VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI SERVIZIO (SLE)

3.8.1 Fessurazione. Le strutture possono mostrare cavillature più o meno estese e profonde do-vute a rottura locale del calcestruzzo per trazione e limitate nell’apertura dalla presenza dell’arma-tura metallica; il loro andamento è normalmente legato alla causa che le ha prodotte, rimovibile nella quasi totalità dei casi solo nelle strutture completamente precompresse e realizzate con op-portuni accorgimenti di getto e maturazione.

Sollecitazioni di trazione possono essere originate anche da impedito ritiro (vincoli errati, get-to di calcestruzzo fresco su calcestruzzo induriget-to, eccesso di armatura ecc.), oppure da gradienti termici sullo spessore dovuti ad esempio a maturazione artificiale o alla diversa esposizione delle facce (travi a cassone o travi laterali dei ponti ecc.).

La presenza della fessurazione costituisce in ogni caso menomazione strutturale per i seguenti motivi principali:

a) gli agenti aggressivi raggiungono immediatamente le armature metalliche provocandone la

corrosione;

b) la fessurazione aumenta la permeabilità della struttura all’acqua ed ai gas; c) la fessurazione riduce la rigidezza della struttura;

d) in corrispondenza di ogni lesione l’intera risultante delle trazioni nella sezione considerata

è sopportata dall’armatura che, nel caso di carichi ciclici, risulta soggetta a maggior escursione dello stato tensionale con possibile danneggiamento per fatica;

e) la fessurazione costituisce difetto di aspetto della struttura.

L’accettabilità delle fessure dipende per alcune di esse dalla funzione che deve essere esple-tata dalla struttura; si possono stabilire delle regole di controllo commisurate al rispetto della fun-zionalità e basate su indagini ed osservazioni su opere esistenti.

È necessario quindi fissare opportuni valori al copriferro per assicurare protezione alle bar-re, nonché valori massimi delle aperture delle lesioni che dipendono dai parametri geometrici della sezione e tensionali delle armature; entrambi i valori sono in generale fissati tenendo con-to delle condizioni di aggressività dell’ambiente e del grado di sensibilità alla corrosione delle armature.

In alcuni casi si impone che non vengano superati gli stati di formazione delle fessure o di decompressione.

Stato di decompressione. Lo stato di decompressione corrisponde a tensione nulla al lembo

considerato.

Stato di formazione delle fessure. Quello di formazione delle fessure corrisponde a tensione ≤ f_ctm/1,20, con f_ctm resistenza media a trazione del calcestruzzo.

Aperture massime lesioni. Nella tabella 13 sono riportati i valori delle diverse aperture

mas-sime delle lesioni per le varie condizioni ambientali e contingenze dei carichi. I valori massimi di riferimento sono: w₁ = 0,2 mm, w₂ = 0,3 mm, w₃ = 0,4 mm.

3.8.1.1 Fessurazione per azione assiale e flettente. Trattandosi di stato limite di servizio, le azioni sono considerate con γ_s = 1 e i materiali con γ_m = 1.

Il calcolo dell’apertura delle lesioni è effettuato considerando l’azione di combinazioni dei ca-richi agenti con gli opportuni «fattori di partecipazione» che tengono conto sia della loro proba-bilità di presenza contemporanea, sia della loro durata.

Con riferimento al caso elementare di un elemento lineare in calcestruzzo simmetricamente armato soggetto ad azione assiale centrata di trazione, applicata direttamente alle armature (fig. 51), si osserva, al crescere dell’azione N, la formazione di fessure nel calcestruzzo a passo equidistante.

Il fenomeno sopra descritto evidenzia che:

1) all’atto della formazione delle fessure è stata localmente raggiunta la resistenza a trazione del calcestruzzo (σ_cs = f_ct); la corrispondente tensione nell’acciaio, nella sezione parzializzata, è in-dicata con σsf;

Tabella 13. Aperture massime delle lesioni per diverse condizioni ambientali.

