Possiamo a questo punto descrivere il problema generale della magnetosta-tica con queste due formule:
~
∇ · ~B0 = 0 ~
∇ · ~B = µ0 ~J + ~Jm
Dove Jm sono le correnti di superficie e di volume presenti nel mezzo ma-teriale. Tuttavia `e ancora scomodo lavorare con campi che dipendono dalle correnti microscopiche, sarebbe molto pi`u conventiente introdurre un campo vettoriale nuovo, tale che le propriet`a di questo campo non dipendano pi`u da ~Jm5.
Prendiamo ancora la 7.1, sostituiamo ~Jm con le correnti di volume: ~ ∇ × ~B = µ0 ~J + ~∇ × ~M ~ ∇ × ~B − µ0M~= µ0J~ ~ ∇ × ~B − µ0M~ µ0 ! = ~J
Definizione 7.1 (Campo magnetico) Definiamo il vettore di campo ma-gnetico ~H in questo modo:
~
H = B − µ~ 0M~ µ0
Grazie all’introduzione del vettore di campo magnetico ~H possiamo riscrivere la 7.1 In questo modo molto pi`u elegante:
~
∇ × ~H = ~J (7.2)
Come si vede la 7.2 non dipende pi`u dal vettore ~Jm delle correnti micro-scopiche, e la coppia di equazioni:
~
∇ · ~B = 0
~
∇ × ~H = ~J (7.3)
5Abbiamo fatto analogamente nel caso dei dielettriciintroducendo il vettore di spostamento ~D.
Contiene solo grandezze che non dipendono dal materiale, il lettore noti la somiglianza con le equazioni analoghe del campo elettrico:
~
∇ · ~D = ρ ~
∇ × ~E = 0
Chiaramente come nel caso dei dielettricile propriet`a del materiale si nascondono dentro la relazione che lega il campo di induzione magnetica ~B al campo ~H. Dalla definizione di ~H (7.1) possiamo ricavare semplicemente:
~
B(H) = µ0 ~H + ~M (H)
Dove il vettore di magnetizzazione ~M sar`a una generica funzione del campo magnetico ~H che indagheremo in seguito.
A partire dalla 7.3 possiamo ricavare il comportamento macroscopico di ~
H ottenendo una relazione integrale.
Per il teorema di Stokes (Equazione 1.3) la circuitazione di ~H fatta su una qualunque linea chiusa, `e pari all’integrale su una superficie generica che ha per bordo il percorso di circuitazione del rotore di ~H:
I l ~ H · ~dl = Z S ~ ∇ × ~H · ˆn dS = Z S ~ J · ˆn dS
Ma l’ultimo integrale `e il flusso del vettore ~J lungo una superficie con bor-do la linea chiusa della circuitazione, Quell’integrale rappresenta proprio le correnti concatenate al percorso di integrazione:
I l ~ H · ~dl = n X k=1 ik
Questo che abbiamo appena dimostrato `e il teorema della circuitazione di Ampere per il campo magnetico ~H.
A questo punto siamo in grado di analizzare le condizioni al contorno per i vettori ~H e ~B nel passaggio da un mezzo materiale ad un altro. Come abbiamo sempre fatto in passato calcoliamo ad esempio la cirucitazione del campo ~H in un percorso infinitesimo nel passaggio tra un mezzo e l’altro (Figura 7.6). Poich´e non sono presenti correnti macroscopiche concatenate al cammino di integrazione per il teorema della circuitazione di Ampere abbiamo: I l ~ H · ~dl = n X k=1 ik = 0
Ma poich´e i tratti che attraversano il materiale sono infinitesimi di ordine superiore possiamo trascurare il loro contributo e dire che:
~ H · ˆt1+ ~H · ˆt2 = I l ~ H · ~dl = 0
Dove abbiamo considerato solo le componenti tangenti al vettore, poich´e i cammini di integrazione sono antiparalleli ˆt1 = −ˆt2, abbiamo dimostrato che la componente tangente alla superifcie di separazione del campo magnetico
~
H si conserva sempre:
Ht1 = Ht2
Figura 7.6: Cirucitazione in un percorso infinitesimo del vettore ~H attraverso la superficie di separazione del mezzo.
