6.6 Classificazione affine delle quadriche
6.6.1 Invarianti affini
6.6.1 Invarianti affini
A questo punto la domanda importante è se i nove tipi di equazione canonica del Teorema 6.25 sono tutti distinti dal punto di vista affine, nel senso che non esiste una trasformazione affine (o un cambiamento di coordinate affini) che porti uno dei tipi in un qualunque altro tipo.
Per dimostrare che non sono affinemente equivalenti utilizziamo la Proposizio-ne 6.4 dalla quale si ricava che se P = MP′+ β è una trasformazione affine eQ è una conica di equazione
P⊤AP + 2a⊤P + a00 = 0 allora
rank(A) = rank(A′) , rank( ˜A) = rank( ˜A′) e
det(A) = λ det(A′) , det( ˜A) = λ det( ˜A′) , con λ > 0 ,
dove con A′ e ˜A′ abbiamo indicato le matrici dell’equazione della conica tra-sformata. Quindi i due ranghi e i due determinanti sono degli invarianti affini, anche se va osservato che mentre il rango rimane numericamente uguale i due determinanti vengono moltiplicati per una costante positiva. In ogni caso se uno dei determinanti è zero rimane zero. Bisogna però osservare che il segno di ∆ non è un invariante. Infatti, sebbene tramite una trasformazione affine ∆ viene moltiplicato per una costante positiva, il segno di ∆ per una data conica non è univocamente determinato: se moltiplichiamo l’equazione di una conica per−1 si ottiene la stessa conica ma il determinante della matrice ˜A, essendo di ordine 3, viene moltiplicato per (−1)3 = −1 e quindi cambia segno. Al con-trario, il segno di δ è un invariante affine poiché la matrice A è di ordine 2.
Con un calcolo diretto degli invarianti sopra descritti per i nove tipi di equa-zioni canoniche determinati nel Teorema 6.25 si ottiene la Tabella 6.1. Dalla Tabella 6.1 rimane da verificare che non sono affinemente equivalenti (i) con (ii) e gli ultimi tre tipi (vii), (viii) e (ix). La conica (i) ha solo punti immaginari
Tipo Equazione ∆ δ Nome
(i) y2 =−x2− 1 , 0 > 0 (Ellisse immaginaria) (ii) y2 =−x2+ 1 ,0 >0 (Ellisse reale)
(iii) y2 = x2+ 1 ,0 <0 (Iperbole) (iv) y2 = x ,0 = 0 (Parabola)
(v) y2 =−x2 = 0 >0 (Rette immaginarie incidenti) (vi) y2 = x2 = 0 <0 (Rette reali incidenti)
(vii) y2 =−1 = 0 = 0 (Rette immaginarie parallele) (viii) y2 = 1 = 0 = 0 (Rette reali parallele)
(ix) y2 = 0 = 0 = 0 (Rette reali coincidenti).
Tabella 6.1 – Gli invarianti affini per i nove tipi di coniche
mentre (ii) è reale quindi non possono essere affinementi equivalenti. Per lo stesso motivo (vii) non può essere affinemente equivalente con (viii) o con (ix).
In fine, la matrice ˜A del tipo (ix) è l’unica con rango uno.
La Tabella 6.1 mostra che le coniche affini si dividono in quelle con ∆ , 0 e quelle con ∆ = 0. Chiamiamo coniche non degeneri quelle con ∆ , 0 e coniche degeneri quelle con ∆ = 0. Un osservazione attenta della Tabel-la 6.1 mostra che una conica è non degenere se non contiene nessuna retta e di conseguenza il polinomio che la descrive è irriducibile, nel senso che non si può scrivere come prodotto di due polinomi (eventualmente con coefficienti complessi) di primo grado.
6.6.2 Classificazione affine delle quadriche
Con una dimostrazione simile a quella della Proposizione 6.24 si dimostra la seguente.
Proposizione 6.26. SiaQ una quadrica di equazione (6.1). Allora esiste una trasformazione affine rispetto alla quale la quadrica assume l’equazione
z2 = F(x, y) , (6.35)
dove F(x, y) è un polinomio di secondo grado in x e y.
