Risoluzione con le cariche immagine

E possibile chiaramente invertire il problema di Dirichlet e chiedersi che succede se conosciamo tutte le cariche dei conduttori, ma non il loro potenziale.

Ebbene notiamo subito che poich´e per un sistema di conduttori `e in generale sempre valida la relazione:

Qi=

n

X

j=1

cijVj

Con il determinante della matrice det(c_ij) 6= 0, possiamo sempre ricavare dalle cariche il potenziale e quindi risolvere il problema di Dirichlet.

Il problema impostato con queste altre premesse `e detto problema di Neumann, e ammette anche questo una soluzione.

3.8.1 Risoluzione con le cariche immagine

Un metodo molto semplice che pu`o essere usato per risolvere il proble-ma generale dell’elettrostatica `e quello di sfruttare il sistema delle cariche immagine.

Questo metodo pu`o essere usato solo se siamo in presenza di particolari simmetrie.

Immaginiamo ad esempio di avere un piano conduttore infinito, collegato a massa e tenuto a potenziale nullo. Immaginiamo di avvicinare una carica puntiforme +q al piano (Figura 3.10).

La presenza di +q indurr`a sul piano una certa densit`a superficiale di carica σ molto particolare, non solo, la presenza del collegamento a massa far`a scaricare una parte del piano conduttore, alterandone anche la carica.

Trovare quindi il campo elettrico in ogni punto dello spazio sembrereb-be cosa assai difficile, non sapendo neanche come si `e caricato il piano, in generale infatti otteniamo che il potenziale in un punto P non appartenente al piano e alla carica +q `e:

V (x, y, z) = V_carica+ V_piano V (x, y, z) = ¹ 4πε₀ " q p(x − d)2+ y2+ z2 + Z σ(y⁰, z⁰)dy⁰dz⁰ px2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 #

Dove sigma `e una funzione incognita.

Tuttavia possiamo ricorrere ad un semplice artificio matematico per risolvere subito il problema.

Figura 3.10: Calcolo del campo elettrico nel punto P generato dalla carica puntiforme q e dal piano conduttore messo a massa.

Se ad esempio immaginassimo di porre una carica puntiforme −q in posizione simmetrica rispetto al piano della carica +q, e immagnassimo che il piano non ci fosse, tutti i punti lungo il piano x = 0 sarebbero a potenziale nullo, non solo, il campo elettrico sarebbe in ogni punto normale al piano:

V (x, y, z) = ¹ 4πε₀ " q p(x − d)2+ y2+ z2 − ^q p(x + d)2+ y2+ z2 #

Abbiamo trovato un potenziale che soddisfa tutti i requisiti del proble-ma di Dirichlet, proble-ma poich´e esiste il teorema di esistenza e di UNICIT `A della soluzione, questa `e anche l’unica soluzione possibile! Abbiamo quindi tro-vato un espressione del potenziale in tutti i punti dello spazio. In realt`a ovviamente questa espressione non ha senso nei punti che si trovano nella regione di spazio in cui abbiamo messo la carica immagine, ma solo fuori, tuttavia non `e difficile dedurre che in quella regione il campo elettrico deve essere nullo, poich´e il piano `e collegato a massa.

Non solo, avendo trovato l’espressione del potenziale (e quindi implici-tamente quella del campo elettrico) conosciamo anche la distribuzione di carica σ che si induce nel piano: basta sfruttare il teorema di Coulomb per ricavarla dal campo elettrico:

σ = ε0E0 = −ε0

 ∂V ∂x



Capitolo 4

Elettrostatica nei mezzi

materiali

Abbiamo fino ad ora discusso l’elettrostatica partendo dal presupposto che tra le cariche e i conduttori ci fosse il vuoto. Compito di questo capitolo `e quello di riscrivere tutta l’elettrostatica facendo cadere questa ipotesi.

Supponiamo ora di immergere tutto il nostro sistema elettrostatico in un mezzo materiale che abbia la caratteristica di essere isolante¹.

Vediamo subito l’esempio di un condensatore piano. Facciamo l’esperi-mento di porre un mezzo non conduttore, con le caratteristiche fisiche di essere omogeneo e isotropo², all’interno delle piastre del condensatore.

