4.5 Classificazione delle isometrie dello spazio
5.1.7 Circonferenza su un piano qualunque dello spazio
Sia (O,{i, j, k}) un riferimento ortogonale dello spazio euclideo e sia ax + by + cz + d = 0 l’equazione di un piano α. Sia C∈ α un punto del piano e sia R un numero reale. Possiamo considerare la circonferenza del piano α di centro C e raggio R. Vogliamo determinare l’equazione cartesiana e parametrica di tale
circonferenza.
Per risolvere il problema analizziamo da prima l’intersezione di un piano con una sfera. Sia quindi kP − Ck2 − R2 = 0 l’equazione di una sfera S e sia P = P0+su+tv una parametrizzazione di un piano α con{u, v} base ortonormale della giacitura di α. In questo modo (s, t) sono coordinate cartesiano del piano.
Risolvendo il sistema
kP − Ck2− R2 = 0 P = P0+ su + tv si perviene all’equazione in s e t
k(P0− C) + su + tvk2− R2 = 0 , che è equivalente alla
s2+ t2+ 2h(P0− C), uis + 2h(P0− C), vit + kP0− Ck2− R2 = 0
la quale rappresenta, tranne in un caso, una circonferenza del piano α (even-tualmente immaginaria). Il caso singolare si verifica quando l’equazione del-l’intersezione diviene s2+ t2 = 0. Questo succede quando P0è tale che (P0−C) è perpendicolare sia u che a v ed inoltre la distanza di P0 da C è pari al rag-gio della sfera, cioè P0 è un punto della sfera. Non è difficile convincersi che sotto queste condizioni il piano α risulti tangente alla sfera nel punto P0. L’in-tersezione del piano con la sfera contiene il solo punto P0 di coordinate reali (s, t) = (0, 0). Ciò nonostante, il polinomio s2+ t2 può essere decomposto in C nella forma (t + is)(t− is) è quindi l’equazione s2+ t2 = (t + is)(t− is) = 0 rappresenta due rete immaginarie incidenti in un punto reale.
Questo fatto suggerisce che l’equazione di una circonferenza di un piano α possa essere data come intersezione del piano α con una opportuna sfera. Bi-sogna verificare che dati α e una circonferenzaC di α con centro in C esista una sferaS la cui intersezione con α sia C. La verifica di questo fatto è immediata, infatti basta prendere un qualsiasi punto C′ sulla retta per C perpendicolare al piano α e considerare la sfera di centro C′ e raggio pari alla distanza di C′ da un qualsiasi punto diC.
Esercizio costruttivo è il viceversa: data una circonferenza C ottenuta come intersezione di una sfera di centro C e raggio R con un piano α di equazione
ax + by + cz + d = 0, determinare il centro ed il raggio. L’equazione cartesiana della circonferenza è
k(P − C)k2− R2 = 0 ax + by + cz + d = 0 .
Per determinare il centro C′ della circonferenza basta considerare la retta r perpendicolare ad α e passante per C, per ovvie ragioni geometriche C′ è il punto di intersezione della retta r con il piano α. Per determinare il rag-gio R′ della circonferenza basta applicare il teorema di Pitagora al triangolo di vertici CC′P dove P è un qualsiasi punto della circonferenza. Segue che d(C, P)2 = d(C, C′)2+ (C′,P)2, ovvero, R2 = d(C, C′)2+ R′2, da cui segue che R′ = p
R2− d(C, C′)2.
Se invece si vuole determinare l’equazione parametrica della circonferenza α∩ S si procede nel modo seguente. Sia C′ il centro della circonferenza e sia P un suo punto. Sia {u, v} una base ortonormale della giacitura del piano α.
Denotiamo con θ l’angolo che C′P forma con il vettore u, segue che OP = OC′ + C′P = OC′ + R′cos θu + R′sin θv. Sostituendo, in quest’ultima, le componenti di OC′, u e v rispetto ad una base ortonormale{i, j, k} dello spazio euclideo si ottiene la parametrizzazione della circonferenza.
5.1.8 Esercizi
1. Determinare l’equazione della circonferenza avente centro nel punto di intersezione delle rette y = x e x + y + 2 = 0 e passante per l’origine degli assi .
2. Determinare l’equazione della circonferenza avente per diametro il seg-mento OA con A = (−6, −4).
3. Determinare l’equazione della circonferenza avente centro nel punto C = (−3, −2) e tangente all’asse x.
4. Determinare l’equazione della circonferenza di centro C = (−4, −1) e tangente alla retta di equazione x + y + 1 = 0.
5. Dal centro della circonferenza x2 + y2 = 2ax, a ∈ R, è tracciata la retta parallela alla retta x + 2y = 0. Detti A e B i punti di intersezione tra la retta e la circonferenza, determinare l’area del triangolo AOB.