Possiamo adesso enunciare il seguente
Teorema 6.27. SiaQ una quadrica di equazione (6.1). Allora esiste una tra-sformazione affine rispetto alla quale la conica assume una delle seguenti forme canoniche:
(i) z2 =−x2− y2− 1 (Ellissoide immaginario) (ii) z2 =−x2− y2+ 1 (Ellissoide reale)
(iii) z2 =−x2+ y2+ 1 (Iperboloide ad una falda) (iv) z2 = x2+ y2+ 1 (Iperboloide a due falde) (v) z2 =−y2+ x (Paraboloide ellittico) (vi) z2 = y2+ x (Paraboloide iperbolico) (vii) z2 =−x2− y2 (Cono immaginario) (viii) z2 =−x2+ y2 (Cono reale)
(ix) z2 =−y2− 1 (Cilindro immaginario) (x) z2 =−y2+ 1 (Cilindro ellittico) (xi) z2 = y2− 1 (Cilindro iperbolico) (xii) z2 = y (Cilindro parabolico)
(xiii) z2 =−y2 (Piani immaginari incidenti) (xiv) z2 = y2 (Piani reali incidenti) (xv) z2 =−1 (Piani immaginari paralleli) (xvi) z2 = 1 (Piani reali paralleli) (xvii) z2 = 0 (Piani reali coincidenti)
Dimostrazione. Dalla Proposizione 6.26 esiste una trasformazione affine ri-spetto alla quale la quadrica assume la forma
z2 = F(x, y) ,
dove F(x, y) è un polinomio di secondo grado in x e y. Se F(x, y) = 0 descrive una conica esiste una trasformazione affine
x7→ x′ = ϕ1(x, y) y7→ y′= ϕ2(x, y) ,
del piano z = 0, rispetto alla quale la conica F(x, y) = 0 assume una delle nove forme canoniche descritte nel Teorema 6.25. Quindi rispetto alla
trasformazio-ne affitrasformazio-ne
x7→ x′ = ϕ1(x, y) y7→ y′ = ϕ2(x, y) z7→ z
l’equazione z2 = F(x, y) assume una delle seguenti forme canoniche (tenendo in conto che l’opposto di una forma canonica per F(x, y) è ancora una forma canonica):
(i) z2=−x2− y2− 1 (Ellissoide immaginario) (ii) z2=−x2− y2+ 1 (Ellissoide reale)
(iii) z2=−x2+ y2+ 1 (Iperboloide ad una falda) (iv) z2= x2+ y2+ 1 (Iperboloide a due falde) (v) z2=−y2+ x (Paraboloide ellittico) (vi) z2= y2+ x (Paraboloide iperbolico) (vii) z2=−x2− y2 (Cono immaginario) (viii) z2=−x2+ y2 (Cono reale)
(ix) z2=−y2− 1 (Cilindro immaginario) (x) z2=−y2+ 1 (Cilindro ellittico) (xi) z2= y2− 1 (Cilindro iperbolico)
(xiii) z2=−y2 (Piani immaginari incidenti) (xiv) z2= y2 (Piani reali incidenti).
Rimangono da studiare i casi in cui il polinomio F(x, y) è di grado uno o di grado zero. Nel primo caso, supponendo che il coefficiente in y sia diverso da zero (altrimenti si effettua la trasformazione affine che scambia x con y) si ottiene, tramite l’ovvia trasformazione affine, l’unica forma canonica
(xii) z2 = y (Cilindro parabolico),
Nel secondo caso F(y, x) = c, con c costante, e, a seconda che il valore di c sia maggiore, minore o uguale a zero, si trovano le ultime tre forme canoniche:
(xv) z2 =−1 (Piani immaginari paralleli) (xvi) z2 = 1 (Piani reali paralleli)
(xvii) z2 = 0 (Piani reali coincidenti).
Anche in questo caso un calcolo esplicito degli invarianti δ e ∆ restituisce la Tabella 6.2. Si osservi che nel caso delle quadriche il segno di δ non può
essere un invariante affine, infatti in questo caso la matrice A ha ordine dispari, mentre è un invariante il segno di ∆. Dall’osservazione della Tabella 6.2 ci si rende conto che i soli due invarianti δ e ∆ non sono sufficienti per distinguere i vari tipi di quadriche affini. Abbiamo in questo caso aggiunto nella tabella anche i relativi valori dei ranghi delle matrici A e ˜A.