Condizioni ambientali Classe di esposizione Combinazione di azioni Armatura

Sensibile Poco sensibile

Stato limite w_d Stato limite w_d

Ordinarie X0, XC1, XC2, XC3, XF1

frequente ap. fessure ≤ w₂ ap. fessure ≤ w₃

quasi permanente ap. fessure ≤ w₁ ap. fessure ≤ w₂ Aggressive ^{XC4, XD1, XS1, XA1,}

XA2, XF2, XF3

frequente ap. fessure ≤ w₁ ap. fessure ≤ w₂

quasi permanente decompressione – ap. fessure ≤ w₁ Molto

aggressive

XD2, XD3, XS2, XS3, XA3, XF4

frequente formazione fessure – ap. fessure ≤ w₁

quasi permanente decompressione – ap. fessure ≤ w₁

Fig. 51. Schema fessurativo per elemento teso. (1) (2) stati del calcestruzzo.

2) in corrispondenza delle fessure l’intera azione assiale è sopportata dalle armature, il contri-buto del calcestruzzo è nullo (stato 2);

3) le tensioni nel calcestruzzo sono originate dal trasferimento per aderenza di parte delle azioni applicate alle barre di armatura, così che, ad una certa distanza dalle lesioni viene ri-pristinata la congruenza delle deformazioni dei due materiali e la sezione è interamente reagente (stato 1);

4) immediatamente prima della rottura del calcestruzzo σcs = f_ct, la tensione nell’acciaio è quella competente alla sezione totalmente reagente e, nel diagramma N, εs lo stato dell’armatura è individuato dal punto L, (fig. 52) nell’istante della rottura lo stato è individuato dal punto F. Fra L e F si manifestano incrementi di tensione e di deformazione dell’acciaio.

5) in un tratto fra due fessure contigue le tensioni nel calcestruzzo e nell’acciaio sono com-prese fra i valori calcolabili considerando rispettivamente la sezione completamente reagente o parzializzata.

L’allungamento ∆l dell’elemento fra due lesioni consecutive, poste a distanza l, consente di

definire con la (37) la deformazione specifica media ε_sm dell’acciaio che, per quanto sopra osser-vato, risulta minore di una quantità ∆ε_s della deformazione che si manifesta in corripondenza di una lesione.

Fig. 52. Variazione carico - deformazione-tensione.

εsm ^∆l l

--- εs2–∆εs

Le deformazioni dell’acciaio, nelle sezioni soggette agli stati 1 e 2 rispettivamente, sono espresse da:

(37) I legami, supposti lineari fra tensioni e deformazioni nell’acciaio, sono rappresentati, al cre-scere dell’azione N, dalle rette 2 e 1, corrispondenti rispettivamente ai valori calcolati nelle due ipotesi estreme di sezione parzializzata e totalmente reagente (fig. 49).

Per lo sviluppo dei calcoli è conveniente introdurre un modello dell’elemento in cui sono congiunte tutte le parti l₁ con calcestruzzo non fessurato e quelle l₂ dove è reagente il solo accia-io, il parametro ξ = l₂/l esprime l’estensione della fessurazione e quindi vale 0 per elementi non

fessurati ed è compreso fra 0 e 1 nel caso N > N_crt. Risulta quindi εsm = (1 – ξ) εs1 + ξ εs2

con riferimento alla figura 49, considerando un’ipotetica deformazione ε_s1 originata nell’armatura della sezione completamente reagente per σ_cs > f_ct, risulta la seconda delle (38) che, sostituita nel-la prima delle (37), fornisce l’espressione completa per ε_sm (39), che evolve secondo la curva 3. (38) ∆εs risulta essere funzione inversa di σs2

(39) La differenza fra i valori in ascissa delle curve 2 e 3, rappresenta, per un valore assegnato di σs , l’effetto della “tension stiffening” = riduzione della dilatazione dell’acciaio per effetto del con-tributo del calcestruzzo teso.

Tale effetto risulta massimo all’inizio della fessurazione e diminuisce con la predetta legge iperbolica al crescere di σs.

Per tenere conto delle proprietà di aderenza dell’acciaio e dell’influenza della durata di appli-cazione e della probabilità della ripetizione delle azioni esterne, si introducono (40) coefficienti correttivi ß₁ e ß₂ nella espressione di ξ.

(40)

Risulta allora definibile (41) il modulo elastico medio E_sm > E_s variabile con σs2.

(41) Le considerazioni precedentemente svolte per il caso dell’azione assiale centrata, agente su se-zione simmetrica, possono essere estese al caso in cui questa risulti eccentrica o perché agente su sezione non simmetrica o per l’effetto concomitante di un’azione flettente.