Allo stesso modo possiamo fare un ragionamento analogo per il vetto-re ~B, costruiamo una superficie cilindrica di spessore infinitesimo di ordine superiore, che attraversa il mezzo, per la solenoidalit`a di ~B il suo flusso at-traverso questa superficie deve essere nullo, quindi tanto campo ~B attraversa normalmente la superficie interna, tanto deve uscirne da quella esterna, ab-biamo quindi dedotto che il campo ~B conserva le componenti normali (vedi Figura 7.7)
Bn1 = Bn2
Figura 7.7: Flusso del campo ~B attraverso una superficie cilindrica che taglia la superficie di separazione del mezzo.
7.4 Materiali omogenei isotropi
Fino ad ora abbiamo fatto considerazioni del tutto generiche, che vanno bene per tutti i materiali, in particolare la formula pi`u generale `e:
~
B = µ0 ~H + ~M
Dove genericamente ~M `e un vettore che dipende strettamente dal tipo di materiale che usiamo. Possiamo per`o come per il caso dei dielettriciconsi-derare dei casi particolarmente semplici, ossia i materiali omogenei isotropi. In questi materiali osserviamo che ~M si dispone parallelamente a ~H.
In queste condizioni ~B e ~H sono due campi paralleli tra loro, e possiamo considerare la relazione tra loro come:
~
B = µ(H) ~H
Dove la costante di proporzionalit`a µ non `e detto che sia fissata per tutti gli ~H. µ `e una costante particolare, detta permeabilit`a magnetica del mezzo, e dipende strettamente dal mezzo materiale che stiamo considerando. In generale possiamo riscrivere µ in funzione della permeabilit`a magnetica del vuoto:
µ = µ0µr
Dove abbiamo introdotto la grandezza µr, la permeabilit`a magnetica relativa, un numero puro.
Come per il caso dei dielettrici possiamo trovare immediatamente la relazione che lega ~M a ~H in questo caso semplice:
~ B = µ0 ~H + ~M = µ0µrH~ ~ H + ~M = µrH~ ~ M = (µr− 1) ~H = χmH~
Definizione 7.2 (Susciettivit`a magnetica) Definiamo la susciettivit`a ma-gnetica di un materiale (omogeneo isotropo) la grandezza
χm= µr− 1
Che rappresenta la proporzionalit`a tra il campo magnetico ~H e il momento magnetico indotto nel mezzo per unit`a di volume ~M
~
Anche in questo caso si pu`o generalizzare la susciettivit`a magnetica in-troducendo il tensore di suscietivit`a magnetica per descrivere i materiali non omogenei.
La susciettivit`a `e una caratteristica molto importante, tanto che le varie sostanze vengono classificate in base ai valori di χm.
• Diamagneti: χm < 0 • Paramagneti: χm > 0 • Ferromagneti: χm 1
7.4.1 Diamagneti
Nelle sostanze diamagnetiche si riscontra una susciettivit`a magnetica negati-va. Questo implica che il vettore di magnetizzazione ~M `e diretto in direzione opposta al campo che attraversa il materiale.
Generalmente per i materiali diamagneti i valori della costante χm sono molto piccoli, nell’ordine di 10−5, e questo implica che spesso possono essere approssimate con il vuoto.
Si osserva che per queste sostanze generalmente la susciettivit`a sia una costante che non dipenda dalla temperatura, ne dall’intensit`a dei campi magnetici a cui i materiali possono essere sottoposti.
7.4.2 Paramegneti
Nelle sostanze paramagnetiche la susciettivit`a magnetica `e positiva, il ch´e implica che i momenti magnetici degli atomi tendono in parte ad allinearsi con il campo magnetico, aumentandone l’intensit`a.
