6. Variazioni brusche di sezione, andamento spezzato dell’asse baricentrico (ad esempio nella zona centrale di una trave a doppia falda): sono causa di concentrazioni di tensioni, per cui deve
3.12 ANALISI NON LINEARE ED EFFETTI DEL 2° ORDINE
3.12.3 Metodo approssimato per telai piani
3.12.3.1 Principi informatori. Supponendo trascurabili gli accorciamenti elastici delle travi, la struttura a telaio è risolta in campo elastico attribuendo alle aste rigidezze secanti ottenute dai
diagrammi di interazione N, M, h / r (h / r = curvatura adimensionale) per valori inizialmente stimati
di MD e ND; oltre alle azioni nelle membrature dovute ai carichi FD, si ottengono spostamenti orizzontali ui ad ogni piano che modificano le rette di azione dei carichi verticali e richiedono una nuova analisi del telaio con la geometria variata (fig. 138).
Si tratta in sostanza di aggiungere alle coordinate dei nodi gli spostamenti uin e di iterare il calcolo fino a quando i valori nel ciclo n differiscono da quelli del ciclo n – 1 di una quantità prefissata ui,n – ui,n–1 < δ.
Ad ogni passo n, essendo noti per ogni membratura del telaio i valori M, N, è necessario ricontrollare, tramite le relazioni di interazione N, M, h/r, se le rigidezze assunte a base del calco-lo devono essere ridotte; in caso affermativo si deve ripetere il procedimento dall’inizio adottando le rigidezze equivalenti calcolate con la (104), secondo lo schema della figura 139 suddividendo la lunghezza in tratti ∆x. (104) ∆Qn+1=Qne n, +∆Qnm+∆Q EI ( )eq l Σ∆---EIx ---=
Per il calcolo delle deformazioni si assumono leggi costitutive correlate alle resistenze medie dei materiali tenendo conto eventualmente anche dell’effetto irrigidente del calcestruzzo teso. 3.12.3.2 Interazione azione assiale, flettente, curvatura. Per una sezione di cui è assegnata la geometria, la posizione e l’area delle armature ed i relativi legami tensioni-deformazioni dei ma-teriali, ad ogni coppia di valori di valori dei parametri ε0 e ψ che definiscono il campo delle de-formazioni corrisponde una coppia di azioni interne N,M.
Prefissando l’azione assiale N, al variare di M, è possibile determinare il campo pure variabi-le delvariabi-le deformazioni e quindi ricavare il variabi-legame M, ψ; si osserva che varia anche ε0 e quindi la deformazione assiale dell’elemento εl = ε0 + yl×ψ = con yl ordinata del baricentro.
Fig. 138. Effetti del 2° ordine nei telai piani.
La relazione differenziale di equilibrio valida in campo elastico
per un tronco dx di trave soggetto ad M(x) e conseguentemente deformato con legge y(x), può es-sere considerata valida allo scopo di determinare, noti N, M, ψ, la rigidezza corrispondente EI(x); si noti come in tal modo si possa definire soltanto il valore del prodotto EI(x) e come questo di-penda anche dal valore della azione assiale N e del momento M attraverso ε0 e ψ.
La relazione completa di interazione N, M, ψ è rappresentabile nel piano M, 1/r con un fa-scio di curve ognuna corrispondente ad un valore di N (fig. 140).
A causa della non linearità del legame tensioni-deformazioni del calcestruzzo, non è possibile, anche per le forme più semplici di sezione, la determinazione analitica del legame di interazione ed è quindi necessario procedere con metodi numerici per ogni caso assegnato; il numero e la ri-petizione dei calcoli necessari richiedono l’uso dell’elaboratore.
Le equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione della sezione si scrivono rispetti-vamente (105):
(105)
in cui ∆Ac e ∆As sono rispettivamente le aree elementari di calcestruzzo e di acciaio, poste a di-stanza yc, ys dal punto O della sezione completa.
σc, σs dipendono da ε tramite le leggi tensioni-deformazioni; il campo delle deformazioni è dato da ε = ε0 + yψ.
Si assumono come incognite ε0 e ψ (fig. 141) rispettivamente deformazione specifica di rife-rimento su un punto O e inclinazione sulla verticale del diagramma delle deformazioni.
Per ogni valore prefissato di ψ, che assume il ruolo di variabile indipendente per il calcolo di M, è possibile determinare ε0 in modo che risulti soddisfatto l’equilibrio alla traslazione e quin-di ricavare M; al variare quin-di ψ, per intervalli ∆ψ prefissati, dalla relazione di equilibrio alla rota-zione si ottengono quindi valori numerici della relarota-zione di interarota-zione cercata.