β1 =

β2 =

εs1 _E ^N c Ac+E_s As --- εs2 N E_s As ---= = εs1<εsm<εs2 ∆εs ∆εsmx_σs^σsf 2 --- ∆εsmx (εs2–εs1)^σsf_σs2 ---= = ε_sm=ε_s2 (ε_s2–ε_s1) ^σsf σ_s2 ---2 = – (1–ξ)ε _{s 1}+ξε_s2 ε _cm (=1–ξ)ε _{s 1} ξ =1 σ_sf σ_s2 ---2 – ξ=1–β₁ β2 σsf σs2 ---2 ; per σ_s2>σ_sl

1.0 per barre ad aderenza migliorata 0.5 per barre lisce

1.0 per il primo carico di breve durata 0.5 per carichi ripetuti o singoli di lunga durata

Esm σ_s2 εsm ---=

In questi casi è necessario tenere in conto la modifica delle tensioni nell’acciaio e nel calce-struzzo dovute al ritiro ed al rifluimento, che producono graduale spostamento della posizione dell’asse neutro.

3.8.1.2 Calcolo dell’apertura delle lesioni. L’apertura delle lesioni, è determinabile con formule semiempiriche, per tenere conto dei parametri geometrici e tensionali che influenzano il fenomeno. Indicando con w_m il valore medio dell’apertura delle lesioni, si può stabilire in prima approssimazione: (42) ove:

s_rm è l’intervallo medio tra due lesioni successive;

εslmè la deformazione media dell’acciaio rispetto al calcestruzzo: per la (39) e (40) si ha:

con : valore assoluto della deformazione per ritiro nel calcestruzzo.

Il minimo valore di s_rm è la lunghezza l_m, a partire da una lesione esistente, necessaria per trasferire dall’acciaio al calcestruzzo la forza di trazione di rottura in una zona A_cf della sezione adiacente alle armature. Questa lunghezza è ricavabile imponendo l’equilibrio alla traslazione del volume di calcestruzzo, adiacente all’armatura, compreso tra una lesione e la zona in cui viene raggiunta la resistenza a trazione del calcestruzzo:

(43)

ove:

τa: tensione tangenziale di aderenza tra barra e calcestruzzo,

n: numero di barre di armatura,

d: diametro della barra di armatura.

L’area A_cf è definita con le indicazioni della figura 53. con

Introducendo la percentuale di armatura ρf = A_s/A_cf, dalla (43) si ricava (44):

(44) L’esperienza dimostra che il rapporto K₁ = f_ct / τa fra la resistenza a trazione del calcestruzzo

f_ct e la tensione limite τa di aderenza non è funzione della resistenza del calcestruzzo ed è circa costante, mentre dipende dal tipo di superficie delle barre, con i seguenti valori medi:

K₁ = 0,4 per acciaio ad aderenza migliorata

K = 0,8 per barre lisce.₁

Viene introdotto un ulteriore fattore correttivo K₂ di A_cf, per tenere conto dell’effettiva esten-sione di tale area in funzione del regime tensionale della zona fessurata; risulta K₂ = 1 per trazio-ne centrata, per flessione pura o composta.

La lunghezza l_m assume dunque la seguente espressione (45):

(45) w_m=εslm s_rm εslm=εsm–εcm+ εcr ξε= s2 εcr σs2 E --- 1s β₁β₂ ^σst σs2 ---2 –     _ε cr + = + εcr A_cf fct =l_m τa n π d A_s ⁿπd² 4 --- :area armatura = lm d f_ct 4 τa ρf ---= K₂ 1 ^hf a–y_n ---– = lm K₁ K₂ d 4 ρf ---=

Ulteriori correzioni sono necessarie per tenere conto della distanza s tra le barre di armatura e del copriferro c, così che la distanza media s_rm fra le fessure ha la seguente espressione (46):

(46) Le stesse considerazioni valgono per il controllo delle aperture delle lesioni nella zona dell’anima, al di sopra di quella ove sono concentrate le armature principali.

Le formule proposte risultano sperimentalmente valide anche per barre disposte non perpendi-colarmente alle fessure; l’apertura caratteristica deve essere allora maggiorata con coefficiente moltiplicativo variabile linearmente da 1 a 2 per angolo variabile da 75° a 45°.

