5.5 Quadriche di rotazione
5.5.3 Paraboloidi
In questo paragrafo consideriamo il caso in cui si ruota una parabola attorno ad uno degli assi coordinati. Si consideri quindi, nel piano y = 0, la parabola di equazione
x2 = 2pz .
x
y
z
Figura 5.16 – Iperboloide a due falde.
Se ruotiamo la parabola attorno all’asse delle x si ottiene una superficie di equazione
x2 = 2pp y2+ z2 che, quadrando, diventa
x4 = 4p2(y2+ z2)
la quale rappresenta una superficie la cui equazione è data da un polinomio di quarto grado. Siccome il nostro interesse è nelle superficie la cui equazione è data da un polinomio di secondo grado, questo esempio esula dalla nostra trattazione e non verrà considerato.
Se invece ruotiamo la parabola attorno all’asse delle z si ottiene la superficie di equazione
x2+ y2 = 2pz , (5.33)
chiamata paraboloide di rotazione. Una rappresentazione del paraboloide di rotazione è mostrata in Figura 5.17.
x
y
z
Figura 5.17 – Paraboloide di rotazione.
In fine anche in questo caso si può generalizzare la (5.33) nella x2
a2 + y2
b2 = 2z , (5.34)
la cui superficie corrispondente prende il nome di paraboloide ellittico.
Una ulteriore generalizzazione della (5.34) consiste nella x2
a2 − y2
b2 = 2z . (5.35)
Questa equazione rappresenta una superficie che non ha un corrispondente di rotazione come nei casi precedenti, cioè se nella (5.35) si pone a = b la cor-rispondente superficie non è di rotazione rispetto a nessuno degli assi coor-dinati. Il lettore può verificare questo fatto analizzando le intersezioni con i piani perpendicolari agli assi coordinati e mostrando che non si ottengono mai circonferenze.
La superficie rappresentata dalla (5.35) prende il nome di paraboloide iperbo-lico o paraboloide a sella. Il nome a sella trova giustificazione nella sua forma che assomiglia, per l’appunto, ad una sella, come mostra la Figura 5.18.
x
y z
Figura 5.18 – Paraboloide iperbolico.
Come mostreremo nel prossimo capitolo le equazioni delle coniche e delle qua-driche viste in questo paragrafo e riassunte nella Tabella 5.1 sono, in qualche modo, fondamentali per la comprensione dell’equazione generale di una conica o di una quadrica e, per questo motivo sono chiamate equazioni canoniche.
5.5.4 Esercizi
1. Dato l’ellissoideQ di equazione x2+ y2+ 4z2 = 1
• Scrivere l’equazione del cono con vertice nell’origine e direttrice L data come intersezione diQ con il piano z = k.
• Scrivere l’equazione del cono con vertice V = (2, 0, 0) e direttrice L data come intersezione diQ con il piano x = k.
• Scrivere l’equazione del cilindro con generatrici parallele a k e tangenti all’ellissoide.
Nome Equazione Di rotazione Ellissoide x2
a2 + y2 b2 + z2
c2 = 1 se due tra a, b, c sono uguali Iperboloide ad una falda x2
a2 + y2 b2 − z2
c2 = 1 se a = b
Iperboloide a due falde x2 a2 − y2
b2 − z2
c2 = 1 se b = c
Paraboloide ellittico x2 a2 + y2
b2 = 2z se a = b
Paraboloide iperbolico x2 a2 − y2
b2 = 2z mai
Tabella 5.1 – Equazioni canoniche delle cinque quadriche incontrate in questo paragrafo.
2. Dimostrare che le ellissi ottenute intersecando l’ellissoide x2
a2 + y2 b2 + z2
c2 = 1
con i piani x = k = costante hanno la stessa eccentricità.
3. Mostrare che il piano 2x + 3y− 6z − 6 = 0 interseca l’iperboloide x2
9 + y2
4 − z2= 1 lungo due rette.
4. Determinare il fuoco della parabola ottenuta come intersezione del para-boloide
x2 16 − y2
4 = z con il piano y = 2.