Tipo Equazione ∆ δ (ρ( ˜A), ρ(A)) Nome
(i) z2= −x2− y2− 1 > 0 , 0 (4, 3) (Ellissoide immaginario) (ii) z2= −x2− y2+ 1 <0 , 0 (4, 3) (Ellissoide reale)
(iii) z2= −x2+ y2+ 1 >0 , 0 (4, 3) (Iperboloide ad una falda) (iv) z2= x2+ y2+ 1 <0 , 0 (4, 3) (Iperboloide a due falde) (v) z2= −y2+ x <0 = 0 (4, 2) (Paraboloide ellittico) (vi) z2= y2+ x >0 = 0 (4, 2) (Paraboloide iperbolico) (vii) z2= −x2− y2 = 0 , 0 (3, 3) (Cono immaginario) (viii) z2= −x2+ y2 = 0 , 0 (3, 3) (Cono reale)
(ix) z2= −y2− 1 = 0 = 0 (3, 2) (Cilindro immaginario) (x) z2= −y2+ 1 = 0 = 0 (3, 2) (Cilindro ellittico) (xi) z2= y2− 1 = 0 = 0 (3, 2) (Cilindro iperbolico) (xii) z2= y = 0 = 0 (3, 1) (Cilindro parabolico)
(xiii) z2= −y2 = 0 = 0 (2, 2) (Piani immaginari incidenti) (xiv) z2= y2 = 0 = 0 (2, 2) (Piani reali incidenti)
(xv) z2= −1 = 0 = 0 (2, 1) (Piani immaginari paralleli) (xvi) z2= 1 = 0 = 0 (2, 1) (Piani reali paralleli)
(xvii) z2= 0 = 0 = 0 (1, 1) (Piani reali coincidenti)
Tabella 6.2 – Gli invarianti affini per i 17 tipi di quadriche
Per terminare dobbiamo verificare che i diciassette tipi di quadrica nella Ta-bella 6.2 non sono a due a due affinementi equivalenti. Tramite l’uso degli invarianti, rimangono ancora alcuni casi irrisolti dei quali discutiamo adesso.
Il tipo (i) non è equivalente al tipo (iii) in quanto in un caso la quadrica è imma-ginaria e nell’altro caso è reale. Il tipo (ii) non è equivalente al tipo (iv) poiché il cono asintotico di (ii) è immaginario mentre quello di (iv) è reale. Il tipo (vii) essendo immaginario non è equivalente al tipo (viii). Il tipo (ix) essendo im-maginario non può essere equivalente al tipo (x) o al tipo (xi), mentre i due tipi (x) e (xi) avendo coni asintotici rispettivamente immaginari e reali non sono equivalenti. Il tipo (xiii) è una quadrica immaginaria e quindi non equivalente al tipo (xiv). In fine il tipo (xv), poiché immaginario, non è equivalente al tipo (xvi).
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Geometria quadratica 3: quadriche e coniche euclidee
Questo capitolo è dedicato allo studio delle quadriche e delle coniche dal pun-to di vista euclideo. In particolare, daremo la classificazione euclidea delle quadriche e delle coniche.
7.1 Direzioni principali
Sia Q una quadrica (conica) in uno spazio (piano) euclideo e sia (O, B) un riferimento cartesiano dello spazio (piano). Rispetto al riferimento (O,B), es-sendo un particolare riferimento affine, la quadrica ha un equazione del tipo (6.3), cioè
P⊤AP + 2a⊤P + a00 = 0 .
Ricordando che il prodotto scalare tra due vettori v e w, rispetto ad una base ortonormale, è dato dahv, wi = v⊤w, si ottiene che la (6.3) può essere riscritta
nella forma
hP, APi + 2ha, Pi + a00= 0.
Diamo adesso l’importante
Definizione 7.1. Una direzione u è una direzione principale per una quadrica (conica) se è perpendicolare a tutte le direzioni ad essa coniugate.