Si osserva che, per l’effetto irrigidente del calcestruzzo (C-3.7.1.1) fra due lesioni, si dovreb-be introdurre nel calcolo della curvatura la deformazione media dell’acciaio εsm; tenendo conto
M x( ) EI x( ) --- – d2 y x ( ) dx2 --- – 1 r --- ψ = = = Fig. 140. Interazione N, M, 1/r. Σ∆Acσc+Σ∆Asσs = N Σ∆Acycσc+Σ∆Asysσs = M
che l’analisi è dedicata al comportamento strutturale sotto azioni elevate, alle quali corrispondono tensioni nell’acciaio altrettanto elevate, tale effetto è trascurabile.
Per il calcolo di ε0 si usa il metodo di Newton-Raphson di successiva approssimazione che normalmente converge entro l’errore massimo del 1% in 4 o 5 cicli; assegnati due valori iniziali ε01 ed ε02 = ε01 + ∆ε0, e calcolate con la prima delle (105) le corrispettive azioni assiali N1, N2, una migliore approssimazione è fornita dalla estrapolazione lineare (106)
(106) che viene impiegata iterativamente fino a quando risulta N – Ni < ∆N con ∆N errore massimo prefissato (ad esempio si pone ∆N/N = 0,001).
I calcoli sono ovviamente terminati quando, per N assegnato, al crescere di ψ si raggiunge la rottura di uno dei materiali.
Nel caso della sezione rettangolare, assumendo valide anche per il calcolo delle deformazioni le leggi costitutive dei materiali (54 e 55), sostituendo comunque in queste le resistenze caratteri-stiche a quelle di progetto, i legami azioni-deformazioni risultano dalle (61)-(62)-(63).
3.12.3.3 Esempio. Per la sezione rettangolare rappresentata nella figura 141 impostare il calcolo della relazione momento curvatura per N = – 680 kN e con calcestruzzo avente resistenza media
fcm = 30 000 kN m–2, εcc = – 2 E – 3.
Si stabilisce per ψ l’incremento ∆ψ = 0,5 E – 3. Per determinare un valore iniziale per ε0, ponendo:
αs=Es/Ec=10, Es=21E7kNm–2, Ec=30E6kNm–2, Ai=0,30×0,40+2×10×8,24 E–4=0,1365 m2 si ottiene:
Si pone:
ψ1 = 0 + 0,5 E – 3 = 0,5E – 3 ε0,1 = [– 0,1661 – 0,05] E – 3 = – 0,2161 E – 3 e si calcola con le (61) ε0=ε01+∆ε0
N–N1 N2 N– i
---Fig. 141. Sezione per ricerca relazione momento-curvatura. ε0
680 – 0,1365×30E 6
--- –0,1661E– 3 ψ=0 (risulta quindi anche M = 0)
Poiché N1,1≠N si pone ε0,2 = [– 0,2161 – 0,05] E – 3 = – 0,2661E – 3 e, lasciato invariato ψ, si calcola N2,1 = – 609 – 57,5 = – 666,5 kN.
Si determina con la formula di Newton-Raphson (104)
e quindi N3,1 = – 622,7 – 58,5 = – 681,3 kN.
Ritenendo il valore calcolato sufficientemente approssimato a quello prefissato, si calcola:
Risulta quindi determinata una coppia di valori ψ1 = 0,5E – 3; M1 = –119,7 kN m, corrispon-denti a h/r = 0,37 × 0,5 E – 3 = 0,185 E – 3.
Poiché le azioni calcolate sono applicate al centro O, si calcolano quelle equivalenti sul cen-tro geometrico:
NG = – 681,3 kN MG = – 119,7 + 681,3 × 0,40/2 = + 16,6 kN m
Si procede in modo analogo per ψ2 e così di seguito; il diagramma completo, calcolato me-diante programma, è riportato nella figura 142.
3.12.3.4 Metodo N,a. In alternativa a quello generale trova impiego il metodo detto N, a, op-pure P, ∆, che approssima sufficientemente l’effetto degli spostamenti mediante applicazione ad ogni piano i di forze orizzontali addizionali e fittizie tali da generare azioni circa equivalenti a quelle derivanti dagli spostamenti dei punti di applicazione dei carichi (107).
