Occupiamoci ora di studiare qual `e la differenza significativa tra il campo elettrico microscopico di cui abbiamo parlato nelle prime sezioni di questo capitolo, e il campo elettrico che effettivamente misuriamo in una certa zona di spazio.
In realt`a questa differenza `e molto difficile da descrivere in quanto dipen-de stretamente dal tipo di modipen-dellino che si utilizza per tratare la materia. Useremo adesso un modello di meccanica classica abbastanza semplice, nel caso di un liquido amorfo apolare ad alta densit`a, noto come modello di Clausius-Mosotti.
~
P = n~po = nαoE~mic Ricordando la (4.1). Ma sappiamo anche che
~
P = ε0χ ~E
Se identificassimo ~E con ~Emic saremo in grado di trovare la costante di proporzionalit`a
αo = ε0χ n
Questa approssimazione vale solo per densit`a n molto basse, in cui si trascura l’interazione tra dipoli vicini. In generale esister`a una relazione tra
~
E e ~Emic del tipo:
~
Emic= ~E + ~Evicini (4.8)
Dove ~Evicinirappresenta il contributo al campo elettrico da parte di tutti i dipoli nelle vicinanze. Per farlo proviamo a considerare una sfera intorno al punto su cui vogliamo calcolare ~Emic, come in Figura 4.10
~
Emic= ~E + ~Eσ+ ~Eρ
Dove abbiamo chiamato ~Eσ il campo elettrico generato dalla densit`a di carica che si forma sulla superficie della sfera per polarizzazione, e ~Eρquello generato dalla densit`a volumica di carica all’interno del dipolo.
Otteniamo subito che ~Eρ= 0 perch´e:
ρp= − ~∇ · ~P = 0 ∇ · ~~ Eρ= ρp ε0
= 0
Questo `e vero poich´e il vettore di polarizzazione ~P `e uniforme in tutto il materiale per ipotesi.
Figura 4.10: Consideriamo solo l’effetto dei dipoli vicino al punto di inte-resse, per questo estraiamo una sfera di raggio r, sulla superficie di questa sfera l’effetto della polarizzazione `e quello di creare una densit`a di carica σp mentre la densit`a volumica interna alla sfera ρp`e nulla, perch´e ~P `e uniforme.
Quindi cerchiamo il campo elettrico solo dovuto alla supericie, per sim-metria notiamo che non pu`o che essere diretto nella stessa direzione della polarizzazione, calcoliamone quindi solo quella componente:
Eσ = 1 4πε0
Z
σpcos θ2πR2sin θdθ R2
Dove 2πR sin θ · R dθ `e l’elemento di superficie sulla sfera, e il cos θ `e la proiezione sull’asse in cui dobbiamo calcolare il campo elettrico (θ `e la co-latitudine, angolo che forma il versore del raggio ˆr della sfera con il vettore di polarizzazione ~P ). σp= ~P · ˆn = P cos θ Eσ = 1 2ε0 Z π 0 P cos2θ sin θdθ Eσ = 1 2ε0 P −cos 3θ 3 π 0 Eσ = P 3ε0 Da cui ricaviamo subito l’espressione di ~Emic
Emic = E + P 3ε0 ~ P = nα E +~ P~ 3ε0 ! ~ P 1 − nα 3ε0 = nα ~E ~ P = nα 1 −3εnα 0 ~ E ~ P = ε0χ ~E
Da cui ricaviamo un espressione che lega la grandezza microscopica α (che dipende dal modello) alla grandezza macroscopica χ:
χ = 1 ε0
nα 1 −3εnα
0
Oppure alla costante εr:
εr= χ − 1 = 1 ε0 nα 1 −3εnα 0 − 1
Capitolo 5
Elettrodinamica
`
E finalmente giunto il momento di abbandonare l’ipotesi di staticit`a delle cariche e iniziarsi a muovere all’interno del mondo dell’elettrodinamica, ossia dello studio di tutta una serie di fenomeni legati allo spostamento delle cariche elettriche.
Per mettere in moto una carica elettrica basta sottoporla ad un campo elettrico. I materiali pi`u adatti per esplorare questo tipo di fenomeni sono i conduttori, se si forza un campo elettrico al loro interno, riscontreremo un moto di cariche.
Di particolare interesse sono i conduttori metallici, in questi le cariche mobili sono gli elettroni liberi delle orbite atomiche pi`u esterne del metallo, che si muovono come in un gas quantistico sugli atomi.
Gli elettroni non possono uscire dal metallo poich´e tra superficie del conduttore e l’esterno si crea una barriera di potenziale che impedisce agli elettroni di uscire (a meno ch´e non sia fornita loro una sufficiente energia tale da rompere questa barriera).
5.1 Velocit`a degli elettroni
Cerchiamo di costruire un piccolo modellino che ci dia un mezzo quantitativo per provare a rintracciare l’ordine di grandezza della velocit`a con cui si muovono gli elettroni all’interno dei metalli.