In pratica una direzione u è principale sehu, vi = 0 per ogni direzione v tale chehu, Avi = 0. Segue immediatamente che il piano diametrale (il diametro) coniugato ad una direzione principale u è perpendicolare ad u.
Geometricamente, dalla definizione di diametro coniugato, si ottiene imme-diatamente che se un punto P appartiene ad una quadrica (conica), allora il suo simmetrico rispetto ad un piano diametrale coniugato (diametro coniuga-to) ad una direzione principale appartiene ancora alla stessa quadrica (conica).
Questa proprietà implica che un diametro coniugato ad una direzione princi-pale divide la quadrica (conica) in due parti simmetriche rispetto al diametro.
Questo fatto suggerisce la seguente
Definizione 7.2. Il diametro coniugato ad una direzione principale prende il nome di piano di simmetria nel caso di una quadrica e asse di simmetria nel caso di una conica.
Diamo adesso un criterio per determinare le direzioni principali.
Proposizione 7.3. SiaQ una quadrica (conica) di equazione hP, APi + 2ha, Pi + a00= 0.
Una direzione u è principale se e solo se è un autovettore della matrice A relativo ad un autovalore diverso da zero.
Dimostrazione. Sia u una direzione principale, per ogni direzione v tale che hAu, vi = 0 si ha hu, vi = 0. Segue che sia Au che u sono perpendicolari alla giacitura del piano coniugato ad u la quale ha dimensione 2. Quindi Au e u appartengono ad un sottospazio vettoriale di dimensione 1 e quindi sono pro-porzionali, cioè esiste un λ , 0 tale che Au = λu.
Viceversa, sia u tale che Au = λu, con λ , 0. Sia v una direzione coniugata a u, allora
0 =hAu, vi = hλu, vi = λhu, vi
dalla quale, essendo λ , 0, segue chehu, vi = 0. Ricordando che un endomorfismo simmetrico è sempre diagonalizzabile e che una matrice simmetrica si può pensare come la matrice associata ad un endo-morfismo simmetrico, rispetto ad una base ortonormale, segue che la matrice A di una quadrica (conica) è sempre diagonalizzabile. Inoltre, siccome la ma-trice A non può essere la mama-trice nulla esiste almeno un autovalore λ , 0 i cui autovettori corrispondenti sono direzioni principale. Questo ragionamento ci permette di enunciare la seguente
Proposizione 7.4. Ogni quadrica (conica) ammette almeno un piano (asse) di simmetria.
Se il piano di simmetria di una quadrica coincide con uno dei piano cartesiani allora l’equazione della quadrica nella forma mostrata dalla seguente
Proposizione 7.5. Se, per esempio, x = 0 è un piano (asse) di simmetria per una quadrica (conica)Q, allora o Q contiene il piano (l’asse) o l’equazione di Q non contiene i termini dove la variabile x compare di primo grado.
Dimostrazione. Dimostriamo il risultato per una conica. Sia
a11x2+ a22y2+ 2a12xy + 2a10x + 2a20y + a00 = 0 (7.1) l’equazione di una conica. Se la retta x = 0 è un asse di simmetria e (x, y) soddisfa la (7.1) allora anche (−x, y) soddisfa la (7.1). Segue che, per ogni P = (x, y)∈ Q, si ha
a11x2+ a22y2+ 2a12xy + 2a10x + 2a20y + a00= 0 a11x2+ a22y2− 2a12xy− 2a10x + 2a20y + a00= 0 o, equivalentemente,
a11x2+ a22y2+ 2a20y + a00= 0
a12xy + a10x = 0. (7.2)
Siccome le equazioni in (7.2) devono essere soddisfate entrambe dalle coordi-nate di tutti i punti della conica si perviene, dopo un attenta analisi, alla conclu-sione che l’equazione della conica deve essere una delle due di (7.2) mentre i coefficienti dell’altra devono essere nulli (cioè la condizione è un’identità). La dimostrazione per le quadriche è analoga e viene lasciata come esercizio.
A questo punto il lettore dovrebbe ripercorrere gli esempi di coniche e qua-driche visti nel Capitolo 5 e determinare per ognuno le direzioni principali e i corrispondenti piani o assi di simmetria.