(107) in cui ai = ui – ui+1 è lo spostamento relativo del piano i rispetto a quello sottostante dovuto alle forze orizzontali Fi; Ni è la somma di tutti i carichi verticali del piano i e di quelli soprastanti (fig. 143).
Tale relazione è esatta per aste incernierate alle estremità, nelle quali il momento del secondo ordine N a cresce linearmente dalla sommità alla base; nel caso di aste con incastri elastici, come quelle di un telaio, la relazione è a favore di sicurezza poiché la deformata si discosta dalla pre-cedente in direzione sfavorevole alla sommità ove è minore il momento del 2° ordine e in dire-zione favorevole alla base ove il momento è maggiore.
Si effettua una seconda risoluzione del telaio considerando agenti ad ogni piano le forze
Hi + Fi ed ottenendo nuovi spostamenti ai2; se questi differiscono molto dagli ai1 calcolati prece-dentemente, si ripete il calcolo delle nuove forze Hi2 e si itera fino ad ottenere la convergenza.
In pratica si osserva che i momenti flettenti nelle colonne aumentano ad ogni passo di calco-lo all’incirca secondo una progressione geometrica di ragione α < 1 e quindi il valore asintotico risulta (108). (108) N1.1 –0,30×30000 3×0,5E–3 --- –0,2161 2 – --- 2×(–3( )–2 –0,2161)E–3 = 405– + = + 8,24E[ –4×21E7 2( (– 0,2161)+(0,03+0,37)×0,5)E–3 = –40,2]= – 445,2 kN ε0.3 – 0,2161–0,05 –680 + 445,2 665,5 + 445,2 – --- = E–3=–0,2692E–3 M1 –0,30×30000 120,5E–3 ( )2 --- –0,2692 2 – --- 2 0,2692E – –3 ( )(4×( )–2 –0,2692)E–3=–113,0 = + 8,24E[ –4×21E7(–0,2692+0,03×0,5)0,03+ +(–0,2692+0,37×0,5)0,37)E–3 =– 6,7] = –119,7 kN m Hi ai li ---- Ni = – Hi–1 Ni j 1 n
∑
(Nij)+Ni–1 = M M1 1–α ---= α M2–M1 M2 --- ≈ M3–M2 M3 ---=I carichi verticali ed orizzontali sono amplificati con coefficienti γQ, mentre le resistenze ca-ratteristiche dei materiali sono divise per i coefficienti γm per ottenere rispettivamente le azioni esterne ed interne di progetto.
Il metodo non necessita quindi dell’aggiornamento ad ogni passo della geometria della struttura ma richiede comunque il calcolo delle forze orizzontali fittizie e ovviamente la modifica delle rigidezze. 3.12.4 Metodo della colonna modello. Tale metodo si applica a colonne con schema struttura-le riconducibistruttura-le ad incastro alla base e sommità libera (fig. 144).
Si ipotizza che la deformata della colonna sia di tipo cosinusoidale e si scrivono le equazioni di equilibrio nella configurazione deformata; indicando con 1/r0 la curvatura alla base della colonna, e con a lo spostamento in sommità, la deformata risulta: e quindi con l0 = 2l
(109)
Fig. 142. Relazione momento-curvatura risultante.
y a 1 πx 2l ---cos – = 1 ro ---- d2y d x2 ---x=0 a π l0 --- 2 = = ossia a 1 ro ---- lo π 2 =
Fig. 143. Metodo N, a.
Il momento flettente M0 alla base della colonna è somma di due contributi:
(110) con: M1 = Ne + Hlmomento del 1° ordine
M2 = Na momento del 2° ordine, che risulta per la (109) funzione lineare di Note le caratteristiche geometriche della sezione della colonna ed il legame tensioni-deforma-zioni dei materiali che la costituiscono, è possibile determinare la relazione di interazione M0 (N, 1/r0) (fig. 145) e quindi:
(111) Il momento del secondo ordine cresce linearmente con 1/r0 in accordo alla (109); il momento
M1max è dato dalla massima differenza tra M0 e M2.
La trattazione precedente presuppone che la deformata della colonna abbia andamento cosinu-soidale; il risultato ottenuto con tale ipotesi è tanto più corretto quanto più i carichi esterni indu-cono nella colonna una deformata vicina a quella ipotizzata.
Esistono alcune varianti al metodo che consentono di ridurre l’approssimazione dei risultati dovuta a tale scostamento.
