1. Siano A1,A2, . . . ,An, n punti arbitrari di uno spazio affine. Un punto G si chiama baricentro se
GA1+ GA2+· · · + GAn= 0.
• Dimostrare che se G esiste allora è unico.
• Sia O un qualsiasi punto dello spazio affine. Dimostrare che OG è caratterizzato dalla formula
OG = 1
n(OA1+ OA2+· · · + OAn)
Soluzione (1)Supponiamo esista H con HA1 + HA2 +· · · + HAn = 0.
Segue che 0 = GA1 + GA2+· · · + GAn− (HA1+ HA2+ · · · + HAn) = (GA1−HA1)+· · ·+(GAn−HAn) = (GA1+A1H)+· · ·+(GAn+AnH) = nGH, da cui la tesi G = H. (2) OG = OAi + AiG, ∀i = 1, . . . , n. Segue che nOG =P OAi+P AiG =P OAi.
2. Dimostrare che le diagonali di un parallelogramma si intersecano nel loro punto medio, cioè se AA′B′B è un parallelogramma e se M soddisfa AB′= 2AM, allora A′B = 2A′M.
3. Dati tre punti A, B e C di un piano affine si consideri il baricentro G.
• Dimostrare che G è il punto di incontro delle mediane del triangolo A, B, C e che divide ogni mediana in due parti una doppia dell’altra.
• Dimostrare che noti due vertici del triangolo ed il baricentro è noto il rimanente vertice.
4. Dimostrare che esiste un’unica retta affine contenente due dati punti A, B di uno spazio affine.
5. Sia ϕ : A → A′una trasformazione affine. Dimostrare che l’applicazio-ne indotta f : V → V′è un isomorfismo.
6. Data una trasformazione affine ϕ : A→ A un punto M ∈ A si dice fisso se ϕ(M) = M. Dimostrare che ϕ ha un unico punto fisso se e solo se l’isomorfismo indotto f : V → V ha solo il punto fisso 0 ∈ V.
7. Dimostrare che una trasformazione affine ϕ : A → A′ manda tre punti allineati in tre punti allineati. Allineati significa che appartengono ad una stessa retta affine.
8. Determinare una trasformazione affine di un piano affine che mandi i vertici di un triangolo A, B, C sui loro punti simmetrici rispetto ai punti medi dei lati opposti. Dove dato P il suo simmetrico rispetto a M è il punto P′tale che MP+MP′ = 0. (Aiuto: fissare un sistema di riferimento affine utilizzando i punti A, B, C).
9. Una trasformazione affine ϕ di un piano affine A in se stesso è una prospettività se ha una retta affine F di punti fissi e se per ogni punto A, B∈ A i vettori Aϕ(A) e Bϕ(B) sono paralleli.
• Fissato un riferimento affine (O, e1,e2) sul piano con O ∈ F, e1 parallelo alla giacitura di F e e2 parallelo a Aϕ(A), determinare le espressioni x′1 = ϕ1(x1,x2), x′2= ϕ2(x1,x2) della prospettività.
• Se rispetto ad un sistema di riferimento affine del piano una trasfor-mazione è data da x′1= 4x1+ x2− 5, x′2 = 6x1+ 3x2− 10, dimostrare che è una prospettività.
2
Generalit`a sugli spazi euclidei
2.1 Il prodotto scalare
Un prodotto scalare su uno spazio vettoriale V è una forma bilineare h, i : V × V → R
simmetrica e definita positiva, cioè tale che:
(a) hv, wi = hw, vi per tutti i v, w ∈ V;
(b) hv, vi ≥ 0 per tutti i v ∈ V e hv, vi = 0 se e solo se v = 0.
Definizione 2.1. Uno spazio vettoriale euclideo è uno spazio vettoriale dotato di un prodotto scalare.
Esempio 2.2. Lo spazio Rncon il prodotto scalare canonico hv, wi =
n
X
i=1
viwi
dove v = (v1, . . . ,vn), w = (w1, . . . ,wn), è uno spazio vettoriale euclideo.
Ricordiamo alcune definizioni e proprietà.
• Dato uno spazio vettoriale euclideo definiamo la norma di un vettore v∈ V come kvk = √
hv, vi.
• Due vettori v, w ∈ V si dicono perpendicolare o ortogonali (si scrive v⊥ w) se hv, wi = 0.
• Una base B = {e1, . . . ,en} si dice orto-normale se hei,eji = δi j =
1 se i = j 0 se i , j
cioè se i vettori della base hanno tutti norma 1 e sono a due a due ortogonali.
