Intersezione di una sfera (circonferenza) con una retta 81

Sia r una retta parametrizzata da P = P₀ + tu e siaS una sfera di equazione kP −Ck²− R²= 0. I punti di intersezione tra r eS si ottengono determinato per

quali valori di t i corrispondenti punti della retta appartengono alla sfera, cioè soddisfano all’equazione della sfera. Per determinare tali punti basta sostituire il generico punto P della retta nell’equazione della sfera ed imporre che la soddisfi. Si ottiene la condizione

k(P0− C) + tuk²− R²= 0 , che è equivalente alla

kuk²t²+ 2h(P⁰− C), uit + kP⁰− Ck²− R² = 0 . (5.6) La (5.6) rappresenta un’equazione di secondo grado in t la quale ammette due soluzioni reali distinte, due soluzioni reali coincidenti o due soluzioni comples-se coniugate a comples-seconda che il discriminante ∆ sia maggiore, uguale o minore di zero. Un calcolo diretto, utilizzando l’identità di Lagrange¹ e tenendo in considerazione la (3.27), mostra che

∆/4 = h(P0− C), ui²− kuk²(kP0− Ck²− R²) (5.7)

= −k(P⁰− C) ∧ uk²+kuk²R²

= kuk² R²− k(P0− C) ∧ uk² kuk²

!

= kuk²[R²− d(C, r)²] .

Abbiamo quindi dimostrato che una retta r ha due soluzioni reali distinte, due soluzioni reali coincidenti o due soluzioni complesse coniugate con una sferaS a seconda che la distanza della retta con il centro della sfera sia minore, uguale o maggiore del raggio della sfera.

Le stesse considerazioni fatte sino ad ora e che faremo nel seguito valgono nel caso di una retta ed una circonferenza in un piano euclideo.

Chiameremo secante una retta che interseca una sfera in due punti reali distin-ti, esterna una che incontra la sfera in due punti immaginari. Nel caso in cui la

1Se u, v∈ V³l’identità di Lagrange è

ku ∧ vk²=kuk²kvk²− hu, vi².

retta incontra la sfera in due punti reali coincidenti diremo che la retta è tangen-te alla sfera nel punto di contatto (il punto doppio ottangen-tenuto dall’intangen-tersezione).

Si osservi che tale definizione di retta tangente è puramente algebrica.

In ogni caso una retta r tangente ad una sfera in un suo punto P risulta perpen-dicolare al vettore posizione CP, dove C è il centro della sfera. Tale proprietà discente direttamente dal fatto che la distanza di P da C è pari al raggio R del-la sfera e che ogni altro punto deldel-la retta ha distanza maggiore di R dal centro C.

Consideriamo adesso, fissato un punto P₀ dello spazio, il luogo delle rette per P0 tangenti ad una data sfera dello spazio. Sia P un punto appartenente ad una delle rette per P₀ tangenti alla sfera S di centro C e raggio R. Allora il vettore P− P0ha la direzione della retta tangente. Segue che la retta per P₀con direzione P− P0 interseca la sfera in due punti reali coincidenti. Dalla (5.7), sostituendo u con P− P⁰, si ottiene

h(P⁰− C), (P − P⁰)i²− kP − P⁰k²(kP⁰− Ck²− R²) = 0 .

Adesso, sostituendo nell’ultima equazione P− P⁰ = P− C + C − P⁰, si ottiene (dopo qualche conto)

[h(P − C), (P⁰− C)i − R²]²− (kP − Ck²− R²)(kP⁰− Ck²− R²) = 0 . (5.8) La (5.8) rappresenta l’equazione cartesiana del luogo delle rette per P0 tan-genti alla sfera di centro C e raggio R. Geometricamente, se il punto P₀ non appartiene alla sfera, questo luogo rappresenta un cono di vertice P₀ tangente (circoscritto) alla sfera (per una definizione generale di cono si veda la sezio-ne 5.2). Nel caso di una circonferenza il luogo delle rette per un punto P₀ tangenti ad una circonferenza è formato da due rette. Si noti che se il punto P0è interno alla sfera si ottiene un cono immaginario, nel senso che è un cono costituito da rette immaginarie. Analogamente, nel caso della circonferenza, se il punto P₀ è interno si ottengono due rette immaginarie.