Queste sostanze presentano una susciettivit`a magnetica variabile con la temperatura secondo la legge di Curie:
χm = Cρ
T (7.4)
Dove C `e una costante che dipende dal materiale, ρ la densit`a per unit`a di volume e T la temperatura in Kelvin.
Quando ci avviciniamo allo zero assoluto la magnetizzazione del materia-le va quasi in saturazione, consentendo di amplificare notevomateria-lemte i campi magnetici. Tuttavia per temperature ordinarie il loro contributo `e quasi sempre trascurabile.
7.4.3 Ferromagneti
Il comportamento dei materiali ferromagneti `e decisamente il pi`u interes-sante.
Questi materiali hanno la caratteristica che la relazione tra ~B e ~H non `e lineare, ne univoca. Questi materiali infatti hanno una fenomenologia molto vasta, spesso difficile da prevedere con modelli teorici affidabili. Per questo si fa massiccio uso dello studio delle curve sperimentali che seguono questi materiali.
Si parte da una situazione di materile smagnetizzato (H = B = 0) e si accende il campo ~H. Inizialmente ~B aumenta all’aumentare di ~H, fino ad un valore limite detto Hm (curva di prima magnetizzazione.
Se a questo punto si diminuisce H di nuovo, B segue l’andamento ini-ziale per un primo tratto (fino a Hs) per poi rimanere sopra alla curva di prima magnetizzazione, e quando H arriva nuovamente a 0, B assume un valore positivo detto Br (induzione magnetica residua) a cui `e assocuato un momento magnetico Mr = B0
µ0 (magnetizzazione residua).
Invertendo il segno di H il campo B continua a diminuire fin quando raggiunge lo 0. Questo valore di H negativo `e detto Hc (campo magneti-co di magneti-coercizione) Continuando a diminuire H il campo magentimagneti-co va in saturazione, e il ciclo riprende.
Questa curva, riassunta in Figura 7.8 `e detta ciclo di isteresi
Figura 7.8: Raffigurazione del ciclo di isteresi. In nero la curva di prima magnetizzazione in rosso il resto del ciclo di isteresi completo. Dal grafico si evince chiaramente come la curva di isteresi non sia ad un sol valore, in quanto per medesimi valori del campo H abbiamo diverse possibili configu-razioni di B. Per questo si dice che in un ferromagnete conta la sua storia, poich´e non basta l’informazione sul campo H per ricavare automaticamente quella di B, ma occorre anche sapere in quale regione del ciclo di isteresi ci troviamo.
Il coefficiente µrperde quasi del tutto significato nel caso di ferromagneti, tuttavia se ci limitiamo ad analizzare casi in cui i campi non variano troppo possiamo ridefinire la permeabilit`a magnetica relativa come la pendenza del ciclo di isteresi:
µr= 1 µ0
dB dH
Generalmente µr `e a sua volta una funzione di H, e con questa definizione si chiama permeabilit`a magnetica differenziale.
Un altra fenomenologia interessante legata ai materiali ferromagnetici riguarda il loro comportamento in funzione della temperatura. Esiste una temperatura critica Tc al di sopra della quale la sostanza ferromagnetica cessa di comportarsi in questo modo e assume tutte le caratteristiche di un paramagnete.
Questa temperatura critica `e detta temperatura di Curie, e la legge che regola il comportamento della susciettivit`a magnetica per la sostanza paramagnetica ottenuta `e molto simile alla 7.4, ed `e detta legge di Weiss-Curie:
χm = Cρ
T − Tc (7.5)
Come se lo zero fosse traslato di Tc per questa sostanza.
Il passaggio tra paramagneti e ferromagneti `e studiato bene in struttu-ra della materia, ed `e una vera e propria transizione di fase, che presenta discontinuit`a nel comportamento della sostanza.