6
Geometria quadratica 2: quadriche e coniche affini
La geometria quadratica studia i luoghi dei punti del piano e dello spazio le cui coordinate, rispetto ad un riferimento affine, soddisfano ad un’equazione qua-dratica di secondo grado. Nel piano tali luoghi sono chiamati coniche e nello spazio quadriche. Nel capitolo precedente abbiamo studiato diversi esempi di coniche e di quadriche. Il presente capitolo si occupa della trattazione gene-rale di questi luoghi di punti. In particolare, ci occuperemo dello studio delle quadriche e delle coniche dal punto di vista affine.
6.1 La definizione di quadrica e conica
Iniziamo, anche per fissare le notazioni, con la seguente Definizione 6.1.
(a) Fissato un sistema di riferimento affine nello spazio una quadrica Q è il luogo dei punti P le cui coordinate (x, y, z), rispetto al sistema di
riferimento affine scelto, soddisfano ad una equazione del tipo a11x2+ a22y2+ a33z2+2a12xy + 2a13xz + +2a23yz
+2a10x + 2a20y + 2a30z + a00 = 0 , (6.1) con a11,a22,a33,a12,a13,a23non tutti nulli.
(b) Fissato un sistema di riferimento affine nel piano una conicaQ è il luo-go dei punti P le cui coordinate (x, y), rispetto al sistema di riferimento affine scelto, soddisfano ad una equazione del tipo
a11x2+ a22y2+ 2a12xy + 2a10x + 2a20y + a00= 0 , (6.2) con a11,a12,a22non tutti nulli.
Osservazione 6.2. Per semplicità espositiva, quando non vi è necessità di spe-cificare, denoteremo conQ sia la quadrica che il polinomio di secondo grado che la descrive.
il vettore colonna delle coordinate di un punto P dello spazio e introduciamo le matrici
una verifica diretta mostra che l’equazione di una quadrica (6.1) si può scrivere nella forma matriciale
P⊤AP + 2a⊤P + a00 = 0. (6.3) Nel caso di una conica nel piano, introducendo le matrici
A = a11 a12
l’equazione di una conica (6.2) si può scrivere nella stessa forma matriciale (6.3).
Questo fatto ci permette di trattare la teoria delle coniche e delle quadriche sen-za distinzione, basterà tener conto che la matrice A nel caso di una quadrica è di ordine 3 mentre è di ordine 2 per una conica. Le stesse osservazioni valgono per il vettore colonna a.
La matrice A prende il nome di matrice dei termini quadratici mentre il vet-tore a rappresenta i coefficienti dei termini di primo grado. È bene osservare sin da adesso che la matrice A è simmetrica.
Se adesso denotiamo con l’equazione di una quadrica diventa
P˜⊤A ˜˜P = 0. (6.4)
Un’equazione analoga vale per una conica con
A =˜
Proposizione 6.3. La definizione di quadica (conica) non dipende dal riferi-mento affine scelto.
Dimostrazione. Sia
P⊤AP + 2a⊤P + a00 = 0
l’equazione di una quadrica Q rispetto ad un riferimento affine (O, B). Sia (O′,B′) un altro riferimento affine allora, tenendo conto della Proposizione 1.16,
P = MP′+ β ,
dove M è una matrice non singolare e β un vettore colonna. Segue che l’equa-zione della quadrica rispetto al riferimento (O′,B′) è
(MP′+ β)⊤A(MP′+ β) + 2a⊤(MP′+ β) + a00= 0 .
