In questo paragrafo risolveremo alcuni problemi classici che ci porteranno ad introdurre alcune curve e superfici definite da una equazione polinomiale di 2◦ grado.
Iniziamo con il seguente problema: nel piano euclideo determinare il luogo dei punti P tali che la somma delle distanze da due dati punti del piano F1 e F2
(chiamati fuochi) è una data costante positiva, denotata con 2a.
Questo luogo di punti si chiama ellisse e, rispetto ad un opportuno riferimento cartesiano del piano (detto riferimento canonico dell’ellisse), la sua equazione cartesiana è un’equazione polinomiale di secondo grado. Dimostriamo questo fatto.
Con riferimento alla Figura 5.8, scegliamo come origine del riferimento il pun-to medio tra i due fuochi F1 e F2, come vettore i quello con direzione e verso concorde con F2F1e j in modo tale che la base{i, j} sia orientata positivamen-te. Segue che se F1 = (c, 0), c > 0, allora F2 = (−c, 0). La condizione che caratterizza i punti appartenenti all’ellisse si scrive quindi:
d(P, F1) + d(P, F2) = p
(x− c)2+ y2+ p
(x + c)2+ y2 = 2a .
Ora, muovendo la seconda radice a destra dell’uguale, quadrando l’equazio-ne una prima volta, isolando l’unica radice rimasta, quadrando nuovamente e facendo le dovute semplificazioni si perviene all’equazione
(a2− c2)x2+ a2y2 = a2(a2− c2) .
Adesso, essendo per costruzione a > c, possiamo porre b2 = a2 − c2, da cui l’equazione precedente può essere messa nella forma
x2 a2 + y2
b2 = 1 , (5.17)
che prende il nome di equazione canonica dell’ellisse.
x y
bb
b bbb b
b
−b
−a a
F1
F2
P
γ
Figura 5.8 – L’ellisse in forma canonica.
È istruttivo mostrare che ogni punto P0 = (x0,y0) le cui coordinate soddisfano la (5.17) è un punto dell’ellisse. Infatti, supponiamo che d(P0,F1)+d(P0,F2) = 2a′. Dobbiamo dimostrare che a′ = a. Seguendo i calcoli appena visti si trova
x20
(a′)2 + y20
(b′)2 = 1 , (b′)2 = (a′)2− c2 (5.18) che, confrontata con la (5.17), implica che
x20 1 a2 − 1
(a′)2
!
+ y20 1 b2 − 1
(b′)2
!
= 0 .
Siccome (x0,y0) sono soluzioni della (5.17) non possono essere entrambi nulli.
Segue dalla (5.18) che o a2= (a′)2o b2 = (b′)2ed in ogni caso, per come sono definiti b e b′, si conclude che a = a′.
I numeri a e b sono chiamati semi assi dell’ellisse mentre i punti di intersezione dell’ellisse con gli assi coordinati sono detti vertici. La parte dell’ellisse del
primo quadrante si può descrivere tramite la funzione
y = b r
1− x2
a2, x ∈ [0, a]
la quale indica che il grafico dell’ellisse nel primo quadrante è quello indicato in Figura (5.8). Le restanti parti dell’ellisse si possono tracciare per simmetria (il lettore dovrebbe scrivere esplicitamente le funzioni che descrivono il grafico dell’ellisse nei restanti tre quadranti e convincersi che la Figura (5.8) è corret-ta).
In modo simile definiamo l’iperbole come: il luogo dei punti P del piano tali che il valore assoluto della differenza delle distanze da due dati punti del piano F1e F2(chiamati fuochi) è una data costante positiva, denotata con 2a.
Introducendo un riferimento cartesiano come nel caso dell’ellisse, un punto P = (x, y) appartiene all’iperbole se
|d(P, F1)− d(P, F2)| = |p
(x− c)2+ y2− p
(x + c)2+ y2| = 2a .
Con calcoli simili a quelli svolti nel caso dell’ellisse si perviene all’equazione x2
a2 − y2
b2 = 1 , b2 = c2− a2, (5.19) che prende il nome di equazione canonica dell’iperbole. Per tracciare l’iper-bole in forma canonica procediamo nel modo seguente. In questo caso la parte dell’iperbole del primo quadrante si può descrivere tramite la funzione
y = b rx2
a2 − 1 , x∈ [a, +∞) , (5.20) la quale, utilizzando i metodi dell’analisi matematica, ha come grafico quello mostrato in Figura 5.9. In particolare, la funzione (5.20) presenta un asintoto obliquo di equazione y = (b/a)x. In fine, descrivendo la parte dell’iperbole nei restanti tre quadranti come grafico di opportune funzioni ed evidenziando le simmetrie tra queste funzioni, si perviene al grafico dell’iperbole mostrato in Figura 5.9.
x y
b b b
b b
y=bax y=−bax
−a a F1
F2
P
Figura 5.9 – L’iperbole in forma canonica.
