3.2 Sottospazi affini del piano e dello spazio
3.2.4 Il piano affine
dove ai, i = 1, 2, 3, rappresenta la misura del lato opposto al vertice Pi.
9. Date le rette r : x + 2y + 3 = 0, r′ : x− y + 1 = 0 e r′′ : x + y + 3 = 0.
• Determinare l’area del triangolo individuato dalle tre rette.
3.2.4 Il piano affine
Per definizione un piano affine α dello spazio euclideo E3è un sottospazio affi-ne di dimensioaffi-ne 2. In virtù della Proposizioaffi-ne 1.6, un piano α è univocamente determinato da un sottospazio vettoriale V2 di dimensione 2, dello spazio vet-toriale dei vettori liberi, e da un punto P0 dello spazio. Siano u = (u1,u2,u3) e v = (v1,v2,v3) due vettori linearmente indipendenti della giacitura V2 (quindi {u, v} è una base di V2) e sia P0 = (x0,y0,z0). Un punto P = (x, y, z) dello spazio appartiene al piano α se e solo se il vettore P0P appartiene alla giacitura V2, ovvero se e solo se P0P è una combinazione lineare di u e v (si veda la Figura 3.10). Segue che P = (x, y, z) appartiene al piano α se e solo se esistono due numeri reali t, s∈ R tali che
P0P = tu + sv o, equivalentemente,
P = P0+ tu + sv. (3.14)
La (3.14) rappresenta l’equazione parametrica del piano α passante per P0e parallelo ai vettori linearmente indipendenti u, v. Inserendo le coordinate nella (3.14) si ottiene
x = x0+ u1t + v1s y = y0+ u2t + v2s z = z0+ u3t + v3s
Eliminiamo i parametri t ed s dall’equazione parametrica si ottiene l’equazione in x, y e z:
(u2v3− u3v2)(x− x0) + (u3v1− u1v3)(y− y0) + (u1v2− u2v1)(z− z0) = 0 che, ponendo a = u2v3− u3v2, b = u3v1− u1v3, c = u1v2− u2v1 e d =−ax0 − by0− cz0, diventa
ax + by + cz + d = 0. (3.15)
La (3.15) prende il nome di equazione cartesiana del piano.
Osservazione 3.5. I parametri t ed s dell’equazione parametrica (3.14) rappre-sentano le coordinate affini nel piano α rispetto al riferimento affine con origine in P0 e base{u, v}. In particolare, se {u, v} sono orto-normali, allora (t, s) sono coordinate cartesianei del piano affine α.
Equazione del piano nota la normale ed un punto
In coordinate cartesiane per descrivere un piano affine α è sufficiente fornire un un vettore n = (a, b, c), ortogonale al piano α ed un punto P0 = (x0,y0,z0) ap-partenente al piano. Infatti, il complemento ortogonale del vettore n individua la giacitura di α. In questo caso un punto P = (x, y, z) dello spazio appartiene al piano α se e solo se il vettore P0P è ortogonale ad n, cioè sehP0P, ni = 0. Si ottiene che P = (x, y, z) appartiene al piano α se e solo se
a(x− x0) + b(y− y0) + c(z− z0) = 0.
Svolgendo i calcoli e ponendo d =−ax0− by0− cz0si ottiene
ax + by + cz + d = 0. (3.16)
Si osservi che i coefficienti a, b, c nella (3.15) sono le componenti del prodotto vettoriale u∧ v il quale risulta ortogonale al piano α in accordo con la (3.16).
x
y z
O v u
V2 α
b
P
b
P0
Figura 3.10 – Piano affine passante per P0e parallelo ai vettori u e v.
Osservazione 3.6. L’equazione parametrica (3.14) del piano e l’equazione car-tesiana (3.15) hanno carattere affine, mentre il significato geometrico dei coef-ficienti a, b, c nella (3.15) come le componenti di un vettore normale al piano ha carattere euclideo.
Equazione del piano per tre punti
Per determinare un piano nello spazio sono necessari tre punti non allineati P1 = (x1,y1,z1), P2 = (x2,y2,z2) e P3 = (x3,y3,z3). Infatti si possono scegliere u = P1P2, v = P1P3 e P0 = P1 i quali rappresentano due vettori paralleli al piano linearmente indipendenti ed un punto appartenente al piano. Volendo scrivere l’equazione cartesiana si può calcolare n come il prodotto vettoriale tra u e v. Risulta quindi che il piano contenente tre punti non allineati P1 = (x1,y1,z1), P2 = (x2,y2,z2) e P3 = (x3,y3,z3) ha equazione cartesiana
hP − P1,P1P2∧ P1P3i = 0
che, inserendo le coordinate e scrivendo il prodotto misto come un
Dalla (3.18) segue immediatamente la
Proposizione 3.7. Quattro punti P1 = (x1,y1,z1), P2 = (x2,y2,z2), P3 =
Osservazione 3.8. Si noti che l’equazione (3.18) rappresenta l’equazione car-tesiana del piano affine contenente i tre punti P1, P2 e P3 anche rispetto a coordinate affini qualsiasi. Il lettore dovrebbe fare, individualmente, tutto il ragionamento per convincersi di questo fatto.
