3.2 Sottospazi affini del piano e dello spazio
3.2.2 Geometria piana della retta
x = x0+ l t y = y0+ m t z = z0+ n t
(3.5)
L’equazione P = P0+ tu prende il nome di equazione parametrica della retta ed esprime le coordinate dei punti P, appartenenti alla retta r passante per P0
e parallela al vettore u, in funzione di un parametro reale t. Le componenti del vettore u si chiamano coefficienti direttori della retta r.
Osservazione 3.2. L’equazione parametrica di una retta ha carattere affine, nel senso che la sua espressione vale in coordinate affini.
3.2.2 Geometria piana della retta
Nel caso si consideri solamente il piano euclideo E2 tutte le costruzioni vi-ste sino ad ora sono identiche. Bisognerà esclusivamente utilizzare i vettori {i, j} della base canonica cosí che i punti avranno solamente due coordinate.
L’equazione parametrica della retta diventa, in questo caso,
x = x0+ lt y = y0+ mt .
Eliminando il parametro t dalle equazioni precedenti (supponendo che l e m siano entrambi diversi da 0) si trova
x− x0
l = y− y0
m . (3.6)
L’equazione (3.6) fornisce un legame tra le coordinate di un punto generico P = (x, y) che appartiene alla retta r. Cioè un punto P = (x, y) appartiene alla retta r se e solo se le sue coordinate soddisfanno alla (3.6). La (3.6) si può riscrivere nella forma
m(x− x0)− l(y − y0) = 0 o, equivalentemente,
mx− ly − mx0+ ly0= 0.
Se adesso poniamo a = m, b =−l e c = −mx0+ ly0 si ottiene l’equazione
ax + by + c = 0, (3.7)
che prende il nome di equazione cartesiana della retta nel piano. Andiamo ad analizzare l’equazione cartesiana della retta nei casi, esclusi in precedenza, in cui l =−b o m = a siano uguali a zero:
a = 0, b , 0. In questo caso l’equazione diventa by + c = 0, cioè y = −c/b = costante. Tutti i punti della retta hanno la stessa ordinata, mentre l’ascissa (non comparendo nell’equazione) può essere qualunque. Si tratta quindi di una retta orizzontale (si veda la Figura 3.7 (a)). Se c = 0 si ottiene l’equazione dell’asse delle ascisse (delle x) y = 0.
a , 0, b = 0. L’equazione diventa ax + c = 0, cioè x = −c/a = costante. In questo caso si tratta di una retta verticale (si veda la Figura 3.7 (b)).
Si osservi che data una retta di equazione cartesiana ax + by + c = 0 il vettore n = (a, b) risulta perpendicolare alla retta. Infatti, il vettore direzionale della retta è u = (l, m) = (−b, a) da cui segue che hu, ni = 0.
Retta per due punti
Dati due punti P1 = (x1,y1) e P2 = (x2,y2) esiste una ed una sola retta r passante per P1e P2. Per determinare l’equazione della retta r usiamo la (3.6).
Essendo i punti P1e P2appartenenti alla retta, il vettore P1P2 = (x2−x1, y2−y1) ha la stessa direzione della retta e possiamo dunque scegliere u = (l, m) =
x
Figura 3.7 – (a) Retta orizzontale. (b) Retta verticale.
P1P2 = (x2− x1, y2− y1). Infine, scegliendo P0 = P1e sostituendo l = x2− x1, m = y2− y1nella (3.6), si ottiene
x− x1
x2− x1 = y− y1
y2− y1. (3.8)
L’equazione (3.8) è equivalente alla
Dalla (3.9) si deduce la
Proposizione 3.3. Tre punti P1 = (x1,y1), P2 = (x2,y2) e P3 = (x3,y3) del piano sono allineati se e solo se
Se b = 0 abbiamo visto che l’equazione cartesiana ax + by + c = 0 rappresenta una retta verticale. Se escludiamo questo caso, cioè se imponiamo b , 0,
l’equazione cartesiana si può scrivere nella forma y =−a
bx− c
b. (3.11)
Ponendo η =−a/b e q = −c/b, la (3.11) diventa
y = ηx + q (3.12)
che prende il nome di equazione esplicita della retta. I coefficienti η e q hanno entrambi un significato geometrico.