6. Data la circonferenza x2+ y2− 4y = 0 determinare le rette tangenti alla circonferenza (se ve ne sono), e passanti per il punto A = (0, 6).
7. Dato il fascio di circonferenze (1 + k)x2+ (1 + k)y2− 12x − 4(1 + k)y = 0, k∈ R, determinare il valore di k per cui si ottiene:
• la circonferenza passante per (−1, −1);
• la circonferenza tangente nell’origine alla retta 3x + 2y = 0;
• la circonferenza che ha il centro sulla retta x + y + 4 = 0;
• la circonferenza che ha il raggio pari a √ 5.
8. Tra le circonferenze passanti per A = (1, 0) ed ivi tangenti alla retta di equazione x− y − 1 = 0 si trovino quelle di raggio 21√2
9. Data la circonferenza di equazione x2+ y2 + 2x− 2y − 3 = 0 ed il suo punto A = (0, 3) determinare:
• centro e raggio;
• l’equazione della retta tangente alla circonferenza in A;
• gli altri vertici del quadrato inscritto nella circonferenza ed avente un vertice in A;
10. Dati tre punti A = (1, 0), B = (3, 4) e C = (2, 3) determinare:
• l’area del triangolo di vertici ABC;
• l’equazione della circonferenza circoscritta al triangolo ABC.
11. Date le circonferenze x2+y2 = R21e (x−α)2+y2 = R22con α−R2 >R1, α >
0, determinare le equazioni delle rette tangenti alle due circonferenze.
12. Dimostrare che l’asse radicale di due circonferenze coincide con il luogo geometrico dei punti del piano aventi la stessa potenza rispetto alle due circonferenze.
13. Dato il fascio di rette generato dalle rette y− x = 0 e y + 2x − 1 = 0, determinare l’equazione della circonferenza con centro in C = (2, 0) e tangente a due rette perpendicolari del fascio.
14. Determinare la circonferenza del fascio x2+ y2− kx = 0, k ∈ R, tangente alla retta y− x − 4 = 0.
15. Sia C una circonferenza di centro C e raggio R. Si definisce inversione per raggi reciproci l’applicazione Inv : R2 \ {C} :→ R2 \ {C} definita nel modo seguente: per un dato punto P del piano Inv(P) = P′è il punto di intersezione della retta r per C e P con la polare del punto P. La circonferenzaC è detta circonferenza di inversione.
• Se P = (x, y), dimostrare che
Inv(P) = R2(P− C) kP − Ck2 + C
• Dimostrare che Inv ◦ Inv(P) = P, cioè Inv ◦ Inv è la applicazione identità. Un’applicazione con tale proprietà si dice involuzione.
• Dimostrare che l’immagine di una circonferenza contenuta all’in-terno della circonferenza di inversione non passante per l’origine è una circonferenza.
• Dimostrare che l’immagine di una circonferenza contenuta all’in-terno della circonferenza di inversione passante per l’origine è una retta.
• Cosa si può dire dell’immagine di una circonferenza secante la circonferenza di inversione?
• Studiare l’immagine di una retta nei tre casi: passante per l’origine, secante la circonferenza di inversione e tangente alla circonferenza di inversione.
16. Sia S2(1) = {P ∈ E3 : d(O, P) = 1} la sfera centrata nell’origine di raggio 1 e sia N = (0, 0, 1) il polo nord. Si definisca l’applicazione prN : S2(1)\ {N} → R2 nel modo seguente: prN(P) = (x, y), con (x, y) coordinate del punto di intersezione della retta r, passante per N e P, con il piano equatoriale z = 0. L’applicazione prN si chiama proiezione stereografica dal polo nord.
• Dimostrare che se P = (x0,y0,z0), allora prN(P) = x0
1− z0
, y0 1− z0
!
• Dimostrare che l’inversa di prN è data da pr−1N (x, y) = 2x
1 + x2+ y2, 2y
1 + x2+ y2, x2+ y2− 1 1 + x2+ y2
!
• Calcolare in modo analogo l’applicazione prS : S2(1)\ {S } → R2 dove S = (0, 0,−1) è il polo sud.
• Dimostrare che l’applicazione prN ◦ pr−1S : R2 \ {O} :→ R2\ {O} è l’inversione per raggi reciproci rispetto alla circonferenza del piano centrata nell’origine di raggio 1.