Correnti di Larmor - Diamagneti

H_mic= ~H + ¹ 3^M~

Questa relazione `e l’analogo risultato a quanto trovato gi`a nel caso dei dielettrici nella sezione 4.8, equazione (4.8)⁶.

In realt`a questa relazione vale soltanto per i materiali diamagneti e paramagneti, i materiali ferromagnetici risentono di un effetto difficile da schematizzare per via del loro particolare modo di magnetizzarsi a regioni⁷. Per via di questa caratteristica occorre scrivere per i ferromagneti un altra relazione:

~

Hmic= ~H + γ ~M

Dove γ `e detto parametro di Weiss, dipende dal particolare materiale ferromagnete, e in generale

γ  ¹ 3

7.5.1 Correnti di Larmor - Diamagneti

Vediamo ora di spiegare perch´e i diamagneti hanno una costante χ_m nega-tiva.

Cerchiamo di capire che succede agli atomi di gas semplici come l’elio o l’idrogeno.

In un atomo di idrogeno ad esempio c’`e un solo elettrone che orbita attorno al nucleo. Possiamo quindi provare a schematizzare l’atomo come una spira percorsa da corrente i con

i = ^e

T ^{e = Carica dell’elettrone T = Periodo di rivoluzione} Sia ω la velocit`a angolare dell’elettrone, possiamo riscrivere la corrente nella forma:

i = ^eω 2π

Per il teorema di equivalenza di Ampere una spira percorsa da corrente i si comporta a tutti gli effetti a media distanza come un dipolo magnetico ~m

~ m = iS ˆn | ~m| = ^eω 2π^πr 2 0 = ^eωr 2 0 2 6

Il ragionamento consiste nel considerare una sfera attorno al dipolo, che presenta una densit`a di corrente superficiale dovuta alla magnetizzazione delle molecole vicine. Queste correnti generano un campo magnetico al centro pari proprio ad ¹₃M .^~

7I ferromagneti presentano al loro interno regioni separate in cui tutte le molecole sono magnetizzate nello stesso modo, queste zone vengono chiamate domini di Weiss.

Possiamo pensare l’elettrone come un punto materiale di massa m_eche ruota attorno al nucleo, a questo oggetto `e associato un momento angolare ~L

~

L = meωr²₀

Possiamo riscrivere ~m in funzione di ~L (sono diretti nella stessa direzione): ~ m = ^e 2me ~ L = −  |e| 2me  ~ L (7.6)

In realt`a il modello che abbiamo studiato non `e molto raffinato, si do-vrebbe sapere infatti dai corsi di chimica che l’elettrone possiede un orbitale sferico, e che non `e localizzato, ma ha una probabilit`a di trovarsi in que-sto orbitale. Per fortuna anche nel caso della sfera riusciamo a trovare una relazione tra ~m e ~L molto simile alla 7.6. Qualunque forma per l’orbita dell’elettrone scegliamo otteniamo sempre una proporzionalit`a diretta tra ~L e ~m.

~ m ∝ −~L

Questo rimane vero anche in meccanica quantistica, dove il momento an-golare delle particelle `e una quantit`a quantizzata e discreta (questa relazione ci dice quindi che anche ~m `e quantizzato). Anche il protone possiede un mo-mento angolare ~L_p, ma il momento magnetico associato risulta essere molto inferiore, poich´e me  m_p e nella 7.6 la massa compare al denominatore. Quindi possiamo trascurare il momento magnetico del protone.

Cosa succede a questo punto se generiamo un campo di induzione magne-tica sull’atomo? Si forma un momento meccanico che fa ruotare l’elettrone⁸:

~

M = ~m × ~B₀ = µ₀m × ~~ H_mic

| {z }

Momento meccanico Ricordando che nel vuoto ~B₀ = µ₀H.^~

Prendiamo la seconda equazione della dinamica dei corpi rigidi: ~

M = ^d~L dt Riscriviamola per il caso del nostro atomo:

d~L

dt ^{= ~M = µ0m × ~~ Hmic = −~L × ~Hmic·}

 µ₀|e| 2m_e



Definiamo la grandezza ~ω_L precessione di Larmor come la quantit`a ~ ω_L= ~H_mic µ₀|e| 2m_e  (7.7) 8

Analogamente al caso elettrico dove ~M = ~p× ~E, per i dipoli magnetici vale la relazione ~

Dove chiaramente il coefficiente che moltiplica ~H_mic dipende strettamen-te dal modello che si considera per schematizzare l’elettrone, pur restando sempre dello stesso ordine di grandezza⁹.

