Prima di passare al calcolo della pressione di un condensatore e poi quella generica di un conduttore enunciamo a titolo di ricapitolazione un noto principio della fisica matematica.
Definizione 3.3 (Principio dei lavori virtuali) In presenza di sole for-ze conservative e in un sistema isolato, possiamo immaginare di muovere un ente fisico di uno spostamento virtuale δ~l con infinita lentezza5, il lavoro virtuale che corrisponde a questo spostamento soddisfa la relazione:
~
F · δ~l + dU = 0
Dal principio dei lavori virtuali segue immediatamente che: ~
F · δ~l = −dU = − ~∇U · δ~l
Poich´e δ~l `e arbitrario, questa relazione vale lungo qualsiasi direzione. Da questo possiamo dedurre che:
~
F = − ~∇U
Questo risultato, apparentemente ovvio, `e valido in realta soltanto per sistemi conservativi e isolati. Se la prima condizione non `e un problema (il campo elettrico `e conservativo), spesso si ha a che fare con sistemi non isolati per cui la relazione `e leggermente differente.
~ F = ~∇U
La dimostrazione di questa formula `e una banale conseguenza del principio dei lavori virtuali applicato a sistemi non isolati, la dimostreremo pi`u avanti quando sar`a usata.
3.7.1 Pressione di un condensatore isolato
Calcoliamo ora la forza che agisce sulle armature del condensatore. Per semplicit`a consideriamo il condesatore piano, su un armatura agisce una forza Fx: Fx = −∂U ∂x = − ∂ ∂x 1 2 Q2 C C = Q ∆V = Q E0· d = Q σ · dε0
5Cos`ı da trascurare l’energia cinetica, un po’ come si fa in termodinamica per descrivere le trasformazioni reversibili, in cui ogni punto `e istantaneamente all’equilibrio e il passaggio da un punto all’altro avviene al limite di velocit`a nulla.
C = Sε0 d
Facciamo uno spostamento virtuale per capire come varia C al variare di x C = Sε0 d + x Fx= −1 2 Q2 Sε0 ∂ ∂x(d + x) Fx = −1 2 Q2 Sε0
Abbiamo trovato ora la forza che agisce sull’armatura. Questa forza `e or-togonale alla superficie dell’armatura, `e quindi una forza di pressione che vie-ne esercitata sull’armatura, possiamo definire la pressiovie-ne del condensatore lo scalare: P = F⊥ S Calcoliamola: P = Fx S = 1 2 1 ε0 Q2 S2 = 1 2 ε0 ε20σ 2 P = 1 2ε0 σ2 ε20
Ma ricordiamo che in un condensatore piano vale che: E0 = σ ε0 P = 1 2ε0E 2 0
Si noti l’analogia tra la pressione delle armature del condensatore e la densit`a di energia del conduttore!
In realt`a il risultato che abbiamo raggiunto pu`o essere dimostrato in linea molto pi`u genereale, come faremo nella prossima sezione.
3.7.2 Pressione di un conduttore isolato
Ora immaginiamo un conduttore secondo il modello dell’elettrostatica. Le cariche sono libere di muoversi lungo tutta la superficie del conduttore. Que-sto significa che su ogni elemento infinitesimo di superfice il reQue-sto delle ca-riche esercitano una forza che genera una pressione, come mostra bene la Figura 3.9.
Il campo elettrico nelle prossimit`a di dS `e dato dal teorema di Coulomb: ~
E0 = ρ ε0nˆ
Figura 3.9: Il disegno mostra un conduttore carico, con il campo elettrico in prossimit`a della superficie generato da due contributi, quello della superficie dS e quello di tutto il resto della superificie S − dS.
Ma il campo elettrico possiamo scomporlo tra campo elettrico generato dall’elementino dS e dal resto della superficie:
~
E0= ~E0(dS)+ ~E0(S−dS)
Siamo per`o in grado di calcolare facilmente il campo elettrico dovuto a dS. Se infatti ci mettiamo in prossimit`a della superficie dS ad una distanza dalla superficie di un infinitesimo di ordine superiore alla grandezza lineare di dS possiamo considerare dS come un piano di carica infinita, che genera un campo elettrico pari a:
~
E0(dS) = σ 2ε0
ˆ n
Ma a questo punto si pu`o calcolare il campo elettrico dovuto a tutto il resto della superficie:
~
E0(S−dS) = σ 2ε0
ˆ n
Calcoliamo quindi la forza che si esercita sull’elementino di conduttore dS: d ~F = σdS · ~E0= σ
2
2ε0
Calcoliamo la pressione che si esercita su dS, notando che d ~F `e diretta proprio lungo la normale:
P = dF dS = σ2 2ε0 = 1 2ε0 σ2 ε2 0
Ricordiamo che per il teorema di Coulomb il campo elettrico immediata-mente fuori dal conduttore `e proprio:
E0 = σ ε0 P = 1 2ε0E 2 0
Abbiamo dunque generalizzato il caso visto prima nello specifico per il condesatore piano a qualunque sistema di conduttori isolati.
3.7.3 Sistemi non isolati
Proviamo a estendere ora il concetto nei casi di sistemi non isolati, ossia in presenza di strumenti che sono in grado di fornire o sottrarre cariche all’ambiente.
Questi sistemi sono chiamati generatori. Il pi`u comune tipo di generatore `e il generatore di tensione, che ha la funzione di mantenere una differenza di potenziale costante ai suoi capi.
Che succede se colleghiamo un generatore ai capi di un condensatore? Proviamo a descrivere nuovamente la forza elettrostatica che si esercita sulle armature del condensatore ricorrendo al principio dei lavori virtuali per sistemi non isolati (Il δL `e il termine di lavoro fornito dall’esterno):
~
F · d~l + dU = δL
Dove δL `e il lavoro infinitesimo fatto dal nostro generatore per mantenere costante la differenza di potenziale. Cerchiamo di stimare i vari termini:
~ F · d~l + d 1 2Q∆V = d(Q∆V ) ~ F · d~l = ∆V dQ −1 2∆V dQ ~ F · d~l = 1 2∆V dQ = dU
Il risultato di collegare il condesatore con un generatore di tensione `e quello di invertire il segno di dU
~
F · d~l = ~∇U · d~l
Poich´e la relazione vale per ogni direzione d~l segue che: ~
3.7.4 Microfono e altoparlante
Arrivati a questo punto del corso siamo in grado di costruire un microfono e un altoparlante ideale. Il circuito consiste in un generatore di tensione collegato ad un condensatore. Una delle due armature del condensatore `e molto flessibile, tanto da vibrare all’arrivo delle onde sonore. Vibrando viene modificata la distanza tra le due armature, poich´e il generatore `e collegato ad un generatore di tensione, ∆V rimane costante.
Questo significa che cambia la carica totale Q che si accumula sulle ar-mature. L’affluire ed il defluire di cariche sulle armature del condensatore genera un segnale elettrico di cui pu`o essere letta l’intensit`a attraverso un apposito apparecchio (l’amperometro). Che registra quindi il movimento delle armature.
Allo stesso modo `e possibile nuovamente traduerre questo segnale elettri-co in un onda acustica usando un generatore di tensione di cui possiamo far variare ∆V . Facendo variare la differenza di potenziale, si opera una forza F variabile sulle lastre del condensatore in modo che l’armatura flessibile oscilli producendo le onde acustiche desiderate.