5.3 Fisica delle correnti continue
5.3.3 Conduttori Ohmici, leggi di ohm
E un lavoro di natura differente da quella elettrica (in genere chimica), che riesce a portare le cariche (positive) dal polo negativo a quello positi-vo, compiendo un lavoro per unit`a di carica contrario a quello del campo elettrostatico. fem = Z B A ~ Eem· ~dl
Dove ~Eem `e un campo di forze per unit`a di carica, detto campo elettromo-tore.
Dunque in un circuito il cammino non `e totalmente chiuso, ma interrotto dal generatore e fa si che
Z A B ~ Es· ~dl = Z B A ~ Eem· ~dl = fem
Chiaramente poich´e il campo elettromotore `e presente solamente all’interno del generatore possiamo estenderlo in questo modo:
I
Eem· ~dl = fem
Questo ci conferma che il campo elettromotore `e di natura non conservativa. Questa equazione ci dice anche che:
Z A B ~ Es· ~dl = fem n X k=1 ∆Vk= fem
La somma delle cadute di potenziale del circuito `e pari alla forza elettro-motrice, possiamo generalizzarlo se sono presenti pi`u forze elettromotrici:
n X k=1 ∆Vk= m X h=1 femh (5.4)
L’equazione 5.4 `e nota come secondo principio di kirchhoff.
5.3.3 Conduttori Ohmici, leggi di ohm
Per far scorrere una corrente attraverso un conduttore occorre fornire energia al materiale, infatti il passaggio di corrente genera un aumento della tempe-ratura del conduttre. Questa energia viene fornita sotto forma di differenza di potenziale ai capi del conduttore.
Per una serie di conduttori particolari, detti conduttori ohmici, la legge che ci dice l’andamento della differenza di potenziale con la corrente `e lineare
∆V
i = cost
Questa costante di proporzionalit`a `e una caratteristica del nostro materiale, e si chiama Resistenza.
Definizione 5.4 (Resistenza) La Resistenza `e una grandezza fisica asso-ciata ai conduttori ohmici, definita come la costante di proporzionalit`a tra differenza di potenziale ai capi del conduttore e intensit`a di corrente i che vi scorre dentro:
∆V
i = R (5.5)
Si misura in Ohm:
[R] = Ω
L’equazione 5.5 `e detta anche prima legge di Ohm.
Nel caso dei metalli, la grandezza R pu`o essere calcolata in base alla forma dell’oggetto. Per un filo di conduttore di sezione S e lunghezza l, la resistenza associata vale:
R = ρr l
S (5.6)
L’equazione 5.6 `e nota come seconda legge di Ohm, e permette di calcolare la resistenza associata a qualunque conduttore ohmico metallico, di qualunque forma3.
La grandezza ρr`e la resistivit`a di un materiale, generalmente `e funzione della temperatura, e pu`o essere ricavata empiricamente, sar`a, sviluppando al primo ordine, qualcosa del tipo:
ρr(t) = ρ0r(1 + α∆t)
Dove ∆t `e la temperatura in gradi centigradi e ρ0r la resistivit`a a 0 gradi. Chiaramente si possono fare misure di maggiore precisione e andare avanti con uno sviluppo agli ordini superiori. Attraverso questo principio possono anche essere costruiti dei termometri, come ad esempio il termometro al Platino4.
3
Infatti basta spezzare il nostro resistore in tanti cubetti di sezione dS e lunghezza dl e poi integrare su tutti, sfruttando le leggi di resistenze in serie e parallelo.
4
Viene usato il platino perch´e `e un materiale particolarmente robusto e non viene intaccato dalle sostanze acide, `e quindi in grado di misurare temperature anche in ambienti poco accoglienti per altri materiali.
Modello microscopico dei conduttori ohmici
La struttura molecolare di un metallo ohmico contiene delle impurezze, inol-tre l’agitazione termica degli ioni del metallo fa si che gli elettroni nel loro moto abbiano interazioni energetiche sia con le impurezze che con l’agitazio-ne termica degli ioni. Possiamo schematizzare queste interazioni come degli urti, come se l’elettrone ad ogni urto perdesse informazioni sulla condizione precedente all’urto, Figura 5.4.
t ve
Figura 5.4: Schema della velocit`a di un elettrone che periodicamente vie-ne annullata da un interaziovie-ne con l’agitaziovie-ne termica degli ioni o con le imperfezioni nel reticolo metallico.
Dal punto di vista macroscopico questo effetto pu`o essere schematizzato come il moto in un mezzo viscoso, dove ho una forza frenante che frena il nostro oggetto. Aspettando un tempo sufficientemente lungo posso studiare il moto a regime con v∞= cost.