Significato di q. Data una retta di equazione y = ηx+q determiniamo le coordi-nate dell’intersezione della retta con l’asse delle ordicoordi-nate. L’asse delle ordicoordi-nate ha equazione x = 0, quindi per trovare il punto di intersezione dobbiamo porre x = 0 nell’equazione della retta, ottenendo cosi il punto di coordinate (0, q).
Dunque q rappresenta l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse delle y ed è chiamata intercetta (si veda la Figura 3.8 (a)).
x y
q
(a)
x y
P
O θ
1
η
η
(b)
Figura 3.8 – (a) Significato di q. (b) Significato di η.
Significato di η. Per comprendere il significato di η consideriamo la retta di equazione y = ηx. La retta passa per l’origine e per il punto P = (1, η) come mostra la Figura 3.8 (b). Mostriamo che il coefficiente η, chiamato coefficiente angolare, determina l’angolo θ che la retta forma con la direzione positiva del-l’asse delle x. Dalla Figura 3.8 (b), utilizzando i teoremi sui triangoli rettangoli, risulta che:
1 =||OP|| cos θ e η = ||OP|| sin θ.
Esplicitando||OP|| dalla prima si ottiene:
||OP|| = 1 cos θ
che sostituita nella seconda fornisce il legame desiderato:
η = sin θ
cos θ = tan θ.
Posizione di due rette e coefficiente angolare
Sia r una retta nel piano di equazione esplicita y = ηx + q. Dati due punti P e P′ appartenenti alla retta il vettore PP′ è un vettore direzionale per la retta r. Una verifica diretta (sostituendo le coordinate e verificando che soddisfa-no all’equazione della retta) mostra che i punti P = (0, q) e P′ = (1, η + q) appartengono alla retta r, quindi possiamo scegliere come vettore direzionale u = PP′ = (1, η).
Se adesso consideriamo due rette r e r′di equazione r : y = ηx + q, r′ : y = η′x + q′ i corrispondenti vettori direzionali sono
u = (1, η), u′ = (1, η′).
Se le rette r ed r′ sono parallele, allora i vettori direzionali sono proporzionali, cioè esiste λ∈ R, λ , 0, tale che u = λu′ o equivalentemente (1, η) = (λ, λη′).
Segue che λ = 1 e η = η′. Abbiamo così dimostrato che r è parallele a r′ se e solo se η′ = η
Se le rette r ed r′ sono perpendicolari, allora i vettori direzionali sono perpen-dicolare, cioèhu, u′i = h(1, η), (1, η′)i = 1 + ηη′ = 0. Si ha quindi
r è perpendicolare a r′ se e solo se η′η =−1 Fascio di rette
Date due rette r e r′di equazione cartesiana ax + by + c = 0 e a′x + b′y + c′ = si consideri l’equazione
Fλ,µ = λ(ax + by + c) + µ(a′x + b′y + c′) = 0
con λ, µ ∈ R e (λ, µ) , (0, 0). Chiaramente Fλ,µ = 0 rappresenta l’equazione di una retta per ogni valore di λ e µ. L’equazione Fλ,µ = 0 prende il nome di equazione omogenea del fascio di rette mentre le rette r ed r′ rappresentano le rette base del fascio. I fasci si dividono in due tipi:
• Fasci propri. In questo caso le rette base del fascio si intersecano in un punto, detto centro del fascio e tutte le rette del fascio passano per il centro.
• Fasci impropri. In questo caso le rette base del fascio sono parallele, e tutte le rette del fascio sono parallele alle rette base. Come caso parti-colare si trova quello in cui le rette base coincidono e quindi coincidono tutte le rette del fascio.
Tutte le rette di un fascio proprio di centro P0= (x0,y0), tranne quella verticale, si possono descrivere dall’equazione
y− y0= η(x− x0) (3.13)
che rappresenta la generica retta passante per P0 e con coefficiente angolare η.
Noto il coefficiente angolare, comune alle rette base di un fascio improprio, quest’ultimo ha equazione del tipo
y = ηx + k , dove η è fissato mentre k varia.
Osservazione 3.4. I fasci di rette sono utili per risolvere alcuni problemi geo-metrici. Mostriamo come utilizzare il fascio proprio per determinare, assegnata una retta r di equazione y = ηx + q, una retta r′ortogonale ad r e passante per il punto P0 = (x0,y0). Le rette passanti per P0 = (x0,y0) sono descritte dal fascio proprio y− y0 = η′(x− x0) con η′ che varia. Essendo la retta r′ortogonale a r risulta che η′ = −1η, da cui l’equazione della retta cercata è
y− y0 =−1
η(x− x0).