Un caso notevole e di grande interesse è quando il punto P₀ appartiene alla sfera. In questo caso la (5.8) diventa

h(P − C), (P⁰− C)i − R² = 0 , (5.9) che rappresenta l’insieme di tutte le rette tangenti alla sfera nel punto P₀, cioè il piano tangente alla sfera nel punto P0. Nel caso della circonferenza nel piano

la (5.9) rappresenta la retta tangente alla circonferenza nel punto P₀. Riscrivendo l’equazione cartesiana di una sfera nella forma

h(P − C), (P − C)i − R² = 0

si nota che, formalmente, l’equazione del piano tangente alla sfera in un suo punto P₀ si ottiene sostituendo ad uno degli argomenti il punto generico P con il punto P₀. Da un punto di vista operativo, se l’equazione della sfera è

x²+ y²+ z²+ ax + by + cz + d = 0 e P₀ = (x₀,y₀,z₀), l’equazione del piano tangente (5.9) diventa

xx0+ yy0+ zz0+ a

2(x + x0) + b

2(y + y0) + c

2(z + z0) + d = 0 .

Questa operazione prende il nome di polarizzazione. Si osservi, inoltre, che da-to un punda-to P₀, non necessariamente appartenente alla sfera, i punti di contatto delle rette per P0tangenti alla sfera soddisfano sia la (5.1) che la (5.8) e quindi soddisfano la (5.9). Questo fatto mostra che il piano descritto dall’equazione (5.9) ha un ruolo importante anche quando il punto non appartiene alla sfera.

In particolare, data una sferaS ed un punto P⁰ dello spazio definiamo piano polare del punto P₀ rispetto alla sfera S il piano di equazione (5.9). Ovvia-mente se P₀ ∈ S, allora il piano polare di P0coincide con il piano tangente alla sfera in P₀. Inoltre, dalla simmetria della (5.9), discende il seguente fatto che prende il nome di Teorema di Reciprocità: Se Q₀appartiene al piano polare di P₀, allora P₀appartiene al piano polare di Q₀.

Nel caso della circonferenza nel piano la polare di un punto P₀ è una retta ed utilizzando il Teorema di Reciprocità si può dare una costruzione grafica esplicita di tale retta come mostra il seguente esempio.

Esempio 5.4. Data una circonferenza C ed un punto P⁰ esterno determinare graficamente la retta polare. Il problema ha una soluzione immediata, basta considerare le due rette per P0 tangenti alla circonferenza. Infatti, come os-servato in precedenza, i punti di contatto appartengono alla retta polare di P₀. Quest’ultima proprietà si può anche verificare utilizzando il Teorema di Re-ciprocità: sia P1 un punto di tangenza, allora la polare di P1, essendo la retta

tangente alla circonferenza in P₁, passa per il punto P₀; dalla reciprocità la pol-lare di P₀passa per P₁. Si veda la Figura 5.4 (a). Se adesso supponiamo che il punto P₀ sia interno alla circonferenza si può procedere nel modo seguente. Si prenda una qualsiasi retta r₁per P₀. La retta r₁intersecherà la circonferenza in due punti Q₁e Q₂. Per il Teorema di Reciprocità il punto di incontro P₁delle due rette tangenti alla circonferenza nei punti Q₁e Q₂appartiene alla polare di P0. Prendendo una seconda retta per P0 e ripetendo lo stesso procedimento si ottiene un secondo punto appartenente alla polare di P₀. Si veda la Figura 5.4 (b).

b

bb

P1

P2

P0

(a) P₀esterno

b

b b

b b bb

Q1

Q2

P1

P2

P0

(b) P₀interno

Figura 5.4 – Costruzione della polare per un punto esterno (a) e per un punto interno (b).

Il procedimento descritto sopra per tracciare la polare di un punto interno ad una circonferenza fallisce quando P0coincide con il centro della circonferenza.

In questa situazione le rette tangenti alla circonferenza nei punti Q₁ e Q₂sono parallele. Si verifichi, per esercizio, che se P₀ coincide con il centro di una circonferenza la (5.9) è una relazione impossibile.

5.1.4 Potenza di un punto rispetto ad una sfera (circonferen-za)

SiaS una sfera nello spazio e sia P0un punto di E³. Sia r una qualsiasi retta per P0, che interseca la sfera in due punti reali distinti P1e P2. Definiamo potenza

del punto P₀rispetto alla sferaS il numero

P(P⁰) =hP⁰P₁,P₀P₂i . (5.10) Mostriamo che la definizione di potenza non dipende dalla retta scelta per P0. Sia quindi r una generica retta per P₀che possiamo parametrizzare come P(t) = P₀+ tu con u vettore unitario. I punti di intersezione tra r e la sfera si trovano risolvendo l’equazione quadratica (5.6) conkuk = 1, cioè

t²+ 2h(P⁰− C), uit + d²− R²= 0 , (5.11) dove abbiamo indicato con d = d(P0,C). Siano t1 e t2 le due soluzioni della (5.11) e siano

P₁ = P₀+ t₁u e P₂ = P₀+ t₂u

i corrispondenti punti di intersezione della retta r con la circonferenza. Allora P₀P₁ = P₁− P0= P₀+ t₁u− P0= t₁u e P₀P₂ = P₂− P0 = P₀+ t₂u− P0 = t₂u da cui segue che

P(P0) =hP0P₁,P₀P₂i = t1t₂hu, ui = t1t₂ = d²− R², (5.12) dove, nell’ultimo passaggio, abbiamo utilizzato le note proprietà dei polinomi di secondo grado, cioè che il prodotto delle radici di un polinomio monico di secondo grado è pari al termine noto. La (5.12), non dipendendo dal vettore u, mostra che la definizione di potenza non dipende dalla retta scelta.