Equazione normale del piano
Sia n un vettore unitario, allora n = (cos γ1,cos γ2,cos γ3), dove (γ1, γ2, γ3) sono i coseni direttori di n (si veda la (3.4)). L’equazione del piano (3.14) diventa
cos γ1x + cos γ2y + cos γ3z− p = 0 (3.20) dove p rappresenta il termine noto. Per convenzione si orienta n in modo tale che il termine noto p sia positivo. L’equazione (3.20), con l’orientazione di n sopra descritta, prende il nome di equazione normale del piano.
Osservazione 3.9. Nel piano un’equazione del tipo
cos γ1x + cos γ2y− p = 0 (3.21) rappresenta l’equazione normale di una retta.
Equazione cartesiana della retta nello spazio
Un’equazione di primo grado in x, y e z rappresenta un piano nello spazio, cosí come un’equazione di primo grado in x, y nel piano rappresenta una retta.
Attenzione che un’equazione di primo grado in x, y nello spazio rappresenta sempre un piano. Per esempio, l’equazione x− y = 0 rappresenta una retta nel piano mentre rappresenta un piano nello spazio.
Per rappresentare una retta nello spazio o si utilizza l’equazione parametrica (3.5) o si pensa la retta come intersezione di due piani. Infatti, da una parte la Proposizione 1.10 garantisce che l’intersezione di due piani affini non coin-cidenti e non paralleli è una retta affine. D’altra parte, data una retta r dello spazio, individuata da un punto P0 ed un vettore u, per ogni vettore v linear-mente indipendente con u il piano α passante per P0 e giacitura generata da u e v contiene la retta r.
Segue che l’equazione cartesiana di una retta dello spazio è data come interse-zione di due piani incidenti α e α′, cioè
ax + by + cz + d = 0
a′x + b′y + c′z + d′= 0. (3.22) Dal punto di vista algebrico il fatto che i due piani siano incidenti vuol dire che la matrice dei coefficienti del sistema (3.22)
a b c a′ b′ c′
!
ha rango 2, cosí che il sistema ammetta ∞3−2=1 soluzioni, cioè infiniti punti che formano una retta affine. Le soluzioni del sistema forniranno le coordinate dei punti della retta in funzione di un parametro, cioè l’equazione parametrica della retta (questa costruzione ha valore affine).
Dal punto di vista geometrico (cioè considerando coordinate cartesiane), data l’equazione cartesiana (3.22) di una retta, per trovare l’equazione parametrica servono un punto P0 = (x0,y0,z0) ed un vettore u = (l, m, n) parallelo alla retta.
Per determinare un punto P0basta trovare una soluzione particolare del sistema (3.22) mentre la direzione della retta è data da u = n∧ n′dove n = (a, b, c) ed n′ = (a′,b′,c′) sono i vettori normali ai piani α ed α′ rispettivamente (si veda la Figura 3.11).
b
b
r n
n′ n∧n′
α
α′
Figura 3.11 – Retta affine come intersezione di due piani.
Viceversa, per passare dalla forma parametrica a quella cartesiana basta elimi-nare il parametro t dalla (3.5). Se l, m, n sono tutti diversi da zero si ottiene
x− x0
l = y− y0
m = z− z0 n che può essere riscritta, per esempio, nella forma
m(x− x0) = l(y− y0) n(y− y0) = m(z− z0)
dove ciascuna equazione rappresenta un piano dello spazio. Se uno dei coef-ficienti direttori della retta è zero, per esempio l = 0, allora la retta appartiene al piano x = x0e l’altro piano si ottiene eliminando il parametro dalle restanti due equazioni. Se due coefficienti direttori della retta sono zero, per esempio l = m = 0, allora la retta è intersezione dei due piani x = x0e y = y0.
Terminiamo la sezione con la seguente
Proposizione 3.10. (a) Un piano affine α nello spazio ha un’equazione del-la forma (3.16) dove almeno uno dei coefficienti a, b, c è diverso da zero.
Viceversa, un’equazione del tipo (3.16), dove non tutti i coefficienti a, b, c sono uguali a zero, è l’equazione di un piano.
(b) Nello spazio una qualunque retta r è rappresentata da un sistema del tipo (3.22) dove la matrice dei coefficienti ha rango 2. Viceversa, ogni siste-ma del tipo (3.22), con siste-matrice dei coefficienti di rango 2, rappresenta una retta dello spazio.
(c) Nel piano, una retta ha un’equazione generale del tipo (3.7) con a, b non entrambi nulli. Viceversa un’equazione del tipo (3.7) rappresenta una retta nel piano.
Dimostrazione. Dimostriamo solo (a) e lasciamo come esercizio (b) e (c). Ab-biamo già visto che un piano ha un’equazione cartesiana del tipo (3.16). Di-mostriamo adesso che un’equazione del tipo (3.16), dove non tutti i coefficienti a, b, c sono uguali a zero, rappresenta l’equazione di un piano. Supponiamo che sia c , 0, allora, risolvendo in z, si trova
z =−(a/c)x − (b/c)y − (d/c) = mx + ny + p (3.23) Segue che i tre punti
A = (0, 0, p), B = (1, 0, m + p), C = (0, 1, n + p)
soddisfano la (3.23). Inoltre, essendo AB = (1, 0, m) e AC = (0, 1, n) linear-mente indipendenti, segue che i tre punti non sono allineati. Calcolando, tra-mite la (3.18), l’equazione del piano contenente A, B e C si trova la (3.23) e
quindi la (3.16).