Giungiamo quindi all’equazione: d~L

dt ^{= −~L × ~ωL} d~L

dt ^{= ~ωL× ~L (7.8)}

Questa `e l’equazione della trottola! Questo vuol dire che al moto caotico e disordinato di tutti gli elettroni attorno al nucleo (il momento magnetico che abbiamo considerato ha direzione del tutto casuale, quindi la somma di tutte le molecole da una magnetizzazione nulla) se ne sovrappone uno ordinato, che `e diretto sempre verso ~ωL!

Si vede dalla definizione di ~ωL(7.7) che questa `e diretta nello stesso verso di ~H_mic, risulta quindi comune a tutti gli atomi del materiale, generando un effetto macroscopico (Figura 7.9)

Figura 7.9: Schema in cui viene mostrata la precessione di Larmor per due atomi di idrogeno, come si vede ~ωL`e diretta sempre nello stesso verso di ~H (in questo caso coincidente con ~Hmic), quindi il momento angolare dell’atomo (schematizzato come un sistema orbitale) compie una processione attorno a ~

ωL. Questo genera una corrente di larmor iL, che `e diretta nello stesso verso per tutti gli atomi.

A questa precessione del momento angolare `e associata una corrente di Larmor, iL, facilmente calcolabile:

i_L= −^ωL|e| 2π

9

Il segno meno viene dal fatto che l’elettrone `e carico negativamente. A questa corrente `e associato un nuovo momento magnetico, stavolta comune a tutte le molecole, paria a ~m_L

~

mL= iLS

Dove S `e la porzione della sfera orbitale sui piani perpendicolari a ~ω_L. Cerchiamo il valor medio di questa sezione, a partire dal raggio:

r²₀ = x²+ y²+ z²

Poich´e siamo in condizioni di simmetria, prendiamo i valori quadratici me-di¹⁰:

x2 = y2= z2 = ¹ 3^r

2 0

Poich´e stiamo proiettando la sfera su un semipiano ortogonale ad uno degli assi il valor quadratico medio del raggio vale:

r2 = x2+ y2= x2+ y2= ² 3^r

2 0

Da cui la sezione media risulta:

S = πr2 = ² 3^πr 2 0 ~ m_L= i_LS = i_L² 3^πr 2 0 = −^~ωL|e| 2π 2π 3 ^r 2 0 ~ m_L= −~ω_L |e|r2 0 3  ~ mL= −µ0 e²r²₀ 6me ~ Hmic

Quindi ~m_L `e diretto in verso opposto a ~H<sub>mic</sub> ed `e comune per tutte le molecole! Otteniamo facilmente ~M come:

~

M = Zn ~mL

Dove Z `e il numero di elettroni, e n `e il numero di molecole per unit`a di volume. Poich´e ~M `e proprozionale ~mL che si oppone al vettore ~H questo speiga perch´e la susciettivit`a magnetica dei dielettrici `e negativa, si ha infatti che:

~

M = χm_H~

Ma abbiamo appena mostrato che ~H e ~M sono diretti in versi opposti!

10Con il simbolo x si intende valore medio della grandezza x, analogamente x2 intende il valore quadratico medio di x.

L’effetto delle correnti di Larmor `e molto debole, quindi questo discor-so che abbiamo affrontato vale discor-solo nel cadiscor-so non siano presenti altri effetti pi`u significativi, come quello che mostreremo nella prossima sezione, in par-ticolare questo discorso vale per tutti gli atomi e le molecole non dotate di momento magnetico proprio¹¹, in questi casi dominano gli effetti del-le correnti di Larmor, che spiegano molto bene il diamagnetismo di molte sostanze.

Figura 7.10: In questa figura si capisce come possono delle molecole aver mo-mento magnetico nullo pur manifestando le correnti di Larmor, ad esempio l’atomo di Elio, in cui i due elettroni su orbitale sferico hanno spin opposto, si annullano il momento magnetico a vicenda, mentre l’effetto delle correnti di Larmor, si somma (sono infatti dirette nello stesso verso).