La (5.12) fornisce un metodo pratico per calcolare la potenza di un punto ed inoltre mostra che la potenza di un punto interno è negativa, quella di un punto esterno è positiva, mentre tutti i punti sulla sfera hanno potenza zero.

Il concetto di potenza permette di introdurre il seguente luogo geometrico.

Definizione 5.5. Date due sfere (circonferenze) S¹ e S² non concentriche si definisce piano radicale (asse radicale nel caso delle circonferenze) il luogo dei punti dello spazio cha hanno stessa potenza rispetto alle due sfere.

Nel caso di due circonferenzeC¹eC²del piano l’asse radicale può essere trac-ciato graficamente nel modo seguente. Se le due circonferenze si intersecano in due punti P₁ e P₂, essendo questi appartenenti alle due circonferenze han-no potenza zero rispetto ad entrambe e quindi appartengohan-no all’asse radicale.

Segue che l’asse radicale è la retta per P₁ e P₂ (Si veda la Figura 5.5 (a)). Se invece le due circonferenze non si intersecano si può considerare una terza cir-conferenzaC che intersechi sia C¹cheC² in due punti distinti ed abbia centro non appartenente alla retta congiungenti i centri delle due circonferenzeC1 e C². Denotato con r₁ l’asse radicale traC e C¹ e con r₂ l’asse radicale tra C e C²il punto P₁₂di intersezione tra r₁e r₂ha chiaramente stessa potenza rispetto alle tre circonferenzeC, C¹ e C² e quindi appartiene all’asse radicale diC¹ e C² (Si veda la Figura 5.5 (b)). Scegliendo un’altra circonferenza e ripetendo il procedimento si trova un altro punto dell’asse radicale.

bb

C1 C2

(a) Circonferenze secanti

b b b b

b

r2

r1

P12

C2

C1 C2

C

(b) Circonferenze esterne

Figura 5.5 – Costruzione dell’asse radicale per due circonferenze secanti (a) e per due esterne (b).

Se l’equazione di una circonferenzaC è x²+ y²+ ax + by + c = 0, dalla (5.12) segue immediatamente che la potenza di un punto P₀ = (x₀,y₀) rispetto aC è

P(P0) = x²₀+ y²₀+ ax₀+ by₀+ c.

Si dimostri che l’equazione dell’asse radicale di due circonferenze di equazione x²+ y²+ ax + by + c = 0 e x²+ y²+ a^′x + b^′y + c^′ = 0 è

(a− a^′)x + (b− b^′)y + c− c^′ = 0. (5.13) Si dimostri, inoltre, che la retta congiungente i due centri di due circonferenze è perpendicolare al corrispondente asse radicale.

5.1.5 Intersezione di due circonferenze

Siano x² + y²+ ax + by + c = 0 e x²+ y²+ a^′x + b^′y + c^′ = 0 le equazioni di due circonferenzeC¹ eC². Per determinare i punti di intersezione traC¹ eC² si risolve il sistema











x²+ y²+ ax + by + c = 0 x²+ y²+ a^′x + b^′y + c^′ = 0 il quale è equivalente al sistema











x²+ y²+ ax + by + c = 0

(a− a^′)x + (b− b^′)y + (c− c^′) = 0 . (5.14) Se le circonferenze sono concentriche, cioè se a = a^′e b = b^′, la seconda equa-zione del sistema (5.14) implica che non esistono soluzioni (reali o complesse) se c− c^′ , 0 o che le circonferenze sono coincidenti se c− c^′ = 0.

Se le circonferenze non sono concentriche, allora uno tra a−a^′e b−b^′è diverso da zero. Esplicitando, nella seconda equazione del sistema (5.14), la variabile con coefficiente diverso da zero e sostituendo nella prima equazione si ottiene un’equazione quadratica con coefficiente del termine di secondo grado sempre diverso da zero (verificare) la quale, quindi, ammeterà due soluzioni reali di-stinte, complesse coniugate o coincidenti. La Figura 5.6 mostra la posizione reciproca delle due circonferenze e i corrispondenti punti di intersezione.

(a) Concentriche (b) Secanti (c) Esterne (d) Tangenti Figura 5.6 – Posizione reciproca di due circonferenze.