Descriviamo adesso l’ellisse e l’iperbole utilizzando un’altra costruzione geo-metrica la quale ci permeterà di definire una terza curva. Il problema geometri-co si può formulare nel modo seguente: fissati un punto F, detto fuogeometri-co, ed una retta r nel piano, detta direttrice, (con F < r), determinare il luogo di punti P del piano tali che
d(P, F) d(P, r) = e
dove e è una costante reale positive chiamata eccentricità. Si veda la Figu-ra 5.10.
Rispetto ad un qualsiasi riferimento cartesiano dove l’asse delle x è la retta per F perpendicolare ad r, le coordinate del fuoco sono F = (c, 0), c ∈ R, mentre la direttrice ha equazione x = d, d∈ R. La condizione
dist(P, F) dist(P, r) = e diventa
p(x− c)2+ y2 = e|x − d| . Elevando al quadrato si ottiene
(1− e2)x2+ y2+ 2(de2− c)x + (c2− e2d2) = 0 . (5.21)
b F
b P
x
Figura 5.10 – Definizione di eccentricità.
Se e , 1, possiamo scegliere l’origine in modo che de2− c = 0. L’equazione diventa
x2
d2e2 + y2
d2e2(1− e2) = 1 (5.22) e si presentano due casi
e < 1 In questo caso i denominatori sono entrambi positivi e si tratta di un ellisse.
e > 1 In questo caso i denominatori hanno segni opposti e si tratta di un iper-bole.
Dal confronto delle equazioni (5.22), (5.17) e (5.19), tenendo conto che de2 = c, si ottiene
d = a2
c , e = c a. Vediamo adesso il caso in cui e = 1. La (5.21) diventa
y2+ 2(d− c)x + (c2− d2) = 0 .
Scegliendo l’origine in modo che d =−c, come mostra la Figura 5.11, l’equa-zione diventa
y2 = 2px , p = 2c , (5.23)
che prende il nome di equazione canonica della parabola. La geometria della parabola è, in questo caso, molto semplice da comprendere visto che la (5.23) si può pensare come il grafico di una funzione dipendente da y con y∈ (−∞, +∞).
b F P
b
x y
Figura 5.11 – La parabola in forma canonica.
5.3.1 Esercizi
1. Trovare due punti P e Q dell’ellisse 36x2 + y2
9 = 1 tali che assieme a A = (6, 0) formino un triangolo equilatero.
2. Sia R un rettangolo con vertici nell’ellisse 49x2 + y2
24 = 1 e con due lati perpendicolari all’asse delle ascisse e passanti per i fuochi. Calcolare l’area di R.
3. Gli estremi A, B di un segmento rettilineo di lunghezza ℓ si muovono lungo gli assi coordinati. Determinare il luogo geometrico dei punti M del segmento tali che
d(A, M)
d(B, M) = k ∈ R
4. Trovare l’equazione canonica dell’iperbole con asintoti y = (±1/2)x e passante per P = (12,√
3).
5. Siano F1 e d1 un fuoco e una direttrice di un’iperbole e sia r un suo asintoto. Se F1P⊥ r, P ∈ r, dimostrare che P ∈ d1.
6. Sia P un punto vincolato a muoversi lungo una circonferenza centrata nell’origine e raggio R. Sia M un punto del segmento OP le cui
coordi-nate dividono quelle di P in segmenti di rapporto λ∈ R. Determinare il luogo geometrico individuato da M.
7. Trovare il luogo geometrico descritto dai centri di tutte le circonferenze tangenti a due date circonferenze.
8. Scrivere l’equazione canonica di un’iperbole per la quale il punto P = (16/5, 12/5) è l’itersezione di un asintoto con una direttrice.
9. Calcolare la lunghezza dei lati di un triangolo equilatero i cui vertici appartengono alla parabola y2− 2px = 0.
5.3.2 Parametrizzazioni delle coniche in forma canonica
Ricordando l’identità fondamentale della goniometria, l’ellisse di equazione x2
a2 + y2 b2 = 1 si può parametrizzare nel modo seguente:
P(θ) = (a cos θ, b sin θ) .
Per l’iperbole è necessario ricorrere alle funzioni iperboliche (come lo stesso nome avrebbe dovuto suggerire). Si verifica immediatamente che l’iperbole di equazione
x2 a2 − y2
b2 = 1 ammette una parametrizzazione data da
P(θ) = (a cosh θ, b sinh θ) .
Il caso della parabola risulta immediato. Normalmente per una parabola di equazione
y2 = 2px si sceglie la parametrizzazione
P(t) = (2pt2,2pt) .