Il metodo è applicabile anche a colonne con vincoli diversi alle due estremità poste a distan-za l; in tal caso, considerando la opportuna deformata, si determina la sezione critica ove si va-luta il momento M e quindi si considera la relativa altezza di inflessione l0.
Nelle analisi occorre tener conto dell’effetto del rifluimento che esalta la deformabilità della struttura; a questo scopo si modifica il legame costitutivo del calcestruzzo moltiplicando le defor-mazioni per (1 + φ), con φ funzione di rifluimento (C-3.4.1.1).
Poiché le imperfezioni di costruzione non consentono di garantire l’esatta posizione dei cari-chi verticali rispetto all’asse geometrico della colonna, è bene tenere in conto un’eccentricità non intenzionale di questi pari a e = l/300 con un minimo di 20 mm (che porta ad una diminuzione del massimo momento del primo ordine pari a N e).
Nelle figure 146, 147 e 148 sono riportate per sezione rettangolare, e valori 0,1; 0,2 e 0,3 del rapporto meccanico di armatura ρm = Asfsd /(fcdAc = Nc) le curve che rappresentano i valori µ = M0 / hNc in funzione delle curvature adimensionali h/r, per valori discreti di ν = N/Nc e che
M0 = M1+M2
1
ro
----M1=M0–N a
consentono di determinare graficamente il valore di µ1max; le curve sono relative agli effetti im-mediati e a εsn = 2 E – 3.
Il momento adimensionale del secondo ordine è espresso da (112):
(112)
Fig. 146. Diagramma per metodo della colonna modello con: ρm = 0,10.
µ2 υ π2 ---= lo h --- 2 h r
---Per le sezioni rettangolari, indicando con la snellezza, il momento adimensionale del secondo ordine è esprimibile anche con: ; nei grafici sono quindi riportati segmenti corrispondenti a valori discreti di υλ2 per h/r = 0,0030; 0,0045 che consentono di trac-ciare agevolmente l’andamento (rettilineo) di µ2.
Fig. 147. Diagramma per metodo della colonna modello con: ρm = 0,20.
λ lo 12 h ---= µ2 υ 12π2 ---= λ2 h r
---3.12.4.1 Esempio colonna modello. Con riferimento alla figura 149, si assume:
Fig. 148. Diagramma per metodo della colonna modello con: ρm = 0,30.
γH H = 8,5 kN γN N = 600 kN e = 0,02 m
M1D=8,5×8+600×0,02=80,0 kN m
rapporto meccanico di armatura ρm = 714 E – 4 × 420000/3000 = 0,10
lunghezza di libera inflessione l0 = 2 × 8,0 = 16,0 m, snellezza azione assiale adimensionalizzata ν = 600/3000 = 0,20
Nel grafico corrispondente a ρm = 0,10 (fig. 150), si traccia la retta corrispondente a υλ 2= 2457. Volendo evitare l’interpolazione fra i valori υλ2 = 2000; 2500 si possono determinare due punti di appartenenza alla retta µ2, ad esempio
h/r =0,003; 0,0045 µ2 = 0,0623; 0,0934
Il massimo valore di µ1 = µ – µ2 vale circa 0,055 = 0,130-0,075 per h/r = 0,00365; risulta quindi M1R = µ1 hNc = 0,055 × 0,50 × 3000 = 82,5 kN > M1D = 80,0 kN m e la verifica è quindi sod-disfatta.
Lo spostamento teorico della sommità della colonna calcolato per la curvatura adimensionale
h/r = 0,00365 risulta (109):
il momento totale alla base è quindi M = 600 (0,189 + 0,020) + 8,5 × 8,0 = 193,7 kN m.
Se le azioni di progetto sono permanenti, assumendo per la funzione di rifluimento il valore φ = 2,2, lo spostamento alla sommità diviene:
a(t) = (1 + 2,2) × 0,189 = 0,605 m ed il momento alla base:
M(t) = 442,9 kN m > MR = 0,130 × 0,50 × 3000 = 195 kN m
e quindi la verifica non è soddisfatta ed è messa in evidenza la possibilità di un collasso per ef-fetto del rifluimento.
Fig. 149. Caratteristiche geometriche della colonna.
Nc= 0,30×0,53×18865 = 3000 kN fsk = 483000 kN m–2 γs = 1,15 fsd =420000 kN m–2 λ=16 12⁄0,5 = 110,85 a 0,00365 0,50 --- 16,0 π --- 2 0,189 m = =
3.13 CRITERI PER LA DISPOSIZIONE DELLE ARMATURE E DISEGNO