∆V = Ri
Con una differenza di potenziale costante ho una corrente costante ma i e ~
J sono proporzionali:
i ∝ ~J = nq~vd
Quindi a fronte di una ∆V costante ho una velocit`a di deriva degli elettroni costante.
Questo `e ovviamente un meccanismo di dissipazione. Prendiamo un elementino di filo di lunghezza dl e spessore dS, per la 5.6 vale:
∆V = Ri = ρrdl dSi Ma i = J dS ∆V = ρrdl dSJ dS ∆V dl = ρrJ E = ρrJ
Chiaramente questa relazione vale anche da un punto di vista vettoriale: ~
E = ρrJ~ (5.7)
L’equazione 5.7 `e molto importante poich´e riassume insieme puntual-mente le due leggi di Ohm!
Da questa possiamo notare come il campo elettrico produca una velocit`a di deriva costante, infatti
~
E = ρrne~vd
La relazione pu`o essere invertita introducendo la conducibilit`a del mate-riale σccome l’inverso della resistivit`a:
σc= ρ−1r ~ J = σcE~ Densit`a di carica sul bordo del conduttore
Possiamo sfruttare la relazione 5.7 per trovare l’espressione del campo elet-trico in un conduttore in cui `e presente una corrente. Ricordiamo che:
~
∇ · ~E = ρ ε0
~
∇ · ~J = 0
Cerchiamo di capire quanto vale ρ sulla superficie del conduttore. Notia-mo subito che all’esterno del conduttore ~J `e nullo. Costruiamo una superficie cilindrica infinitesima accavallo tra dentro e fuori il conduttore come fatto in precedenza (vedi Figura 3.3). Il flusso lungo le superfici laterali lo possia-mo trascurare poich´e queste le costruiamo di altezza infinitesima di ordine superiore. Il flusso sulla superficie esterna al conduttore `e nullo. Rimane solo il flusso sulla superficie interna:
ΦSc( ~J ) = JndS
Dove Jn `e la componente normale alla superficie del conduttore del campo intensit`a di corrente. Ma poich´e siamo in condizioni di stazionariet`a questo flusso deve essere nullo, per ogni valore di dS. Da cui:
Jn= 0 Poi per la 5.7
En= ρrJn= 0
La componente normale di ~E alla superficie del conduttore `e nulla. Questo ci dice che ~E `e parallelo alla superficie del conduttore, e che quindi, riprendendo di nuovo la superficie di Figura 3.3 e calcolando questa volta il flusso del campo ~E otteniamo che il flusso `e nullo (poich´e le componenti normali di ~E
sono nulle). Ma per il teorema di Gauss quel flusso `e pari alla carica interna alla superficie, ossia:
σdS = ΦSc( ~E) = 0
Da cui otteniamo che la densit`a di carica superficiale di un conduttore ohmico in regime stazionario `e nulla:
σ = 0 Resistenze in serie e in parallelo
In un circuito le resistenze possono essere disposte in vari modi:
Definizione 5.5 (Resistenze in serie) Due resistenze si definiscono in serie quando tra loro scorre la stessa corrente i, e possono essere considerate come un unica resistenza Req il cui valore `e la somma delle resistenze:
Req=
n
X
i=1
Ri
Le resistenze in serie sono indicate in genere come in Figura 5.5.
Figura 5.5: Resistenze in serie.
Con le leggi di Ohm. La differenza di potenziale ai capi di una resistenza `e:
VA− VB = iR1
La differenza di potenziale ai capi della resistenza seguente `e: VB− VC = iR2
Sommando tra loro queste equazioni otteniamo: VA− VC = i (R1+ Re)
Ossia possiamo considerare come se tra A e C ci sia una unica resistenza con valore pari a Req = R1+ R2:
VA− VC = iReq
Definizione 5.6 (Resistenze in parallelo) N resistenze si definiscono in parallelo quando ai loro capi c’`e la stessa differenza di potenziale ∆V , e pos-sono essere considerate come un unica resistenza Reqche rispetta la seguente legge: 1 Req = n X i=1 1 Ri
Sono schematizzate in Figura 5.6
Figura 5.6: Resistenze in parallelo.
Anche in questo caso il conto `e molto semplice, dividiamo la corrente che scorre in i1 e i2, sia i la corrente iniziale. Per la legge di Ohm:
∆V = iReq Per la prima legge di Kirchhoff
i = i1+ i2
Applicando la legge di Ohm alle due resistenze: i1 = ∆V R1 i2= ∆V R2 Da cui i = ∆V 1 R1 + 1 R2 Req = ∆V i 1 Req = i ∆V = 1 R1 + 1 R2
Ecco dimostrata anche la legge per il parallelo5.