A tale che ~∇ · ~A00= 0, cosicch´e si ha:
0 = ~∇ · ~A00 = ~∇ · ~A0+ ~∇ · ~∇ · f ∇2f = − ~∇ ~A0
In questo modo, per quanto possa essere difficile a livello matematico, posso ricavarmi la f ; tuttavia scegliamo di lavorare in quella che si dice Gauge a ~∇f = 0 (gauge di Coulomb), e quindi non ci rimane che determina-re l’espdetermina-ressione del potenziale, per farlo pdetermina-rendiamo la quarta equazione di Maxwell in regime stazionario e sostituiamo ~B con la divergenza di ~A:
~
∇ × ~B0= µ0J ∇ × (~~ ∇ × ~A0) = µ0J
Ricordando la relazione vettoriale ~A × ( ~B × ~C) = ~B( ~A · ~C) − ~C( ~A · ~B) otteniamo: ~ ∇ × (~∇ × ~A0) = ~∇ (~∇ · ~A0) | {z } =0 − ~A0( ~∇ · ~∇) | {z } =∇2A~0
Se ora sostituisco ottengo:
∇2A~0= −µ0J~
Le tre componenti di questa equazione vettoriale sono formalmente identiche all’equazione di Poisson ∇2V~0 = −ρ
0, equazione la cui soluzione `e nella forma: V (~r)0= 1 4π0 Z τ ρ(~r0) |r − r0|dτ 0+ C
Di conseguenza le tre componenti avranno forma analoga, con le dovute sostituzioni, e la versione vettoriale sar`a:
~ A(~r)0 = µ0 4π Z τ ~ J (~r0) |r − r0|dτ 0 + C
dove come nel caso elettrico C = 0 se r → ∞, a condizione che il circuito sia finito!
6.8 Effetto Hall
Consideriamo ora, un conduttore parallelepidale, di sezione S = a · b e lunghezza infinita, percorso da corrente costante I ed immerso in un campo magnetico costante B perpendicolare alla corrente (vedi figura 6.8).
Figura 6.11: Effetto Hall
Per effetto del campo magnetico i portatori di corrente vengono deviati verso la superficie del conduttore di lato b, con riferimento alla figura, e poich`e non possono uscire dal conduttore si ammassano sulla superficie, creando una distribuzione di carica. Questa distribuzione genera a sua volta un campo elettrico Es, che man mano che cresce respinge le cariche. Nel momento in cui si raggiunge l’equilibrio fra la forza generata dal campo Fs= qEse la forza di Lorentz Fl= qvdB8, le cariche sentono una forza totale nulla e continuano a scorrere. Da questo fenomeno si possono ricavare utili relazioni che legano le grandezze in gioco, infatti il campo elettrico Es crea una differenza di potenziale, la tensione di Hall, che `e facilmente misurabile; vediamo a cosa si pu`o legare! Abbiamo dall’uguaglianza delle forze che:
Fs= Fl=⇒ Es= vdB
l’accumulo di cariche opposte sulle pareti del conduttore `e schematizzabi-le come un condensatore piano, quindi la differenza di potenziaschematizzabi-le `e sem-plicemente VH = aEs e ricordando che I = S · J = ab · nqvd, possiamo scrivere: VH = avdB = 1 nqI B b = Rh IB b
dove la quantit`a RH = nq1 prende il nome di coefficiente di Hall.
Sfruttando questa relazione si pu`o costruire una sonda di Hall, che per-mette di determinare il numero di portatori di carica ed eventualmente
Figura 6.12: Schematizzazione dell’accumulo di cariche
anche il tipo, infatti tutte le quantit`a che compaiono nella formula sono facilmelmente misurabili.