L’apertura delle lesioni è quindi calcolabile con la (42); il valore caratteristico di tale apertura media vale w_k = 1,65÷1,70 w_m (il primo valore corrisponde a dispersione normale, il secondo è quello pratico che deve essere confrontato con i valori ammissibili precedentemente discussi).

Per il calcolo dell’apertura delle lesioni dovute a impedite deformazioni, è lecito porre

w_k = 1,30 w_m poiché in questo caso, all’atto della fessurazione, a causa della diminuzione della ri-gidezza, viene ridotto anche lo stato di coazione ed inoltre si è osservata minore dispersione dei valori delle aperture delle lesioni.

Come regola pratica, è certamente soddisfatto il rispetto delle aperture limite se si impiegano i tassi di lavoro σs2, i diametri e la spaziatura minima fra le barre riportati nella tabella 14.

Fig. 53. Definizione dell’area di calcestruzzo collaborante con le armature.

Dalla precedente trattazione risulta inoltre che è necessaria una minima percentuale di arma-tura per controllare la fessurazione; per ovvie ragioni di equilibrio la trazione del calcestruzzo all’atto della formazione delle lesioni deve essere sostenuta da armatura in percentuale (47):

(47) ad esempio con f_ct = 2 N mm–2, f_sy = 400 N mm–2 risulta ρmin = 0,005.

Quale area di calcestruzzo di riferimento, si considera l’intera sezione nel caso di trazione semplice e quella di altezza pari ad 1/3 della zona tesa nel caso di azione assiale eccentrica. 3.8.1.3 Esempio. (fig. 54) Sezione rettangolare con armatura passiva: fessurazione per flessione, verifica in ambiente moderatamente aggressivo, armatura poco sensibile alla corrosione, ipotesi di carico immediato senza intervento deformazioni a lungo termine (ε_cr = 0, φ = 0); assegnati: E_s/

E_c = 15 M_g = 100 kN m M_q = 100 kN m ψ = 0,6 combinazione di carico frequente si ottiene M_fd = 100 + 0,6 × 100 = 160 kN m

Dalla tabella 8 si ottiene valore minimo del copriferro c = 25 mm, apertura ammissibile lesio-ni w_k = 0,2 mm.

Per calcestruzzo di classe f_ck = 30 N/mm2 si può considerare f_ct = 2,5 N/mm2. Tabella 14. Tensioni e parametri dell’armatura per limitazione aperture fessure.

s_s2 (N mm– 2) ^wk = 0,4 mm d (mm) c = 20 mm s (mm) w_k = 0,2 mm d (mm) c = 25 mm s (mm) 280 240 200 160 120 100 20 24 30 125 175 200 12 18 24 30 075 100 200 200 ρmin ^fct fsy ---=

Per il calcolo della sezione di acciaio si assume f_yk = 510 N/mm2, barre ad aderenza miglio-rata d = 20 mm con E_s = 210 E6 kN m–2 γs = 1,15; l’armatura necessaria a flessione a rottura (v. C-3.8.4) con γG = 1,35 γQ = 1,50, M_d 100 × 1,35 + 100 × 1,50 = 285 kN m, braccio di leva

z = 0,86 × (0,80 –0,025 – 0,01) = 0,86 × 0,765 = 0,658 m

risulta: A_s = 1000 × 285 × 1,15/0,658 × 510 = 977 mm2: 3 φ 20 (942 mm2 = 9,42 E – 4 m2 1) Situazione di esercizio per verifica a fessurazione: effettuando il calcolo secondo la teoria lineare con E_s/E_c = 15 si ottengono l’altezza della zona compressa y_n e le sollecitazioni nei mate-riali per M_fd

secondo la tabella 9 non è automaticamente soddisfatta la verifica a fessurazione (σs = 200 000 kN/m2, d = 12 mm, s = 75 mm); è allora necessaria verifica completa.