• Un vettore v ∈ V si decompone rispetto ad una base orto-normale B = {e1, . . . ,en} come v =P
ihv, eii ei.
• Rispetto ad una base orto-normale, il prodotto scalare tra due vettori v = P
iviei e w =P
iwiei si scrive, in forma matriciale, come hv, wi = XTY
dove X e Y rappresentano i vettori colonna le cui entrate sono le compo-nenti di v e w, rispettivamente.
Proposizione 2.3. Sia V uno spazio vettoriale euclideo e siano v, w∈ V. Allora si ha:
(a) la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
|hv, wi| ≤ kvk kwk
e l’uguale vale se e solamente se v e w sono linearmente dipendenti;
(b) la disuguaglianza triangolare
kv + wk ≤ kvk + kwk;
(c) il teorema di Pitagora: se v⊥ w, allora
kv + wk2 =kvk2+kwk2.
Dimostrazione. (a) Dato un numero reale λ si ha, dalla positività del prodotto scalare, che per ogni v, w∈ V
hv + λw, v + λwi ≥ 0.
Espandendo quest’ultima si trova la disequazione quadratica in λ
hw, wiλ2+ 2hv, wiλ + hv, vi ≥ 0. (2.1) Se w , 0, segue, per le note proprietà delle disequazioni di secondo grado, che il discriminante dell’equazione associata è non positivo, cioè
hv, wi2− hv, vihw, wi ≤ 0.
Quest’ultima implica
hv, wi2 ≤ kvk2kwk2
da cui, estraendo la radice, si ha la tesi. Se w = 0 la disuguaglianza è banale.
Dimostriamo adesso il caso in cui valga l’uguale. Se v e w sono linearmente dipendenti esiste un numero λ tale che w = λv. Si ha quindi
|hv, wi| = |λ|hv, vi = |λ| kvk kvk = kwk kvk.
Viceversa, se
|hv, wi| = kwk kvk
il discriminante della (2.1) vale zero, da cui segue che esiste un unico λ0con hw, wiλ20+ 2hv, wiλ0+hv, vi = 0,
ovvero,
hv + λ0w, v + λ0wi = 0.
L’ultima equazione implica che v + λ0w = 0, quindi v e w sono linearmente dipendenti.
(b) Dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si ha
kv + wk2 = hv + w, v + wi = hv, vi + 2hv, wi + hw, wi
≤ kvk2+ 2kvk kwk + kwk2 = (kvk + kwk)2.
(c) Segue immediatamente dalla dimostrazione di (b).
2.1.1 Proiezioni ortogonali
Sia V uno spazio vettoriale euclideo e sia W ⊂ V un suo sottospazio. Definiamo il complemento ortogonale di W come
W⊥={v ∈ V : hv, wi = 0 ∀w ∈ W}.
È facile mostrare che W⊥è un sottospazio vettoriale. Inoltre lo spazio vettoriale V si decompone come somma diretta (dimostrarlo per esercizio)
V = W⊕ W⊥. (2.2)
vW W
v⊥ v
Figura 2.1 – Proiezione di v su W.
Sia v ∈ V un vettore e sia W un sottospazio vettoriale di V. Dalla decomposizione (2.2) segue che v si può scrivere come
v = vW + v⊥
con vW ∈ W e v⊥ ∈ W⊥. Chiamiamo vW
la proiezione ortogonale di v su W. Se dim(W) = k e seB = {e1, . . . ,ek} è una base orto-normale di W, segue che
vW =
k
X
i=1
hvW,eii ei =
k
X
i=1
hv, eii ei.
La proiezione ortogonale di un vettore v su un sottospazio W si può caratterizzare come l’unico vettore vW ∈ W tale che
hvW,wi = hv, wi , ∀w ∈ W. (2.3) La dimostrazione dell’equivalenza tra le due definizioni di proiezione ortogo-nale è lasciata per esercizio.
La proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio ha la seguente in-terpretazione geometrica. Dato un vettore v ∈ V ed un sottoinsieme S ⊂ V definiamo la distanza di v da S come
d(v, S ) = inf
s∈S kv − sk.
Se S non è uno spazio vettoriale non è detto che l’inf sia raggiunto. Invece, nel caso in cui S sia un sottospazio vettoriale di V, si ha la seguente
Proposizione 2.4. Sia V uno spazio vettoriale euclideo, sia W ⊂ V un sotto-spazio vettoriale e sia v∈ V. Allora
d(v, W) =kv − vWk.
Dimostrazione. Sia w un vettore di W. Allora v− vW = v⊥ è ortogonale a vW− w ∈ W. Segue, dal Teorema di Pitagora, l’uguaglianza
kv − wk2 =kv − vW + (vW − w)k2 =kv − vWk2+kvW− wk2 la quale implica, se w , vW,
kv − wk2 >kv − vWk2.