Svolgendo i conti l’ultima equazione diventa
(P′)⊤M⊤AMP′+(P′)⊤M⊤Aβ+β⊤AMP′+2a⊤MP′+β⊤Aβ+2a⊤β+a00 = 0 . (6.5) Osserviamo che, da un lato (β⊤AMP′)⊤ = β⊤AMP′ (sono matrici di ordine 1), dall’altro, usando che A è simmetrica, si ha (β⊤AMP′)⊤= (P′)⊤M⊤Aβ. La (6.5) diventa
(P′)⊤M⊤AMP′+ 2(β⊤AM + a⊤M)P′+Q(β) = 0, la quale, ponendo
A′ = M⊤AM , (a′)⊤= β⊤AM + a⊤M , a′00= Q(β), assume l’espressione
(P′)⊤A′(P′) + 2(a′)⊤(P′) + a′00 = 0 ,
che, essendo A′ = M⊤AM una matrice simmetrica, rappresenta un’equazione
quadratica nel riferimento (O′,B′).
Un’ispezione attenta della dimostrazione della Proposizione 6.3 ci permette di provare la seguente
Proposizione 6.4. Siano A e ˜A le matrici associate ad una quadricaQ rispetto ad un riferimento affine dello spazio (O,B) e siano A′ e ˜A′ le matrici associa-te alla sassocia-tessa quadrica Q rispetto ad un altro riferimento affine dello spazio (O′,B′). Allora,
rank(A) = rank(A′) , rank( ˜A) = rank( ˜A′) e
det(A) = λ det(A′) , det( ˜A) = λ det( ˜A′) , con λ > 0 . Dimostrazione. Dalla dimostrazione della Proposizione 6.3 si ha
A′ = M⊤AM
con M matrice non singolare. Segue che A e A′hanno lo stesso rango. Inoltre det A′ = det(M⊤AM) = det(M⊤) det(A) det(M) = det(M)2det(A) .
Sia adesso
dove (x, y, z) rappresentano le coordinate rispetto al riferimento (O,B) . Un calcolo diretto mostra che, rispetto al cambiamento di coordinate affini
P = MP′+ β ,
dove M è una matrice non singolare e β un vettore colonna, P =˜ P
dove Mβ è una matrice di ordine 4 con lo stesso determinante della matrice M.
L’equazione (6.4) della quadrica diventa, dopo il cambiamento di riferimento, (MβP˜′)⊤A(M˜ βP˜′) = ( ˜P′)⊤(M⊤βAM˜ β)( ˜P′) = 0 . La Proposizione 6.4 mostra che i due numeri det(A) e det( ˜A) hanno un impor-tanza nello studio affine delle quadriche. Da ora in poi indicheremo questi due numeri con le seguenti lettere
δ =det(A) , ∆ = det( ˜A) .
Vediamo adesso quanti punti sono necessari per determinare una conica o una quadrica. Si ha la seguente
Proposizione 6.5. Dati cinque punti nel piano in posizione qualunque esiste una conica che li contiene. Dati nove punti nello spazio in posizione qualunque esiste una quadrica che li contiene.
Dimostrazione. La dimostrazione è immediata considerando l’equazione (6.2) di una conica in un dato riferimento affine nel piano. Infatti, i coefficienti dell’equazione della conica passante per cinque punti Pi = (xi,yi), i = 1, . . . , 5, si ottengono risolvendo il sistema
il quale, essendo un sistema omogeneo di cinque equazioni nelle sei variabi-li a11,a22,a12,a10,a20,a00, ammette ∞(6−ρ) soluzioni (dove ρ è il rango della matrice dei coefficienti). Siccome ρ è al massimo 5 esiste una soluzione non banale. Se tale soluzione avesse a11 = a22 = a12 = 0, la (6.2) diventerebbe l’equazione 2a10x + 2a20y + a00 = 0 di un piano ed, in ogni caso, la conica (2a10x + 2a20y + a00)2 = 0 passerebbe per i cinque punti dati.
La dimostrazione per la quadrica è analogo e quindi lasciata come esercizio.
Osservazione 6.6. La conica passante per i cinque punti non è unica. L’uni-cità si ha quando il rango della matrice dei coefficienti del sistema (6.6) è 5, infatti, in questo caso, si avrebbero∞1 soluzioni ed, essendo i coefficienti del-l’equazione di una conica univocamente determinati a meno di un fattore di proporzionalità non nullo, si deduce che si ottiene un’unica conica. La stessa discussione vale nel caso delle quadriche.