Diamo la seguente
Definizione 6.14. Un punto C è un centro di simmetria per una quadrica (conica)Q se per ogni retta per C che interseca la quadrica in due punti distinti P1, P2, C è il punto medio tra P1e P2.
Il cento di simmetria, se esiste, è caratterizzato dalla segunete Proposizione 6.15. SiaQ una conica di equazione
P⊤AP + 2a⊤P + a00 = 0.
Allora un punto C è un centro di simmetria se e solo se C è soluzione del sistema
AP + a = 0 . (6.20)
Dimostrazione. Supponiamo che C sia un centro di simmetria e sia r una retta per C con direzione u non asintotica, cioè tale che u⊤Au , 0. Siano P1 e P2 i due punti di intersezione diQ con r. Allora, per definizione di centro,
C = P1+ P2
2 .
Se parametrizziamo la retta r come P = C + tu i due punti di intersezione sono P1 = C + t1u e P2 = C + t2u dove t1e t2 sono le soluzioni dell’equazione
(u⊤Au) t2+ 2(u⊤AC + u⊤a) t +Q(C) = 0 . Segue che, da un lato,
C = P1+ P2
2 = C + t1u + C + t2u
2 = C + t1+ t2 2 u, quindi t1+ t2 = 0, dall’altro lato
−(t1+ t2) = 2(u⊤AC + u⊤a) u⊤Au da cui
u⊤AC + u⊤a = 0 .
Infine, siccome esiste sempre una base dello spazio formata da direzioni non asintotiche, l’ultima equazione implica che AC + a = 0 come richiesto.
Ripercorrendo i passaggi al contrario si ottiene immediatamente il viceversa.
Osservazione 6.16. Dato un punto C si definisce riflessione centrale con cen-tro in C la trasformazione affine ϕ : E3 → E3 definita da ϕ(P) = 2C − P.
Una definizione alternativa di centro di simmetria è la seguente: C è un cen-tro di simmetria per una quadricaQ se il polinomio F(x, y, z) che definisce la quadrica soddisfa alla condizione
∀P ∈ Q , F(P) = λ F(2C− P) , λ∈ R, λ , 0, (6.21) cioè se la riflessione centrale con centro in C trasforma la quadrica in se stessa.
Il lettore dovrebbe provare a dimostrare che le due definizioni sono equivalenti.
Per questo basta dimostrare che un punto C soddisfa la (6.21) se e solo se è soluzione del sistema (6.20).
Essendo gli eventuali centri di simmetria di una quadrica soluzioni di un si-stema lineare la cui matrice dei coefficienti è la matrice A della quadrica, un discussione attenta del sistema, utilizzando il Teorema di Rouché-Capelli, conduce alla seguente
Proposizione 6.17. SiaQ una quadrica (conica).
(a) Se δ = det(A) , 0, allora esiste un unico centro di simmetria.
(b) Se δ = det(A) = 0 e ∆ = det( ˜A) , 0, allora non esiste alcun centro di simmetria.
(c) Se δ = det(A) = 0 e ∆ = det( ˜A) = 0 eQ è una conica allora esiste una retta di centri di simmetria. SeQ è una quadrica esistono tre possibilità:
non esiste alcun centro; esiste una retta di centri; esiste un piano di centri.
Dimostrazione. Un eventuale centro di simmetria è soluzione del sistema (6.20).
(a) – Se δ = det(A) , 0 la matrice del sistema ha rango massimo e quindi il sistema ammette un unica soluzione.
(b) – Supponiamo adesso che δ = det(A) = 0 e ∆ = det( ˜A) , 0. La matrice dei coefficienti del sistema AP + a = 0 è A mentre la matrice completa del sistema (a meno del segno dell’ultima colonna che in ogni caso non altera il rango) è
Essendo det(A) = 0 la matrice dei coefficienti del sistema ha rango minore di 3 mentre la matrice completa del sistema, essendo una sottomatrice della ma-trice ˜A ed avendo quest’ultima rango massimo, ha rango 3. Dal Teorema di Rouche-Capelli segue che il sistema è incompatibile e quindi non esiste alcun centro di simmetria.
(c) – Supponiamo che δ = det(A) = 0 e ∆ = det( ˜A) = 0 e cheQ sia una conica.
Il rango della matrice A è 1. Dimostriamo che anche il rango della matrice completa
a11 a12 a10
a12 a22 a20
!
