresenta il massimo contributo delle staffe, di area A_st, poste ad interasse t e con sollecitazione di snervamento di calcolo f_std,

rappresenta il contributo del calcestruzzo teso con T_cto = 0,25 f_ctdA_oh* h* = min (h_l, b_l)

(78) rappresenta il massimo contributo delle barre di armatura longitudinale.

L’armatura deve essere disposta in modo che l’azione assiale delle bielle compresse di calce-struzzo possa confluire nei nodi del traliccio spaziale individuati dall’incrocio fra le staffe e

l’ar-T_D≤ (75) T_ctR = 5 T_cto 0 (T_D≤ 5T_cto) (T_D≥ 15T_cto)

(variazione lineare per valori intermedi di T_D)

(77) T_sR = T_lR =T_tR tg β ^{u A}st t Asl ---= con ¹ 2 ---≤tg β≤2; fsld = fstd = fsd T_sR=f_sd ^{Asl Ast} ut ---      _TCR T_ctR+T_stR T_lR TCR=0.5 f_cd A_o b_e sin 2 β T_stR=2 Ao ctg β ^Ast t --- fstd        5 Tcto 1.5 ^TD 10 T_cto ^ –   TlR=2 Ao tg β ^Al u --- f_sld

matura longitudinale; la pressione esercitata dalle bielle di calcestruzzo può inflettere le barre lon-gitudinali disposte nei vertici della sezione provocando il distacco di una porzione di calcestruzzo se il diametro di queste è esiguo o se le staffe sono ad interasse eccessivo.

Per questo motivo e per limitare la fessurazione, è bene risulti t < h_l /2 con h_l distanza mi-nima fra le barre d’angolo; analogamente le barre longitudinali devono essere sicuramente an-corate all’estremità per riprendere le spinte, altrimenti «a vuoto», delle bielle di calcestruzzo (fig. 109).

3.10.4.4 Effetto di azioni concomitanti. Poiché la torsione è normalmente associata alle azioni