Proprio come in un gas supponiamo che l’energia cinetica corrisponda proprio a quella termica:
1 2mv 2 = 3 2kT v = r kT m Facendo un conto degli ordini di grandezza:
v ≈ 105m s
Questo calcolo approssimativo ci suggerisce che in media gli elettroni si muovono con velocit`a intorno a 105 m/s in tutte le direzioni del metallo. In realt`a il conto `e inesatto poich´e non abbiamo considerato che gli elettroni seguono le leggi della meccanica quantistica e la loro energia `e data dalla funzione di Fermi-Dirac, e non da quella di Boltzmann. Mostriamo qui qualitativamente il grafico della funzione di Fermi-Dirac, con il solo scopo di far vedere qual `e il valore energetico interessante ai fini del nostro calcolo della velocit`a (Figura 5.1).
f (E)
E Ef
Figura 5.1: Distribuzione di probabilit`a di Fermi-Dirac, probabilit`a di tro-vare elettroni con energia compresa tra E e E + dE, l’energia Ef associata alla zona in cui la funzione ha una brusca caduta `e quella che generalmente possiedono gli elettroni liberi, viene detta energia di Fermi.
L’energia Ef`e quella che ci interessa in questo caso, e dipende dal tipo del materiale e dalla massa efficacie. Tipicamente `e dell’ordine dell’elettronvolt. Definizione 5.1 (Elettronvolt) Si definisce l’unit`a di misura per l’ener-gia elettronvolt come l’enerl’ener-gia associata ad un elettrone sottoposto ad una differenza di potenziale pari ad 1 Volt:
E = 1 eV = 1.6 · 10−19 J v = r Ef m ≈ 10 6m s
Questa velocit`a `e diretta in tutte le direzioni, quindi la velocit`a media lungo una qualunque direzione `e in realt`a nulla. Se per`o si accende un campo elettrico che fa muovere gli elettroni in un verso privilegiato, a questo moto caotico si sovrappone un moto ordinato in una direzione. Quindi lo spostamento medio effettivo non `e pi`u nullo ma dettato da una velocit`a detta vd velocit`a di drift.
Questa velocit`a `e diversi ordini di grandezza inferiori a v, ma genera un effetto molto pi`u significativo e sensibile macroscopicamente, poich´e tutti gli elettroni si muovono nella stessa direzione.
Questo moto genera una corrente elettrica, indicata con il simbolo i: Definizione 5.2 (Corrente elettrica) Si definisce corrente elettrica la gran-dezza i definita come la quantit`a di carica che attraversa una sezione del conduttore in un unit`a di tempo:
i = dQ dt
E si misura in A (Ampere), unit`a fondamentale del sistema internazionale da cui viene ricavato anche il C (Coulomb):
[C] = [A · s]
Come si vede dalla definizione 5.2 la corrente elettrica `e una grandezza macroscopica, associata al passaggio di cariche attraverso una sezione di un conduttore, quindi `e in qualche modo la misura di un flusso di una grandezza vettoriale. Introduciamo quindi il vettore ~J , che indica localmente la direzione del moto delle cariche. Questo vettore viene detto intensit`a di corrente.
Definizione 5.3 (Intensit`a di corrente) Si definisce il campo vettoriale ~
J intensit`a di corrente come una funzione vettoriale che ci da localmente informazioni su modulo, direzione e verso di moto delle cariche elettriche all’interno del materiale:
i = Z
S
~ J · ˆndS
Vediamo di estrarre una relazione diretta per ~J sfruttando la definizione di velocit`a di drift (o di deriva).
Prendiamo un conduttore cilindrico, supponiamo che il vettore ~J sia uniforme all’interno del materiale.
i = J S
Dove S `e la sezione trasversa del cilindro, allo stesso modo prendendo un volumetto dV ottenuto da tutte le cariche che passeranno attraverso quella superficie in un tempo dt, questo vale sicuramente
Sia n il numero di cariche per unit`a di volume del conduttore e q il valore della singola carica, otteniamo che:
dQ = nqdV = nqSvddt Da cui
i = dQ
dt = nSqvd= J S Otteniamo un espressione regolare per ~J :
~
J = nq~vd (5.1)
Questo ci dice che in un conduttore metallico, dove sono gli elettroni a muoversi, la corrente `e diretta in senso opposto alla velocit`a di deriva, poich´e la carica q `e negativa, ~J e ~vd sono dunque antiparalleli, e ~J `e parallelo al campo elettrico.
Questo ragionamento pu`o essere esteso anche ai conduttori non metallici, che hanno mobilit`a anche delle cariche positive, come il sale sciolto in acqua che si dissocia in ioni negativi e positivi mobili.
In questo caso al vettore intensit`a di corrente ci saranno due contributi che sembrano sottrarsi:
~
J = n1q ~v+d − n2q ~v−d
Ma il fatto che sia ~v−d sia diretta in senso opposto a ~v+d `e bilanciato dal segno meno (originato dal fatto che sono cariche di segno opposto, quindi in generale i due contributi si sommeranno tra loro.