2) Momento di fessurazione: con W = 0,20 × 0,802/6 = 0,0213 m3 (trascurando il contributo dell’armatura metallica) e f_ct = 2500 kN m–2, si ottiene il momento di fessurazione:

M_f = 2500 × 0,0213 = 53,25 kN m; in assenza di azione assiale risulta:

3) Calcolo dilatazione specifica armatura: εs2 = 251090/210E6 = 1,196 E – 3

4) Effetto “tension stiffening”: per barre nervate β1 = 1 e per carico ripetuto β2 = 0,5; dalla (40) si ottiene:

ξ = 1–1,0 × 0,5 × 0,33282 = 0,9446 ε_sml = 0,9446 × 1,196 E – 3 = 1,129E – 3 5) Calcolo apertura lesioni: dalla geometria della sezione e delle armature si ottiene:

h_f = 0,025 + 0,01 + 7,5 × 0,02 = 0,185 m A_cf = 0,20 × 0,185 = 0,037 m2 A_s = 9,42 E – 42 ρf = 0,0255 K₁ = 0,4 K₂ = 1 –

con la (45) si ottiene:

w_m = 1,129E – 3 × 0,128 = 0,145E – 3 m = 0,145 mm

w_k = 1,70 × 0,145 = 0,246 mm > 0,20 ammissibile per ambiente moderatamente aggressivo consi-derato.

6) Revisione progettazione: l’adozione di 4d18 (4 × 254 = 1018 mm2) in sostituzione di 3d20 fornisce, in modo approssimato (considerando invariato il braccio di leva precedentemente calco-lato), ρ_f = 1018E – 4/0,20 × 0,185 = 0,0275

s = 43 mm (diametro massimo inerte 25 mm)

s_rm = 2 × 0,025 + 0,2 × 0,043 + 0,054 = 0,113 m y_n = 0,266m σc2 = – 8904 kN m–2 σs2 = 251090 kN m–2 σsf σs2 --- ^Mf Mfd --- ^53.25 160 --- 0.3328 = = = 0,185 2 0,80( –0,266) --- = 0,827 l_m ^0,4×^0,827×^{0 02}, 4×0,0255 --- 0,0648 m = = s_rm=2×0,025+0,2×0,065+0,0648=0,128 m l_m ^0,4×^0,827×^0,018 4×0,0275 --- 0,054 m = =

ed osservando che ξ, con l’approssimazione di cui sopra, rimane circa invariato

w_m = 0,125 mm w_k = 0,213 mm (~ ammissibile)

3.8.2 Deformazioni

3.8.2.1 Metodo di calcolo. Lo stato di deformazione deve essere controllato rispetto alle condi-zioni di esercizio della struttura per evitare ad esempio rottura di parti vetrate di serramenti, fes-surazione di divisori rigidi, rottura di pavimentazioni, impedito uso di carroponti e di macchine di precisione ecc., spiacevole sensazione di vibrazioni per gli utenti.

Per i primi tre eventi elencati il valore limite del massimo spostamento deve risultare inferio-re a 10 mm e a l/250 (l = luce della struttura); per l’uso di carroponti il limite superiore è l/750. Le deformazioni dipendono dallo stato di fessurazione e dal tempo di applicazione dei cari-chi; il calcolo teorico è basato sul principio dei lavori virtuali integrando il prodotto delle curva-ture medie dovute alle azioni considerate per il momento flettente dovuto a carico unitario nella sezione di calcolo.

Si osserva che le variazioni di rigidezza dovute alla fessurazione generano soltanto variazioni di curvatura e di spostamento nel caso di travi isostatiche mentre nel caso di travi iperstatiche si manifestano anche variazioni delle reazioni sovrabbondanti e quindi modifiche dello stato tensio-nale; in tale caso è quindi necessario fare uso di un procedimento iterativo o di un’analisi non li-neare (entrambi non pertinenti agli scopi del Manuale).

Alcune semplificazioni consentono una valutazione rapida degli spostamenti con perdita di precisione accettabile nella pratica; si assume che in presenza di fessurazione la curvatura media ψm sia esprimibile con una relazione analoga a quella impiegata per definire la deformazione me-dia nell’acciaio, ossia (48):

(48)

con coefficiente di interpolazione fra le curvature corrispondenti allo stato non fessurato 1 e fessurato 2 (fig. 55); le tensioni nell’acciaio dovute a M sono calcolate con le caratteristiche geometriche della sezione parzializzata.