Capitolo 7
Magnetismo nella materia
Analogamente a quanto fatto per l’elettricit`a, dopo aver analizzato il campo magnetico nel vuoto vediamo come si propaga il campo magnetico nella ma-teria e come reagiscono gli oggetti immersi in esso. Innanzitutto si osserva che in presenza di campo magnetico la materia si pu`o comportare in tre modi diversi. Se prendiamo un solenoide in cui scorre corrente e mettiamo vari cilindri dimateriali diversi vicino al solenoide, vediamo che cilindri di ferro (Fe), cobalto (Co) e nichel (Ni) vengono risucchiati con forza dal so-lenoide, mentre sostanze come il cloruru di sodio (NaCl), vengono attratte debolmente ed infine altre come il rame (Cu) vengono respinte. Chiameremo ferromagnetiche le sostanze che si comportano come il ferro, paramagne-tiche, quelle che si comportano come il sale da cucina e diamagnetiche le sostanze come il rame. Ora riprendendo i risultati trovati nel vuoto os-serviamo che la seconda equazione di Maxwell deve continuare a valere in quanto poli semplici non ci sono nel vuoto e tantomento nella materia, quindi ~
∇ · ~B = 0 `e ancora valida, per la quarta invece bisogna aggiungere le correnti microscopiche dovute al momento magnetico generato dal movimento degli elettroni, avremo quindi:
~
∇ × ~B = µo( ~J + ~Jm) (7.1)
Imitando quanto fatto per la polarizzazione dobbiamo trovare un analogo per il vettore ~P dal quale ricavare le correnti microscopiche come da P abbiamo ricavato le cariche di polarizzazione. Cominciamo con lo stimare la corrente microscopica associata ad un atomo di idrogeno (il pi`u semplice da schematizzare), avremo che i = Te, quindi dobbiamo ricavarci il periodo di rotazione dell’elettrone. Semplificando al massimo il modello atomico possiamo dire che l’elettrone compie un orbita circolare attorno al nucleo positivo, quindi ci dovr`a essere equilibro fra la forza centrifuga e quella coulombiana, cio`e: mev02 r0 = e2 4π0r2 0
Figura 7.1: Schematizzazione dell’atomo di idrogeno
da questa relazione possiamo ricavare sia il periodo(funzione del raggio) sia l’energia cinetica. Se sostituiamo vr = w = 2πT e svolgiamo i semplici passaggio otteniamo: mew2r0 = e 2 4π0r02 −→ T = 4π e q π0r03me
mentre se sempre dall’equazione di partenza semplifichiamo il raggio e mol-tiplichiamo ambi i membri per un mezzo abbiamo:
Ec= 1 2mev 2 0 = 1 2 e2 4π0r0
Ora l’energia totale dell’atomo (supponendo in quiete il suo baricentro) vale: E = Ep+ Ee+ Ec+ Eu = mpc2+ mec2+ 1 2mev 2 0 − e 2 4π0 1 r0 > 0 dove i primi due termini sono propri del protone e dell’elettrone mentre gli ultimi due sono l’energia meccanica del sistema; se sostituiamo l’energia cinetica con la quantit`a trovata in precedenza abbiamo:
Emeccanica = 1 2 e2 4π0r0 − e 2 4π0 1 r0 = − e 2 8π0r0
Per rompere l’atomo `e necessario fornirgli una quantit`a di energia, chiamata di ionizzazione, Li = −Em; questa quantit`a `e misurabile sperimentalmente e da questa possiamo ricavare il raggio dell’atomo di idrogeno e da questo il periodo! r0 = e 2 8π0Li = 0.5Ao → T = 4π e q π0mer30 ≈ 1.5 · 10−16s Finalmente possiamo calcolare la corrente microscopica:
i = e T ≈ 10
essendoci una corrente ci sar`a un momento magnetico perpendicolare al piano di rivoluzione dell’eletttrone m = iπr0 = 1.35 · 10−24Am2, orientato in modo da ’vedere’ la corrente scorrere in senso antiorario.
7.1 Intensit`a di magnetizzazione
In generale atomi e molecole che formano i vari materiali sono di gran lunga pi`u complessi rispetto all’atomo di idrogeno, ma per capire come vanno le cose possiamo proseguire usando questa schematizzazione, ossia considerare gli atomi come spire microscopiche percorse da corrente a cui si associa un momento magnetico.Se prendiamo un volume piccolo di sostanza, piccolo quanto basta per avere vcomunque un mnumero sufficiente di atomi per una buona media, possiamo definire il vettore intensit`a magnetica come:
~ M = lim τ →0 P im~i τ [A/m]
Normalmente, in assenza di campo magnetico, e in analogia con quanto detto per i dipoli elettrici in assenza di campo elettrico , i momenti magnetici sono disposti uniformemente in tutte le direzioni e l’intensit`a `e nulla. Tuttavia in presenza di un campo ~B i momenti tendono ad orientarsi nella direzione del campo (ostacolati dall’agitazione termica). Come si pu`o vedere in figura
Figura 7.2: Cilindro immerso in un campo magnetico
7.1, se B e il materiale sono omogenei tutti i momenti sono orientati nello stesso modo e quindi la corrente scorre nello stesso verso, nei punti interni al materiale allora c’`e la sovrapposizione di correnti con verso opposto e quindi la densit`a di corrente microscopica di volume `e nulla, ~JmV = 0, al contrario sulla superficie avremo tante correnti che scorrono nello stesso
verso in ogni spira, ovvero `e come se ci fosse una corrente che gira attorno a tutta la superficie, avremo una densit`a superficiale ~JmS 6= 0, che generer`a una corrente, chiamata corrente amperiana di superficie:
dIs= JmS· ˆndh
All’interno del materiale se questo non `e omogeneo, si definisce una corrente amperiana di volume:
dIv = ~JmV · ˆn ∗ dS
Figura 7.3: Correnti microscopiche