2.1.2 Il procedimento di Gram-Schmidt
Sia V uno spazio vettoriale euclideo e sia B = {v1, . . . ,vn} una sua base. Il procedimento di Gram-Schmidt permette di costruire, a partire dalla baseB, una base ortonormaleB′= {e1, . . . ,en}. Si procede nel modo seguente.
• Si pone u1= v1.
• A partire dal vettore v2 si costruisce un vettore che sia combinazione lineare di u1 e v2 e sia perpendicolare al primo. Geometricamente basta sottrarre a v2 la proiezione ortogonale di v2 su u1. Se scriviamo u2 = v2 + λu1 la condizione hu1,v2i = 0 implica che λ = −hu1,u2i/ku1k2. Poniamo quindi
u2 = v2− hu1,v2i ku1k2 u1.
• In modo analogo si costruisce un vettore u3che sia combinazione lineare di u1, u2 e v3 e che sia perpendicolare ai primi due, Scrivendo u3 = v3+ λ1u1+ λ2u2 si orriene
u3 = v3− hu1,v3i
ku1k2 u1− hu2,v3i ku2k2 u2.
• Ripetendo il procedimento per tutti i vettori della base B si ottiene una base{u1, . . . ,un} costituita da vettori a due a due ortogonali. Dividendo ciascuno degli ui per la corrispondente norma, si ottiene la base ortonor-maleB′ ={e1, . . . ,en} con ei = u1/kuik, i = 1, . . . n.
2.1.3 Applicazioni della proiezione ortogonale
La Proposizione 2.4 si applica in molte situazioni in cui si debba determinare, di una data famiglia di oggetti, quello più vicino ad un altro dato. Vediamo qualche esempio.
Esempio 2.5. Determinare la successione aritmetica i cui primi tre termini meglio approssimano la terna (3, 4, 6). Una successione aritmetica è data da an= a0+ nd ed i primi tre termini sono
(a0+ d, a0+ 2d, a0+ 3d) i quali si possono decomporre come
(a0+ d, a0+ 2d, a0+ 3d) = a0(1, 1, 1) + d(1, 2, 3).
Possiamo quindi pensare la terna v = (3, 4, 6) come un vettore dello spazio vet-toriale R3 dotato del prodotto scalare canonico, mentre i vettori e1 = (1, 1, 1) e e2 = (1, 2, 3) generano un sottospazio vettoriale W = L((1, 1, 1), (1, 2, 3))⊂ R3 che coincide con lo spazio dei primi tre termini di una successione aritmeti-ca. Segue dalla Proposizione 2.4 che la terna che meglio approssima la terna v = (3, 4, 6) è la proiezione ortogonale di v su W. Sia vW = a0e1 + de2 allora, dalla (2.3), a0e d sono soluzioni del sistema
hvW,e1i = hv, e1i hvW,e2i = hv, e2i
cioè
3a0+ 6d = 13 6a0+ 14d = 29 la cui soluzione è a0 = 4/3 e d = 3/2.
Esempio 2.6. Sullo spazio delle funzioni continue C([a, b], R) si può definire il seguente prodotto scalare. Siano f , g : [a, b] → R due funzioni continue.
Definiamo il prodotto scalare tra f e g come ( f , g) =
Z b a
f (x)g(x)dx. (2.4)
Lasciamo per esercizio la dimostrazione che la (2.4) definisce un prodotto scalare su C([a, b], R)
Si consideri il seguente problema: determinare tra tutti i polinomi di primo grado definiti in [0, 1] quello che meglio approssima il polinomio x2.
Per risolvere il problema possiamo pensare lo spazio dei polinomi di primo grado come il sottospazio W delle funzioni continue da [0, 1] in R generato dalle funzioni x→ 1 e x → x, cioè
W = L(1, x) ⊂ C([1, 0], R).
Dalla Proposizione 2.4 il polinomio cercato è dato dalla proiezione ortogonale della funzione f (x) = x2su W. Sia fW = ax + b la proiezione di f su W, allora, dalla (2.3), a e b sono soluzioni del sistema
( fW,1) = ( f , 1) ( fW,x) = ( f , x) cioè
a/2 + b = 1/3 a/3 + b/2 = 1/4
le cui soluzioni sono a = 1 e b = −1/6. Si veda in, Figura 2.2, la rappre-sentazione grafica della funzione y = x2 e della approssimazione y = x − 1/6.
1 y=x2
y=x−16
Figura 2.2 – Approssimazione della funzione x2.