(6.23) vale 1. Siccome det( ˜A) = 0 una delle colonne di ˜A è combinazione lineare delle altre. Se fosse la terza colonna allora anche la terza colonna della (6.23) sarebbe combinazione lineare delle altre ed il sistema risulterebbe compatibile.
Supponiamo adesso che la terza colonna non sia combinazione lineare delle altre e che il rango della (6.23) sia, per assurdo, 2. Dalla simmetria di ˜A le righe della matrice (6.23) corrispondono alle prime due colonne della matrice A. Siccome per ipotesi la (6.23) ha rango 2 le prime due colonne di ˜˜ A sono linearmente indipendenti ed essendo la terza colonna linearmente indipendente con le prime due segue che il rango di ˜A è uguale a 3 in contraddizione col fatto che det( ˜A) = 0. Il sistema risulta quindi compatibile ed ammette∞1soluzioni che formano una retta.
Nel caso in cuiQ sia una quadrica la situazione è più complessa. Infatti il rango di A può essere sia 2 che 1. Se il rango di A fosse 2 un ragionamento analogo a quello visto sopra dimostrerebbe che il sistema AP + a = 0 è compatibile ed ammette∞1soluzioni che formano una retta. Se il rango di A è 1 ci sono due possibilità: il rango di (6.22) è due, ed in questo caso il sistema è incompatibile;
il rango di (6.22) vale 1 e il sistema AP + a = 0 è compatibile ed ammette∞2
soluzioni che formano un piano.
L’importanze del centro in geometria affine risiede nella sua invarianza per trasformazioni geometriche come illustrato nella seguente
Proposizione 6.18. Fissato un riferimento affine nello spazio (piano) sia C il centro di una quadrica (conica)Q definita dall’equazione F(x, y, z) = 0 e sia ϕ : E3 → E3 una trasformazione affine. Allora C′ = ϕ(C) è il centro della quadricaQ′, immagine diQ tramite ϕ, definita dall’equazione F′(x′,y′,z,′) = F◦ ϕ−1(x′,y′,z′) = 0.
Dimostrazione. Usiamo la definizione di centro data nella Osservazione 6.16.
Quindi C è un centro per la quadricaQ se esiste λ ∈ R, λ , 0 tale che F(P − 2C) = λF(P) per ogni P∈ Q. Sia quindi P′ = ϕ(P), con P∈ Q. Allora
F′(P′) = F ◦ ϕ−1(P′) = F(P) = λ F(2C− P)
= λ F(2ϕ−1ϕ(C)− ϕ−1(P′))
= λ F◦ ϕ−1(2C′− P′)
= λF′(2C′− P′) . (6.24)
La (6.24) dice esattamente che C′ = ϕ(C) è un centro per la quadricaQ′. Il let-tore dovrebbe però fare attenzione che la trasformazione affine ϕ non è lineare, quindi l’uguaglianza tra la seconda e la terza riga della (6.24) non discende per linearità e, di conseguenza, va dimostrata (per esercizio) esplicitamente. Se una quadrica (conica) ha un centro di simmetria C possiamo scegliere un riferimento affine con origine in C. Rispetto a tale riferimento l’equazione che definisce la quadrica (conica) è di tipo speciale, come mostra la seguente Proposizione 6.19. Rispetto ad un riferimento affine con origine in un centro di una quadrica (conica) Q il polinomio F(x, y, z) che definisce la quadrica (conica) non presenta i termini di primo grado. Viceversa, se il polinomio F(x, y, z) che definisce la quadrica (conica) non presenta i termini di primo grado l’origine è un centro di simmetria.
Dimostrazione. Supponiamo che il centro di una quadricaQ di equazione P⊤AP + 2a⊤P + a00 = 0
sia l’origine. Sia P un punto della quadrica, allora, essendo l’origine il punto medio tra P e P′ =−P, segue che P′ =−P ∈ Q. Si ottiene quindi
P⊤AP + 2a⊤P + a00− [(−P)⊤A(−P) + 2a⊤(−P) + a00] = 0− 0 = 0 , la quale, dopo le ovvie semplificazioni, implica che
4a⊤P = 0 , ∀ P ∈ Q.
Viceversa, se a = 0 allora il sistema (6.20) che caratterizza i centri di una quadrica è omogeneo di conseguenza l’origine è un centro di simmetria.