Abbiamo visto nel caso del vuoto dalla definizione 3.2 come viene definita la capacit`a di un condensatore:

C₀ = ^Q ∆V0

Se ora poniamo il dielettro tra le piastre e misuriamo nuovamente la differenza di potenziale ci accorgiamo che essa `e cambiata leggermente

∆V 6= ∆V₀

Mentre la carica Q `e rimasta invariata<sup>3</sup>. Dalla definizione di capacit`a otte-niamo che anche la capacit`a sar`a variata:

C = ^Q

∆V ⁶⁼ Q ∆V₀ ^{= C0}

1

Altrimenti le cariche si muoverebbero attraverso questo mezzo fino a portarlo in una condizione in cui tutto ci`o che si trova all’interno sia equipotenziale.

2

L’isotropia dei materiali `e una propriet`a della struttura molecolare che ci assicura essere simmetrica rispetto alle varie direzioni, sono isotropi tutti i materiali amorfi, come liquidi e gas, e alcuni solidi che non possiedono struttura cristallina, come il vetro.

Chiamiamo ε_r il coefficiente di proporsionalit`a di C: C = ε_rC₀

In generale la grandezza εr `e un numero puro, maggiore di uno, ed `e detto costante dielettrica relativa del mezzo⁴

Il fatto che sia cambiata la differenza di potenziale implica che `e variato anche il campo eletrrico

C = ε_rC₀ ∆V = ^∆V0 ε_r E = ^E0

ε_r

Questo risultato `e vero solo per materiali omogenei e isotropi, adesso ricaveremo un modello microscopico del tutto generale per spiegare questo fenomeno, e estendibile facilmente anche ad altri materiali.

4.1 Dipolo di deformazione

Vediamo ora di capire che succede all’interno di alcuni gas particolari, come ad esempio l’elio, che sono molecole simmetriche. Questo modello `e appli-cabile per quei materiali con εr molto vicino ad 1, per altri come l’acqua occorre ricorrere a modelli leggermente differenti.

Modelliziamo il nostro atomo come un nucleo positivo all’interno, cir-condato da una nube negativa di forma sferica centrata nel nucleo.

Proviamo ad osservare ci`o che accade se l’atomo `e sottoposto ad un certo campo elettrico.

Come si vede bene in Figura 4.1 l’azione del campo elettrico sull’atomo ha l’effetto di decentrare il nucleo. Sia z il numero atomico, e la carica dell’elettrone, il momento di dipolo che viene a crearsi `e pari a:

~ p = ze~δ

Facciamo una semplice stima di δ, poich´e l’atomo `e in equilibrio nella nuova posizione basta uguagliare la forza agente sul nucleo a causa del campo elettrico, con la forza di richiamo della nube elettronica.

Sia ρ la densit`a di carica della nube elettronica: ρ = ₄^ze

3πa3 0

4Ovviamente εr dipende dal particolare mezzo che si sta utilizzando, e varia conside-revolmente se si parla di Elio (molto prossima a 1) o di materiali polarizzati come l’acqua (circa 80).

- + δ

~ E_mic

Figura 4.1: Schema di come reagisce il nostro modellino di atomo all’azione di un campo elettrico, il baricentro della nube elettronica carica negativa-mente e quella del nucleo carica positivanegativa-mente si spostano di un fattore δ.

Dove a₀ `e il raggio dell’atomo. Ricaviamo con il teorema di Gauss il campo elettrico agente sul nucleo, considerando il flusso attraverso una superficie sferica di raggio δ con origine nel centro della nube elettronica:

E · 4πδ² | {z } Φ_Sδ( ~E) = ^ρ 4 3πδ³ ε₀ E = ^ρ 3ε0 δ Ora scriviamo la condizione di equilibrio:

zeEmic = zeE zeE_mic= ze ^ρ 3ε0 δ δ = ^3ε0Emic ρ δ = ^4πε0a 3 0E_mic ze

Da cui il momento di dipolo associato al singolo atomo `e pari a: ~

p = ze~δ = 4πa³₀E^~mic

Come si vede il campo elettrico `e direttamente proporzionale al dipolo indotto sull’atomo per deformazione:

~

~

pd= αd_E~_{mic (4.1)}

Dove abbiamo chiamato con αdla costante espressa precedentemente, viene chiamata costante di polarizzabilit`a di una molecola.