Le curvature menzionate sono espresse da (49):

(49) con I₁ e I₂ momenti quadratici di superficie della sezione omogeneizzata rispettivamente totalmen-te reagentotalmen-te e parzializzata, mentre la rigidezza media è espressa da (50):

(50) Nel caso in cui sia presente anche azione assiale N, definita l’eccentricità (supposta costante al variare di M e N) e = M/N, si osserva che la fessurazione avviene per il valore del momento

M_f definito dalla (51): (51) εsml 1,196E 3 ⁹⁴² 1018 ---× – 1,107 = = E–3 ψm=(1–ξ) ψ 1 +ξψ2 ξ=1–β1 β2 ^Mf M ---2 ψ₁ ^M E_c I₁ ---= ψ₂ ^M E_c I₂ ---= EI ( )m _ψ^M m ---= M_f ^fct 1 A₁e --- ¹ W₁ ---+ ---=

con A₁, W₁, rispettivamente area e modulo resistente della sezione omogeneizzata interamente re-agente e, conseguentemente, che valgono le formule sopra riportate.

Note le curvature, si calcola lo spostamento ritenuto significativo, ad esempio per la sezione di mezzeria di una trave o per l’estremità libera di uno sbalzo facendo uso di formule semplifi-cate, basate sul metodo di integrazione di Simpson, che correlano il parametro desiderato con le curvature in alcune sezioni.

Con riferimento alla figura 56 e con la curvatura relativa alla sezione di momento massimo si ha (52):

(52) Con i metodi esposti in C-3.6 si possono determinare gli effetti tensionali delle deformazioni specifiche differite dei materiali e quindi calcolare le relative variazioni di curvatura dovute al ri-tiro, al rifluimento ed al rilassamento dell’eventuale armatura attiva.

Il ritiro, a causa della presenza di armatura che agisce come vincolo elastico interno, genera tensioni di trazione nel calcestruzzo adiacente e quindi produce direttamente un aumento delle de-formazioni ed indirettamente influenza lo stato fessurativo e quindi ancora le dede-formazioni.

Fig. 55. Interpolazione fra curvatura minima e massima.

δ β= ψl²

48

Le analisi devono considerare la possibile fessurazione con la relativa variazione delle caratteristiche geometriche delle sezioni e quindi condurre alla valutazione della curvatura media ψm per la successiva applicazione al calcolo degli spostamenti; l’esempio seguente evidenzia i passi del procedimento. 3.8.2.2 Esempio. Trave in semplice appoggio di luce 10,00 m, con le caratteristiche dei materiali e della sezione già considerati nell’esempio in C-3.6.2.4, supposte costanti per l’intera lunghezza; le azio-ni nella sezione di mezzeria sono identiche, è richiesto il calcolo dello spostamento totale massimo.

Al tempo t₀ la curvatura nella sezione di mezzeria totalmente reagente prodotta dall’applica-zione immediata dei carichi risulta ψ1(t₀) = 0,7332E – 3m–1 e la sezione risulta fessurata; per

f_ct = 2400 kN m–2 si ottiene con la (26):

la curvatura prodotta sulla sezione parzializzata risulta ψ₂(t₀) = 2,4386E – 3m–1, e le tensioni σ0 = – 7227 kN m–2, γ = 73149 kN m–3, σs = 236715 kN m–2; per M_f sopra calcolato la tensione nell’acciaio vale σsf = σs M_f / M = 0,32 σs.

Considerando uso di barre nervate e carico istantaneo si pone rispettivamente β1 = 1,0 β2 = 1,0 ed il coefficiente di interpolazione fra le curvature vale ξ(t₀) = 1–0,322 = 0,898.

La curvatura media istantanea vale:

ψm(t₀) = [(1 – 0,898) × 0,7332 + 0,898 × 2,4386] E – 3 = 2,264E – 3 m–1 e lo spostamento istantaneo nella sezione di mezzeria (52):

δ(t₀) = 5 × 102 × 2,264E – 3/48 = 0,0236 m

Nel caso in cui l’armatura longitudinale sia costante per l’intera lunghezza della trave, i tratti di lunghezza l = 0,879 m in vicinanza degli appoggi sono soggetti a momento inferiore a M_f così che, per il calcolo degli spostamenti, dovrebbe essere considerata la maggiore rigidezza; l’influen-za sul valore calcolato è trascurabile.