Distanza di un punto da una retta
Sia P0 = (x0,y0) un punto del piano e sia r la retta di equazione ax + by + c = 0, allora la distanza di P0dalla retta r è data da
d(P0,r) = |ax0+ by0+ c|
√a2+ b2 .
Per dimostrare la formula si procede nel modo seguente. Si determina la retta r′ per P0 ortogonale alla retta r. Chiamata con H l’intersezione di r e r′, si ha che d(P0,r) = d(P0,H) (si veda la Figura 3.9).
x y
b
H
b P0
r
r′
Figura 3.9 – La distanza di P0da r.
Sia u = (a, b). Allora la retta r ha equazione cartesiana hP, ui + c = 0 mentre r′ ha equazione parametrica P = P0 + tu. Intersecando r con r′ si ottiene
0 =hP0+tu, ui+c = hP0,ui+c+kuk2t da cui
tH =−hP0,ui + c kuk2 . Segue che
H = P0− tHu . Infine
d(P0,H) =kH − P0k = |tH| kuk = |hP0,ui + c|
kuk = |ax0+ by0+ c|
√a2+ b2 .
3.2.3 Esercizi
1. Dati i punti A = (1, 2), B = (2,−2), C = (−3, −4) del piano euclideo si consideri il triangolo ABC. Determinare:
• le equazioni cartesiane e parametriche delle rette contenenti i lati del triangolo;
• le equazioni cartesiane e parametriche delle rette contenenti le me-diane del triangolo;
• le equazioni cartesiane e parametriche delle rette passanti per un vertice e parallele al lato opposto;
• le equazioni cartesiane e parametriche delle rette passanti per un vertice ed ortogonali al lato opposto.
2. Si consideri il fascio di rette individuato dalle rette r : x− y + 1 = 0 e s :
x = 1− t y = −1 + t
• Determinare la retta del fascio passante per il punto P(0, −1).
• Determinare due rette del fascio ortogonali tra di loro.
• Determinare una retta del fascio che formi un angolo di π/3 con la retta r.
• Determinare la retta del fascio parallela alla retta 2x − y − 1 = 0.
3. Date le rette r : x− ky + 2k = 0 e s : kx − y + k = 0, determinare per quali valori di k∈ R
• le rette sono parallele;
• le rette sono ortogonali;
• il loro punto comune appartiene alla retta x + y − 2 = 0.
4. Date le rette r : x + 2y + 1 = 0 e s :
x = 1 + t y =−1 − 2t
• Determinare le bisettrici degli angoli individuati dalle due rette.
• Determinare un punto su r che abbia distanza 2 da s.
• Detto C è il punto di intersezione tra r ed s, determinare un punto A su r ed un punto B su s tali che il triangolo ABC sia isoscele ed abbia base BC pari a 2.
5. Determinare il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dai punti A = (−1, 2) e B = (3, −4).
6. Dati i punti A = (1, 0), B = (2, 0) ed il fascio di rette y = k, determinare per quali valori di k ∈ R esiste un punto C sulla retta del fascio tale che il triangolo ABC sia equilatero.
7. Si consideri il fascio di rette generato da r : x + 2y + 3 = 0 e s : x−y = 0.
• Determinare per quali valori di k ∈ R la retta kx − ky + 1 = 0 appartiene al fascio
• Determinare due rette del fascio perpendicolari le cui intercette distano 2.
• Determinare le rette del fascio perpendicolari alle bisettrici delle rette r ed s.
8. Si definisce incentro di un poligono il punto equidistante da tutti i suoi lati.
• Dimostrare che l’incentro è il punto comune di tutte le bisettrici degli angoli interni.
• Dimostrare che l’incentro di un triangolo di vertici P1 = (x1,y1), P2= (x2,y2) e P3 = (x3,y3) ha coordinate
a1x1+ a2x2+ a3x3
(a1+ a2+ a3) ,a1y1+ a2y2+ a3y3
(a1+ a2+ a3)
!
dove ai, i = 1, 2, 3, rappresenta la misura del lato opposto al vertice Pi.
9. Date le rette r : x + 2y + 3 = 0, r′ : x− y + 1 = 0 e r′′ : x + y + 3 = 0.
• Determinare l’area del triangolo individuato dalle tre rette.