Per effetto del tempo risulta la variazione di curvatura ∆ψ(t–t₀) = 1,157E – 3 m–1 e la tensio-ne tensio-nell’acciaio σ_s = 240877 kN m–2; il corrispondente momento di fessurazione vale:

A causa dell’aumento della tensione nell’acciaio, della diminuzione del momento di fessurazione e delle caratteristiche geometriche della sezione, nonché del valore 0,5 da assegnare a β2 per il carico mantenuto nel tempo, il contributo del calcestruzzo teso è trascurabile e si assume ξ = 1,0. La variazione di curvatura media coincide con il valore ∆ψ₂ e quindi l’aumento della defor-mazione in mezzeria vale:

∆δ(t – t₀) = 5 × 102× 1,157E – 3/48 = 0,0121 m lo spostamento totale vale: δ(t) = 0,0236 + 0,0121 = 0,0357 m

3.8.3 Vibrazioni. Per assicurare un corretto comportamento della struttura, in relazione all’uso inerente, è opportuno che le frequenze dei modi di vibrazione siano sufficientemente discoste da quelle delle forze eccitatrici.

Per il caso in cui è previsto movimento di persone, alcuni valori delle frequenze critiche sono riportati nella tabella 15 [2].

La condizione di non risonanza si scrive < f oppure f > Kf_crit con:

K = numero intero f_crit= frequenza critica

f = frequenza della struttura

Mf ( t )₀ =2400^0,191×^0,0174–0,0044² 0,191×0,57–0,044 ---=51,3 kNm M_f( )t 2400^0,1156×^0,0095 – 0,0204² 0,1156×0,57 – 0,0204 --- 36,17 kN m = = fcrit K

---Gli accorgimenti utili per modificare il comportamento dinamico della struttura consistono in una variazione della rigidezza o della massa o nell’accoppiamento a sistemi di smorzamento.

Per un sistema ad un solo grado di libertà l’equazione di equilibrio dinamico in assenza di forzanti si scrive:

in cuiu è lo spostamento

m è la massa del corpo

c è lo smorzamento viscoso

k è la rigidezza

Per tensioni del calcestruzzo non superiori a 0,7 f_cd e con fessurazione limitata (w_k = 0,2 mm), il rapporto λ = c/c_cr fra lo smorzamento intrinseco c e quello critico c_cr vale circa 0,05 e quindi le frequenze f_c del sistema smorzato non differiscono da quelle f del sistema libero.

Lo smorzamento intrinseco sviluppato dalle strutture in calcestruzzo armato è di tipo isteretico ed è quindi moltiplicatore dello spostamento e non della velocità nella equazione generale di equilibrio dinamico secondo la definizione classica di c.

Opportuni metodi di analisi dinamica consentono di determinare lo smorzamento viscoso equivalente ossia tale da generare la stessa perdita di energia in un ciclo.

Se aumentano oltre ai limiti indicati la tensione nel calcestruzzo e l’apertura delle lesioni, lo smorzamento aumenta ma si osserva un danneggiamento ciclico dei materiali; tale problema è considerato nella trattazione della resistenza a fatica.

Per una valutazione sperimentale del rapporto λ, avendo misurato i picchi u di spostamento rispettivamente ai cicli i ed i + n (dovuti ad esempio ad un urto artificiale) vale la relazione ap-prossimata:

; per λ = 0,055 in 2 cicli si dimezza lo spostamento massimo In assenza di azione assiale, per travi di luce l, con rigidezza EI e carico totale q per unità di lunghezza uniformi, le frequenze proprie del 1° modo sono espresse da (53):

(53) in cui g è la accelerazione di gravità espressa in unità congruenti con quelle delle altre grandezze,

K_n è un coefficiente che dipende dal tipo di vincolo e dal modo considerato secondo la tabella 16. Tabella 15. Frequenze indotte dal pubblico.

Uso edificio Frequenze critiche (s–1)

Palestre Sale da ballo Sale da concerto Marciapiedi e piste ciclabili

8,0 7,0 3,5 1,6-2,5 / 3,5-4,5

Tabella 16. Valori di K_n per (53).

Modo K_n Appoggi Incastro e appoggio Incastri Mensola

1 2 3 K₁ K₂ K₃ 09,87 39,50 88,80 015,4 050,0 104,0 022,4 061,7 121,0 03,52 22,00 61,70 m∂2 u t( ) ∂t² --- c∂u t( ) ∂t ---+ku t( )

Nel documento 3STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO (pagine 81-93)